Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры)

СОДЕРЖАНИЕ:Введение……………………………………………………………………………..….….План практических занятий, I семестр………...………………………………………Список дополнительных задач, I семестр………………………………………………..Список теоретических задач, I семестр…………...……………………………………Контрольная работа №1. Вещественные числа. Предел последовательности...……..Контрольная работа №2. Предел и непрерывность функции…………………………..Контрольная работа №3. Дифференцирование функций……………………………….Равномерная непрерывность. Формула Тейлора………………………………………..Контрольная работа №4.

Неопределённый интеграл…………………………………...Зачётная работа, I семестр……………………………………………………………….Список определений и формулировок теорем, I семестр……………………Вопросы к экзамену, I семестр …………………………………………………………План практических занятий, II семестр………………………………………………….Список дополнительных задач, II семестр……………………………………….……...Список теоретических задач, II семестр…………………………………………..……..КДЗ №1. Исследование функции и построение её графика.Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве…………………..……...КДЗ №2. Приложения определённого интеграла………………………………..………Контрольная работа №1. Несобственные интегралы…………………………………...Контрольная работа №2. Функции нескольких переменных…………………………..Контрольная работа №3.

Функции нескольких переменных…………………………..Контрольная работа №4. Функции нескольких переменных…………………………..Зачётная работа, II семестр……………………………………………………………….Список определений и формулировок теорем, II семестр……………………………...Вопросы к экзамену, II семестр…………………………………………………………..Литература………………………………………………………………………………….46911141515161819212527323436373738393941434647ВВЕДЕНИЕ.Даннаяметодическаяразработкасодержитпримерныйпланпрактических занятий с указанием основных тем, соответствующийкурсу лекций по математическому анализу, читаемому в первом и второмсеместрах на факультете Вычислительной Математики и Кибернетики(ВМК).

В описании каждого занятия указаны номера задач, которыерекомендуется разобрать на занятии, отдельно выделены задачи для3домашнего задания и в некоторых занятиях предложен ещё списокдополнительных задач, которые, по усмотрению преподавателя, можнопредложить на занятии или добавить в домашнее задание. Номера задачдаются по задачнику Б.П. Демидовича издания 2005 года. В случаяхнесоответствия номеров в указанном новом издании и в старом издании1990 года номера по старому изданию указаны рядом в фигурныхскобках.

(Например, запись: 424(а) {424.1}–в 11-ом занятии нижеозначает, что задача номер 424(а) по новому изданию имеет в старомиздании номер 424.1). Задачи с номерами, подчёркнутыми снизу, взятыиз предлагаемых ниже списков дополнительных задач отдельно дляпервого и второго семестров.Кроме того, мы предлагаем дополнительно списки теоретическихзадачдлякаждогосеместра,которыеможноиспользоватьдлясамостоятельных работ, для письменных коллоквиумов или для разбора назанятиях, на усмотрение преподавателя.В первом семестре предлагается провести 4-5 контрольных работ,длякоторых в разработке выделено 4 занятия.

На усмотрениепреподавателя, каждая из этих контрольных работ может быть проведена втечение половины занятия, вторая половина которого может бытьиспользована для разбора нового материала. Такой вариант представляетсядаже более желательным. Мы выделили целое занятие для каждойконтрольной работы, чтобы оставить преподавателю «поле для манёвра».После списков дополнительных задач и теоретических задач в разработкепредлагаются образцы вариантов 4 контрольных работ (причём одну изних, №3, рекомендуется разбить на 2 отдельных контрольных работы).Во втором семестре рекомендуется дать студентам 2 контрольныхдомашних задания по темам: КДЗ№1 - «Исследование функции ипостроение её графика», КДЗ№2 – «Приложения определённогоинтеграла» (с индивидуальными вариантами по количеству студентов вгруппе и сроком исполнения в 1-2 недели), а также 4 контрольныхработы по всем другим темам.

На каждую контрольную работу 2 семестрав разработке также выделено отдельное занятие. Варианты контрольных4домашних заданий и всех контрольных работ прилагаются послесписков дополнительных задач и теоретических задач.Традиционно в первом семестре (а иногда, по желанию студентов, иво втором семестре) примерно в середине семестра проводитсяколлоквиум. Он может проводиться как во время занятия (в письменномвиде или устно при участии группы преподавателей), так и вдополнительное время – одним ведущим преподавателем в устной форме.Устный вариант коллоквиума, конечно, более желателен, особенно впервом семестре, в силу преимущества личного общения студентов спреподавателем. В данной разработке мы выделили отдельные занятия дляпроведения коллоквиумов, как в первом, так и во втором семестре.

Дляподготовки к коллоквиумам предлагаются: список вопросов к экзамену исписок определений и формулировок к зачёту и экзамену - отдельно длякаждого семестра. Из этих списков ведущий преподаватель можетвыделить часть вопросов и часть формулировок, охватывающих материал,который выносится на коллоквиум.В конце каждого семестра проводится зачёт. В данной разработкепредложены варианты зачётных работ для первого и для второгосеместра. По усмотрению преподавателя, в варианты зачётных работрекомендуется включить несколько определений и формулировок изприлагаемых списков для лучшего контроля усвоения студентамиматериала семестра.Надеемся, что данная методическая разработка окажется полезнойкак преподавателям для ведения практических занятий, так и студентамдля ознакомления со структурой курса и более качественной подготовки кконтрольным работам, зачётам и экзаменам.5ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.I СЕМЕСТР.Тема 1.Теория вещественных чисел.1 занятие.

