Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 2

Формула Тейлора.№№ 1377, 1381, 1385, 1393, 1396(д), 1394(б), 1402, 1406(б){1406.1}.Домашнее задание: 1379, 1382, 1387, 1392, 1394(а, в), 1396(а), 1398,1404, 1408.25 занятие. Контрольная работа №3.Свойства дифференцируемых функций одной переменной.Тема 5. Неопределённый интеграл.26 занятие. Неопределённый интеграл. Основные правила еговычисления.№№ 1646, 1652, 1668, 1683, 1720,1725, 1745, 1767, 1782, 1794, 1836.Домашнее задание: 1638, 1643, 1648, 1650, 1663, 1682, 1688, 1698,1703, 1711, 1719, 1726, 1781, 1805, 1843.827 занятие.

Интегрирование рациональных функций.№№ 1867, 1881, 1891, 1908, 1913.Домашнее задание: 1870, 1877, 1886, 1882, 1892, 1903, 1909.28 занятие. Интегрирование иррациональных выражений.№№ 1926, 1931, 1937, 1943, 1952, 1964, 1967, 1981.Домашнее задание: 1927, 1932, 1938, 1947, 1953, 1966, 1986.29 занятие. Интегрирование тригонометрических выражений.№№ 1991, 1999, 2013, 2019, 2025, 2029, 2038, 2041, 2042, 2166, 2171.Домашнее задание: 1992, 2000, 2009, 2017, 2020, 2028, 2034, 2040,2043, 2082, 2168, 2174.30 занятие. Контрольная работа №4.Неопределённый интеграл.СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.nnk n k k1. Доказать формулу бинома Ньютона: a  b    Cn a b .k 0n 12.

Доказать неравенство: 2  1    3 . nnn3. Доказать неравенство:    n! .34. Доказать неравенство (см. задачу №8 из Демидовича):n2 n  1n  n!  2 n(n  1) .5. Доказать, что если все xi  0 и x1  x2  ...  xn  1 , то6. Доказать неравенства ( xi  0 ):x  x  ...  xn n x1  x2  ...  xn ;a) 1 2nnb)x1  x2  ...  xn n1 11  ... x1 x2xnn37. Доказать неравенство: 2  n , n  10.8.

Доказать, что если все xi  0 и x1  x2  ...  xn  1 , то1  x1   1  x2   ...  1  xn   2 n.9x1  x2  ...  xn  n..2 n  n 2  n 2xy9. Доказать неравенство Коши-Буняковского:   i i     xi     yi  . i 1  i 1   i 1 10. Пусть {x}  { y} . Доказать, что: a) sup{x}  sup{ y}; b) inf{x}  inf{ y}.11.

Пусть A  {x}  { y} (объединение) и B  {x}  { y} (пересечение).Доказать, что:a ) sup A  max (sup{x}, sup{ y});c) sup B  min (sup{x}, sup{ y});b) inf A  min (inf{x}, inf{ y});d ) inf B  max (inf{x}, inf{ y}).12. Показать, что множество вещественных чиселX  x R x  17 неимеет наибольшего элемента. Указать точную нижнюю грань этогомножества.213.

Показать, что множество рациональных чисел B   b  Q b  3 неимеет наименьшего элемента.14. Доказать сходимость последовательности xn  a  a  ...  a , гдеa  0 , и общее число извлекаемых корней равно n. Доказать, чтоlim xn n 1  1  4a.215. Для приближённого нахождения корня квадратного из числа а>0рассмотреть последовательность, заданную рекуррентной формулой:xn 1  1 ( xn  a ) , где x1 - любое положительное число.

Доказать, что2xnlim xn  a .n 16. Доказать, что последовательностьxn  1 11 ...  2nсходится при  2 и расходится при   1 .11 ... расходится.ln 2ln n18. Доказать,что если a1  a2  a3  ...  an  ... ,и an  0 , топоследовательность xn  a1  a2  ...

 an сходится тогда и только тогда,17. Доказать, что последовательность xn nкогда сходится последовательность y n  a1  2a2  ...  2 a2 .n19. Доказать, что последовательность xn p>1 и расходится при p  1 .20. Пользуясь задачей №18,xn  1 11 ... сходится приp2 ln 2n ln p nдоказать,чтопоследовательность11 ...  p сходится при p>1 .p2nСПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.101.

Какова мощность множества всех квадратов на плоскости срациональными координатами вершин?2. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на прямойне более чем счетно.3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наинтервал (0, 1).4. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наполупрямую 0,    .5. Построить взаимно однозначное отображение [0,  ) на интервал( a , b) .6. Доказать равномощность отрезка [0, 1] и квадрата 0, 1 0, 1 .7. Доказать, что всякое несчетное множество содержит несчетноеограниченное подмножество.8.

Известно, что множество предельных точек множества А счетно.Доказать, что множество А счетно.Указание: доказать, что любое числовое множество мощности континуумасодержит, по крайней мере, одну предельную точку. Рассмотретьмножество A’, полученное из множества A удалением всех его предельныхточек.9. Доказать, что, если некоторая подпоследовательность монотоннойпоследовательности ограничена, то и сама последовательностьограничена.10. Дана последовательность a n , у которой все подпоследовательностиa 2 , a 32 , a 52 ,  , i  1, 2,  сходятся к одному и тому же числу b.

