Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Формула Тейлора.№№ 1377, 1381, 1385, 1393, 1396(д), 1394(б), 1402, 1406(б){1406.1}.Домашнее задание: 1379, 1382, 1387, 1392, 1394(а, в), 1396(а), 1398,1404, 1408.25 занятие. Контрольная работа №3.Свойства дифференцируемых функций одной переменной.Тема 5. Неопределённый интеграл.26 занятие. Неопределённый интеграл. Основные правила еговычисления.№№ 1646, 1652, 1668, 1683, 1720,1725, 1745, 1767, 1782, 1794, 1836.Домашнее задание: 1638, 1643, 1648, 1650, 1663, 1682, 1688, 1698,1703, 1711, 1719, 1726, 1781, 1805, 1843.827 занятие.
Интегрирование рациональных функций.№№ 1867, 1881, 1891, 1908, 1913.Домашнее задание: 1870, 1877, 1886, 1882, 1892, 1903, 1909.28 занятие. Интегрирование иррациональных выражений.№№ 1926, 1931, 1937, 1943, 1952, 1964, 1967, 1981.Домашнее задание: 1927, 1932, 1938, 1947, 1953, 1966, 1986.29 занятие. Интегрирование тригонометрических выражений.№№ 1991, 1999, 2013, 2019, 2025, 2029, 2038, 2041, 2042, 2166, 2171.Домашнее задание: 1992, 2000, 2009, 2017, 2020, 2028, 2034, 2040,2043, 2082, 2168, 2174.30 занятие. Контрольная работа №4.Неопределённый интеграл.СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.nnk n k k1. Доказать формулу бинома Ньютона: a b Cn a b .k 0n 12.
Доказать неравенство: 2 1 3 . nnn3. Доказать неравенство: n! .34. Доказать неравенство (см. задачу №8 из Демидовича):n2 n 1n n! 2 n(n 1) .5. Доказать, что если все xi 0 и x1 x2 ... xn 1 , то6. Доказать неравенства ( xi 0 ):x x ... xn n x1 x2 ... xn ;a) 1 2nnb)x1 x2 ... xn n1 11 ... x1 x2xnn37. Доказать неравенство: 2 n , n 10.8.
Доказать, что если все xi 0 и x1 x2 ... xn 1 , то1 x1 1 x2 ... 1 xn 2 n.9x1 x2 ... xn n..2 n n 2 n 2xy9. Доказать неравенство Коши-Буняковского: i i xi yi . i 1 i 1 i 1 10. Пусть {x} { y} . Доказать, что: a) sup{x} sup{ y}; b) inf{x} inf{ y}.11.
Пусть A {x} { y} (объединение) и B {x} { y} (пересечение).Доказать, что:a ) sup A max (sup{x}, sup{ y});c) sup B min (sup{x}, sup{ y});b) inf A min (inf{x}, inf{ y});d ) inf B max (inf{x}, inf{ y}).12. Показать, что множество вещественных чиселX x R x 17 неимеет наибольшего элемента. Указать точную нижнюю грань этогомножества.213.
Показать, что множество рациональных чисел B b Q b 3 неимеет наименьшего элемента.14. Доказать сходимость последовательности xn a a ... a , гдеa 0 , и общее число извлекаемых корней равно n. Доказать, чтоlim xn n 1 1 4a.215. Для приближённого нахождения корня квадратного из числа а>0рассмотреть последовательность, заданную рекуррентной формулой:xn 1 1 ( xn a ) , где x1 - любое положительное число.
Доказать, что2xnlim xn a .n 16. Доказать, что последовательностьxn 1 11 ... 2nсходится при 2 и расходится при 1 .11 ... расходится.ln 2ln n18. Доказать,что если a1 a2 a3 ... an ... ,и an 0 , топоследовательность xn a1 a2 ...
an сходится тогда и только тогда,17. Доказать, что последовательность xn nкогда сходится последовательность y n a1 2a2 ... 2 a2 .n19. Доказать, что последовательность xn p>1 и расходится при p 1 .20. Пользуясь задачей №18,xn 1 11 ... сходится приp2 ln 2n ln p nдоказать,чтопоследовательность11 ... p сходится при p>1 .p2nСПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.101.
Какова мощность множества всех квадратов на плоскости срациональными координатами вершин?2. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на прямойне более чем счетно.3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наинтервал (0, 1).4. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наполупрямую 0, .5. Построить взаимно однозначное отображение [0, ) на интервал( a , b) .6. Доказать равномощность отрезка [0, 1] и квадрата 0, 1 0, 1 .7. Доказать, что всякое несчетное множество содержит несчетноеограниченное подмножество.8.
Известно, что множество предельных точек множества А счетно.Доказать, что множество А счетно.Указание: доказать, что любое числовое множество мощности континуумасодержит, по крайней мере, одну предельную точку. Рассмотретьмножество A’, полученное из множества A удалением всех его предельныхточек.9. Доказать, что, если некоторая подпоследовательность монотоннойпоследовательности ограничена, то и сама последовательностьограничена.10. Дана последовательность a n , у которой все подпоследовательностиa 2 , a 32 , a 52 , , i 1, 2, сходятся к одному и тому же числу b.