Вводное. Метод математической индукции. Бином Ньютона.Доказательстворавенств и неравенств.№№ 1, 2, 1, 2, 6.Домашнее задание: 7, 8, 9, 10 {10.1}.2 занятие. Вещественные числа, ихвещественными числами.№№ 31, 3,4,5.Домашнее задание: 15, 16, 34.Дополнительно: №№ 32, 6, 7, 8, 9.свойства.Операциинад3 занятие. Ограниченные и неограниченные, счётные и несчётныечисловые множества. Точные верхние и нижние грани.№№ 17, 18(а), 19(а), 20(а), 21(а), 28, 29.Домашнее задание: 18(б), 19(б), 20(б), 21(б), 30.Дополнительно: №№ 10, 11, 12, 13.Тема 2.

Предел числовой последовательности.4 занятие. Понятие последовательности. Ограниченные, неограниченные,бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.№№ 42(а, в), 43(а, б), 41, 44, 45, 47, 49, 51, 53.Домашнее задание: 42(б, г), 43(в), 46, 48, 50, 52, 55, 56, 57.5 занятие.

Предел последовательности.№№ 58, 59, 60, 62, 64.Домашнее задание: 61, 63, 65, 66, 67, 68,91.6 занятие. Монотонная последовательность и её предел.№№ 69, 72, 74, 75(а), 77, 80, 81, 96, 99.Домашнее задание: 70, 73, 75(б), 76, 79, 90, 97, 98, 100.Дополнительно: 14, 15.7 занятие. Критерий Коши существования предела последовательности.№№ 82, 84, 88, 92.Домашнее задание: 83, 85, 86, 94.Дополнительно: 16, 17, 18, 19, 20.8 занятие. Предельные точки последовательности и множества.

Верхниеи нижние пределы последовательности.№№ 101(а, б){101,101.1}, 103, 106, 116, 121, 122, 128, 129.Домашнее задание: 102, 104, 105, 108, 111, 114, 117, 123, 127, 130.69 занятие. Вычисление пределов последовательностей.№№ 131(а), 132(а), 133(а), 135, 136, 138, 140.Домашнее задание: 131(б), 132(б), 133(б), 134, 137, 139, 141, 142,143, 144.10 занятие. Контрольная работа №1.Вещественные числа. Пределы последовательности.Тема 3.Функция одной переменной.

Предел и непрерывностьфункции.11 занятие. Функция одной переменной. Предел функции. Условия егосуществования.№№ 381, 383, 386, 388, 397, 401, 409, 411, 413, 424(а){424}.Домашнее задание: 382, 384, 385, 387, 389, 399, 403-407, 408, 424(б){424.1}.12 занятие. Вычисление пределов функций.№№ 435, 444, 452, 458, 463, 471, 478, 483, 493, 505, 509, 513, 519(а){519}.Домашнее задание: 410, 436, 439, 448, 453, 455.1, 460, 469, 472, 482,489, 495, 496, 499, 506, 519(б){519.1}.13 занятие. Продолжение вычисления пределов. Бесконечно малые ибесконечно большие функции. Асимптотическое сравнение функций.

О –символика.№№ 529, 534, 541, 543, 553, 561, 564, 646, 647, 648, 650(г), 651(д),655(в, г, д), 658(б, г, д).Домашнее задание: 507, 510, 523, 528, 538, 542, 552, 556, 558, 560,563, 565, 652, 653, 656, 659, 660, 661.14 занятие. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.№№ 666, 668, 669, 670, 671, 672, 673, 680, 683, 686.Домашнее задание: 674, 681, 682, 694, 698, 707, 708, 720, 724, 726.15 занятие.

Свойства непрерывных функций.№№ 734, 735, 736, 741, 742, 743, 744, 748, 751, 752.Домашнее задание: 740, 745, 746, 749, 757, 758.16 занятие. Контрольная работа №2.Предел и непрерывность функции.17 занятие.Коллоквиум.Вещественные числа. Предел последовательности. Предел инепрерывность функции.7Тема 4. Дифференцирование функции одной переменной.18 занятие.Производная и дифференциал. Основные правилавычисления.№№ 833, 991, 994, 997, 998, 1016, 1071, 1075, 1081.Домашнее задание: 992, 1009(1,2){1009,1009.1}, 1012, 1014, 1015,1019, 1020, 1076, 1082.19 занятие. Производные функций, заданных параметрически, обратныхи сложных функций.№№ 762, 763, 764, 765, 781, 1077, 1079.Домашнее задание: 760, 761, 1078, 1080, 1081, 1082.20 занятие.

Производные и дифференциалы высших порядков.№№ 1130, 1136, 1143, 1161, 1173, 1197, 1211.Домашнее задание: 1133, 1142, 1165, 1175, 1198, 1212, 1226, 1227.21 занятие. Основные свойства дифференцируемых функций.№№ 1237, 1244, 1251(б), 1254, 1258, 1262, 1264(а), 1286, 1287.Домашнее задание: 1236, 1246(г), 1250, 1251(а, в), 1255, 1263.22 занятие. Равномерная непрерывность функции.№№ 787, 788, 792, 794, 795, 806(2){806.1}.Домашнее задание: 789, 793, 796, 800, 801, 802(а, б, г, е), 806(1){806(н)}.23 занятие. Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей.№№1322, 1330, 1336, 1341, 1351, 1356, 1363(б){1363.2}, 1374(б, г).Домашнее задание: 1374(а, в), 1363(г){1363.3}, 1368, 1368.1, 1359,1354, 1343, 1348, 1373.2 {1373.1}.24 занятие.