Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры)

Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 2

PDF-файл Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 2 Математический анализ (36275): Книга - 1 семестрМетодические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры): Математический анализ - PDF, страница 2 (36275) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Формула Тейлора.№№ 1377, 1381, 1385, 1393, 1396(д), 1394(б), 1402, 1406(б){1406.1}.Домашнее задание: 1379, 1382, 1387, 1392, 1394(а, в), 1396(а), 1398,1404, 1408.25 занятие. Контрольная работа №3.Свойства дифференцируемых функций одной переменной.Тема 5. Неопределённый интеграл.26 занятие. Неопределённый интеграл. Основные правила еговычисления.№№ 1646, 1652, 1668, 1683, 1720,1725, 1745, 1767, 1782, 1794, 1836.Домашнее задание: 1638, 1643, 1648, 1650, 1663, 1682, 1688, 1698,1703, 1711, 1719, 1726, 1781, 1805, 1843.827 занятие.

Интегрирование рациональных функций.№№ 1867, 1881, 1891, 1908, 1913.Домашнее задание: 1870, 1877, 1886, 1882, 1892, 1903, 1909.28 занятие. Интегрирование иррациональных выражений.№№ 1926, 1931, 1937, 1943, 1952, 1964, 1967, 1981.Домашнее задание: 1927, 1932, 1938, 1947, 1953, 1966, 1986.29 занятие. Интегрирование тригонометрических выражений.№№ 1991, 1999, 2013, 2019, 2025, 2029, 2038, 2041, 2042, 2166, 2171.Домашнее задание: 1992, 2000, 2009, 2017, 2020, 2028, 2034, 2040,2043, 2082, 2168, 2174.30 занятие. Контрольная работа №4.Неопределённый интеграл.СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.nnk n k k1. Доказать формулу бинома Ньютона: a  b    Cn a b .k 0n 12.

Доказать неравенство: 2  1    3 . nnn3. Доказать неравенство:    n! .34. Доказать неравенство (см. задачу №8 из Демидовича):n2 n  1n  n!  2 n(n  1) .5. Доказать, что если все xi  0 и x1  x2  ...  xn  1 , то6. Доказать неравенства ( xi  0 ):x  x  ...  xn n x1  x2  ...  xn ;a) 1 2nnb)x1  x2  ...  xn n1 11  ... x1 x2xnn37. Доказать неравенство: 2  n , n  10.8.

Доказать, что если все xi  0 и x1  x2  ...  xn  1 , то1  x1   1  x2   ...  1  xn   2 n.9x1  x2  ...  xn  n..2 n  n 2  n 2xy9. Доказать неравенство Коши-Буняковского:   i i     xi     yi  . i 1  i 1   i 1 10. Пусть {x}  { y} . Доказать, что: a) sup{x}  sup{ y}; b) inf{x}  inf{ y}.11.

Пусть A  {x}  { y} (объединение) и B  {x}  { y} (пересечение).Доказать, что:a ) sup A  max (sup{x}, sup{ y});c) sup B  min (sup{x}, sup{ y});b) inf A  min (inf{x}, inf{ y});d ) inf B  max (inf{x}, inf{ y}).12. Показать, что множество вещественных чиселX  x R x  17 неимеет наибольшего элемента. Указать точную нижнюю грань этогомножества.213.

Показать, что множество рациональных чисел B   b  Q b  3 неимеет наименьшего элемента.14. Доказать сходимость последовательности xn  a  a  ...  a , гдеa  0 , и общее число извлекаемых корней равно n. Доказать, чтоlim xn n 1  1  4a.215. Для приближённого нахождения корня квадратного из числа а>0рассмотреть последовательность, заданную рекуррентной формулой:xn 1  1 ( xn  a ) , где x1 - любое положительное число.

Доказать, что2xnlim xn  a .n 16. Доказать, что последовательностьxn  1 11 ...  2nсходится при  2 и расходится при   1 .11 ... расходится.ln 2ln n18. Доказать,что если a1  a2  a3  ...  an  ... ,и an  0 , топоследовательность xn  a1  a2  ...

 an сходится тогда и только тогда,17. Доказать, что последовательность xn nкогда сходится последовательность y n  a1  2a2  ...  2 a2 .n19. Доказать, что последовательность xn p>1 и расходится при p  1 .20. Пользуясь задачей №18,xn  1 11 ... сходится приp2 ln 2n ln p nдоказать,чтопоследовательность11 ...  p сходится при p>1 .p2nСПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.I СЕМЕСТР.101.

Какова мощность множества всех квадратов на плоскости срациональными координатами вершин?2. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на прямойне более чем счетно.3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наинтервал (0, 1).4. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] наполупрямую 0,    .5. Построить взаимно однозначное отображение [0,  ) на интервал( a , b) .6. Доказать равномощность отрезка [0, 1] и квадрата 0, 1 0, 1 .7. Доказать, что всякое несчетное множество содержит несчетноеограниченное подмножество.8.

Известно, что множество предельных точек множества А счетно.Доказать, что множество А счетно.Указание: доказать, что любое числовое множество мощности континуумасодержит, по крайней мере, одну предельную точку. Рассмотретьмножество A’, полученное из множества A удалением всех его предельныхточек.9. Доказать, что, если некоторая подпоследовательность монотоннойпоследовательности ограничена, то и сама последовательностьограничена.10. Дана последовательность a n , у которой все подпоследовательностиa 2 , a 32 , a 52 ,  , i  1, 2,  сходятся к одному и тому же числу b.