Чтоможно сказать о сходимости последовательности a n ?11. Привести примеры последовательности a n , удовлетворяющейсоотношениям:a n , б) lim a n supa n , в) lim a n inf a n , г) lim a n supa n .а) inf a n limn n n n 12.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоiiinn Nak 1 ak C .Доказать,чтопоследовательностьсk 1ограниченным изменением сходится.13.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоnn Nak 1 ak C .Привестипримерсходящейсяk 1последовательности с неограниченным изменением.14.
Пусть А - любое множество из области определения функции f (x) .Как соотносятся множества А и f 1 ( f ( A)) ?1115. Пусть А и B - любые множества из области определения функцииf (x) . Как соотносятся множества f ( A B ) и f ( A) f ( B ) ? Множестваf ( A B ) и f ( A) f ( B ) ?f отображает отрезок [0, 1] на множествос1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 . Доказать, что, по крайней мере, для одного изчисел ci множество f 1 (ci ) имеет предельную точку.17.
Функция f определена на всей числовой прямой и ее графиксимметричен относительно точки(0, 0) и прямой x C (C 0) .Доказать, что функция f периодическая.18. Привести пример функции, определенной на отрезке [0, 1], нонеограниченной на любом отрезке a, b 0, 1 .19. Привести пример функции, определенной на отрезке [-1, 1],монотонно возрастающей в точке 0 и не являющейся монотонной наотрезке , для любого 0 .f ( x) 0 ,20.
Привести пример функций f (x) и g ( y ) , таких, что limx 016.Пусть функцияlim g ( y ) 1 , но не существует lim g ( f ( x)) .y 0x0Указание: Взять в качестве g ( y ) функцию, разрывную в точке 0, например0, y 0g ( y) .1, y 021. Привести пример функции f (x) , определенной на отрезке 0, 1 ,принимающей на любом отрезке [a, b] [0, 1] все промежуточныезначения между f (a) и f (b) , но не являющейся непрерывной на 0, 1 .22. Привести пример монотонной на 0, 1 функции с бесконечнымчислом точек разрыва.23.
Существует ли функция, непрерывная на отрезке 0, 1 , взаимнооднозначно отображающая 0, 1 на множество: а) (0, ) ; б) (0, 1) ; в)1, 3 ; г) 0,1 2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, то привестипример).24. Существует ли функция, определенная и непрерывная на интервале0,1 , множеством значений которой является множество: а) (0, ) ;б) (0, 10) ; в) 0, 1 ; г) 0, 1 2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, топривести пример).25. Доказать, что функция, равномерно непрерывная на каждом из двухотрезков, равномерно непрерывна на их объединении. Привестипример, показывающий, что для интервалов это утверждениеневерно.26. Доказать, что функция f (x) равномерно непрерывна на интервалеa, b тогда и только тогда, когда существует непрерывная на отрезкеa, b функция g (x) , совпадающая с функцией f (x) на интервале a, b .27. Пусть функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси иявляется четной (нечетной) функцией.
Доказать, что f (x) являетсянечетной (четной).12328. Пусть f ( x) x . Найти f ( x), f ( x), f (0).29. Пусть функция f (x) определена на отрезкеa, b и существует2f ( x) f ( y ) C x y x, y [a, b] .постоянная C 0 , такая, чтоДоказать, что функция f (x) постоянна на отрезке a, b .30.
Пусть P (x) - многочлен степени n , имеющий n вещественныхкорней. Доказать, что все корни многочлена P (x) вещественны.31.Пусть0, x 0f ( x) 1.e x , x 0Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси (т.е. для любогонатурального числа n и для любой точки x R существует f ( n ) ( x) ).Построить график функции f (x) .32.Пусть0, x 1f ( x) 1.e 1 x 2 , x 1Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси.
Построить график функцииf (x) .33. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема на отрезке 1, 1 ,f ( n ) (0) 0 для любого натурального n и существует постоянная C 0 ,f ( n ) ( x) C n n!, n 1, 2, ... . Доказать, что f ( x) 0 на 1, 1такая, что sup1 x 1.1 2n x sin , x 0x34.
Пусть f ( x) . Найти f (0), f (0), ... , f ( n 1) (0) .0,x0x2xn35. Пусть Pn ( x) 1 x - многочлен Тейлора – Маклорена2!n!функции e x .xА) Найти sup e P10 ( x) ;0 x 1e x P10 ( x) 10 7 ;Б) Найти число h 0 такое, что 0sup xhe x Pn ( x) 10 7 .В) Найти натуральное число n такое, что 0sup x 113КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.Вариант №1nn 1 xn sin 1 ;4 nx n , lim x n :1.
Найти inf x n , supx n , limn n 2n n 12. Доказать, что nlim 0, (a 0) ; e a n!3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:111x n 1 ... , 1;352n 1n1.4. Доказать, что n nВариант № 2n 1 xn cos 1 4 nx n , lim x n :1. Найти inf x n , supx n , limn n n 12;nealim n! 0, (0 a e) ;n n 2. Доказать, что3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:1 11x n 1 q q ...