Чтоможно сказать о сходимости последовательности a n ?11. Привести примеры последовательности a n , удовлетворяющейсоотношениям:a n , б) lim a n  supa n , в) lim a n  inf a n , г) lim a n  supa n  .а) inf a n   limn n n n 12.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоiiinn  Nak 1 ak  C .Доказать,чтопоследовательностьсk 1ограниченным изменением сходится.13.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоnn  Nak 1 ak  C .Привестипримерсходящейсяk 1последовательности с неограниченным изменением.14.

Пусть А - любое множество из области определения функции f (x) .Как соотносятся множества А и f 1 ( f ( A)) ?1115. Пусть А и B - любые множества из области определения функцииf (x) . Как соотносятся множества f ( A  B ) и f ( A)  f ( B ) ? Множестваf ( A  B ) и f ( A)  f ( B ) ?f отображает отрезок [0, 1] на множествос1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6  . Доказать, что, по крайней мере, для одного изчисел ci множество f 1 (ci ) имеет предельную точку.17.

Функция f определена на всей числовой прямой и ее графиксимметричен относительно точки(0, 0) и прямой x  C (C  0) .Доказать, что функция f периодическая.18. Привести пример функции, определенной на отрезке [0, 1], нонеограниченной на любом отрезке a, b  0, 1 .19. Привести пример функции, определенной на отрезке [-1, 1],монотонно возрастающей в точке 0 и не являющейся монотонной наотрезке   ,   для любого   0 .f ( x)  0 ,20.

Привести пример функций f (x) и g ( y ) , таких, что limx 016.Пусть функцияlim g ( y )  1 , но не существует lim g ( f ( x)) .y 0x0Указание: Взять в качестве g ( y ) функцию, разрывную в точке 0, например0, y  0g ( y)  .1, y  021. Привести пример функции f (x) , определенной на отрезке 0, 1 ,принимающей на любом отрезке [a, b]  [0, 1] все промежуточныезначения между f (a) и f (b) , но не являющейся непрерывной на 0, 1 .22. Привести пример монотонной на 0, 1 функции с бесконечнымчислом точек разрыва.23.

Существует ли функция, непрерывная на отрезке 0, 1 , взаимнооднозначно отображающая 0, 1 на множество: а) (0,  ) ; б) (0, 1) ; в)1, 3 ; г) 0,1  2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, то привестипример).24. Существует ли функция, определенная и непрерывная на интервале0,1 , множеством значений которой является множество: а) (0,  ) ;б) (0, 10) ; в) 0, 1 ; г) 0, 1  2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, топривести пример).25. Доказать, что функция, равномерно непрерывная на каждом из двухотрезков, равномерно непрерывна на их объединении. Привестипример, показывающий, что для интервалов это утверждениеневерно.26. Доказать, что функция f (x) равномерно непрерывна на интервалеa, b  тогда и только тогда, когда существует непрерывная на отрезкеa, b функция g (x) , совпадающая с функцией f (x) на интервале a, b .27. Пусть функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси иявляется четной (нечетной) функцией.

Доказать, что f (x) являетсянечетной (четной).12328. Пусть f ( x)  x . Найти f ( x), f ( x), f (0).29. Пусть функция f (x) определена на отрезкеa, b и существует2f ( x)  f ( y )  C x  y x, y  [a, b] .постоянная C  0 , такая, чтоДоказать, что функция f (x) постоянна на отрезке a, b .30.

Пусть P (x) - многочлен степени n , имеющий n вещественныхкорней. Доказать, что все корни многочлена P (x) вещественны.31.Пусть0, x  0f ( x)    1.e x , x  0Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси (т.е. для любогонатурального числа n и для любой точки x  R существует f ( n ) ( x) ).Построить график функции f (x) .32.Пусть0, x  1f ( x)    1.e 1 x 2 , x  1Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси.

Построить график функцииf (x) .33. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема на отрезке  1, 1 ,f ( n ) (0)  0 для любого натурального n и существует постоянная C  0 ,f ( n ) ( x)  C n  n!, n  1, 2, ... . Доказать, что f ( x)  0 на  1, 1такая, что sup1 x 1.1 2n x sin , x  0x34.

Пусть f ( x)  . Найти f (0), f (0), ... , f ( n 1) (0) .0,x0x2xn35. Пусть Pn ( x)  1  x - многочлен Тейлора – Маклорена2!n!функции e x .xА) Найти sup e  P10 ( x) ;0  x 1e x  P10 ( x)  10 7 ;Б) Найти число h  0 такое, что 0sup xhe x  Pn ( x)  10 7 .В) Найти натуральное число n такое, что 0sup x 113КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.Вариант №1nn  1 xn  sin 1   ;4  nx n , lim x n :1.

Найти inf x n  , supx n , limn n 2n n  12. Доказать, что nlim   0, (a  0) ; e  a n!3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:111x n  1      ... ,   1;352n  1n1.4. Доказать, что n nВариант № 2n  1 xn  cos 1  4  nx n , lim x n :1. Найти inf x n  , supx n , limn n n 12;nealim  n!  0, (0  a  e) ;n n 2. Доказать, что3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:1 11x n  1  q  q  ...