Чтоможно сказать о сходимости последовательности a n ?11. Привести примеры последовательности a n , удовлетворяющейсоотношениям:a n , б) lim a n  supa n , в) lim a n  inf a n , г) lim a n  supa n  .а) inf a n   limn n n n 12.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоiiinn  Nak 1 ak  C .Доказать,чтопоследовательностьсk 1ограниченным изменением сходится.13.Последовательность a n называется последовательностью сограниченным изменением, если существует число C такое, чтоnn  Nak 1 ak  C .Привестипримерсходящейсяk 1последовательности с неограниченным изменением.14.

Пусть А - любое множество из области определения функции f (x) .Как соотносятся множества А и f 1 ( f ( A)) ?1115. Пусть А и B - любые множества из области определения функцииf (x) . Как соотносятся множества f ( A  B ) и f ( A)  f ( B ) ? Множестваf ( A  B ) и f ( A)  f ( B ) ?f отображает отрезок [0, 1] на множествос1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6  . Доказать, что, по крайней мере, для одного изчисел ci множество f 1 (ci ) имеет предельную точку.17.

Функция f определена на всей числовой прямой и ее графиксимметричен относительно точки(0, 0) и прямой x  C (C  0) .Доказать, что функция f периодическая.18. Привести пример функции, определенной на отрезке [0, 1], нонеограниченной на любом отрезке a, b  0, 1 .19. Привести пример функции, определенной на отрезке [-1, 1],монотонно возрастающей в точке 0 и не являющейся монотонной наотрезке   ,   для любого   0 .f ( x)  0 ,20.

Привести пример функций f (x) и g ( y ) , таких, что limx 016.Пусть функцияlim g ( y )  1 , но не существует lim g ( f ( x)) .y 0x0Указание: Взять в качестве g ( y ) функцию, разрывную в точке 0, например0, y  0g ( y)  .1, y  021. Привести пример функции f (x) , определенной на отрезке 0, 1 ,принимающей на любом отрезке [a, b]  [0, 1] все промежуточныезначения между f (a) и f (b) , но не являющейся непрерывной на 0, 1 .22. Привести пример монотонной на 0, 1 функции с бесконечнымчислом точек разрыва.23.

Существует ли функция, непрерывная на отрезке 0, 1 , взаимнооднозначно отображающая 0, 1 на множество: а) (0,  ) ; б) (0, 1) ; в)1, 3 ; г) 0,1  2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, то привестипример).24. Существует ли функция, определенная и непрерывная на интервале0,1 , множеством значений которой является множество: а) (0,  ) ;б) (0, 10) ; в) 0, 1 ; г) 0, 1  2, 3 ? (Если нет, то почему; если да, топривести пример).25. Доказать, что функция, равномерно непрерывная на каждом из двухотрезков, равномерно непрерывна на их объединении. Привестипример, показывающий, что для интервалов это утверждениеневерно.26. Доказать, что функция f (x) равномерно непрерывна на интервалеa, b  тогда и только тогда, когда существует непрерывная на отрезкеa, b функция g (x) , совпадающая с функцией f (x) на интервале a, b .27. Пусть функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси иявляется четной (нечетной) функцией.

Доказать, что f (x) являетсянечетной (четной).12328. Пусть f ( x)  x . Найти f ( x), f ( x), f (0).29. Пусть функция f (x) определена на отрезкеa, b и существует2f ( x)  f ( y )  C x  y x, y  [a, b] .постоянная C  0 , такая, чтоДоказать, что функция f (x) постоянна на отрезке a, b .30.

Пусть P (x) - многочлен степени n , имеющий n вещественныхкорней. Доказать, что все корни многочлена P (x) вещественны.31.Пусть0, x  0f ( x)    1.e x , x  0Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси (т.е. для любогонатурального числа n и для любой точки x  R существует f ( n ) ( x) ).Построить график функции f (x) .32.Пусть0, x  1f ( x)    1.e 1 x 2 , x  1Доказать,чтоf (x)бесконечнодифференцируема на всей числовой оси.

Построить график функцииf (x) .33. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема на отрезке  1, 1 ,f ( n ) (0)  0 для любого натурального n и существует постоянная C  0 ,f ( n ) ( x)  C n  n!, n  1, 2, ... . Доказать, что f ( x)  0 на  1, 1такая, что sup1 x 1.1 2n x sin , x  0x34.

Пусть f ( x)  . Найти f (0), f (0), ... , f ( n 1) (0) .0,x0x2xn35. Пусть Pn ( x)  1  x - многочлен Тейлора – Маклорена2!n!функции e x .xА) Найти sup e  P10 ( x) ;0  x 1e x  P10 ( x)  10 7 ;Б) Найти число h  0 такое, что 0sup xhe x  Pn ( x)  10 7 .В) Найти натуральное число n такое, что 0sup x 113КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.Вариант №1nn  1 xn  sin 1   ;4  nx n , lim x n :1.

Найти inf x n  , supx n , limn n 2n n  12. Доказать, что nlim   0, (a  0) ; e  a n!3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:111x n  1      ... ,   1;352n  1n1.4. Доказать, что n nВариант № 2n  1 xn  cos 1  4  nx n , lim x n :1. Найти inf x n  , supx n , limn n n 12;nealim  n!  0, (0  a  e) ;n n 2. Доказать, что3.ПользуяськритериемКоши,исследоватьнасходимость:1 11x n  1  q  q  ...

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее