Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 5

Оценка остаточного члена.30.Разложение по формуле Тейлора-Маклорена элементарныхфункций. Примеры приложений формулы Тейлора для приближенныхвычислений элементарных функций и вычисления пределов.31.Первообразная и неопределенный интеграл. Основныесвойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенныхинтегралов от элементарных функций.32.Основные методы интегрирования - замена переменной,интегрирование по частям.33.Элементы теории многочленов. Интегрирование рациональныхфункций.34.Интегрированиедробно-линейныхиквадратичныхиррациональностей и некоторых классов тригонометрических функций.16.27ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.II СЕМЕСТР.Тема 1.Исследование функции одной переменнойпостроение её графика.1 занятие.

Возрастание и убывание функции.№№1272,1278,1280,1287,1288,1289а, 1295, 1297а {1297(н)(а)}.Домашнее задание: 1270, 1276, 1284, 1285,1289(б,д), 1291.и2занятие. Направление выпуклости. Точки перегиба графикафункции.№№ 1303, 1308, 1311, 1312, 1314.1(а) {1314(a)}, 1317.Домашнее задание: 1306, 1309, 1313, 1314.2 {1314.1}, 1314.1(б, в){1314(б, в)}, 1316.3занятие. Локальные экстремумы.

Наибольшее и наименьшеезначения функции на множестве.№№ 1420, 1425, 1427, 1432, 1444, 1447, 1453, 1458, 1462, 1557, 1561,1565.Домашнее задание: 1417, 1423, 1426 {1426(н)}, 1428, 1437, 1452,1456.1 {1456},1560, 1575, 1577, 1583.4 занятие.

Построение графиков функций (декартовы, полярные,параметрические координаты).№№ 1471, 1477, 1483, 1491, 1508, 1512.Выдача контрольного домашнего задания (КДЗ) №1.Домашнее задание: 1490, 1500, 1505, 1507, 1513, 1522.5занятие. Продолжение темы «Построение графиков».№№1516, 1532, 1536, 1541, 1546, 1548.Домашнее задание: 1531, 1535, 1537, 1542, 1547, 1550.Тема 2.Определённый интеграл.6 занятие.

Определённый интеграл. Основные понятия.№№2181, 2185, 2187, 2191, 2193.1 {2193}, 2195, 2197, 2201.Прием КДЗ №1.Домашнее задание: 2182, 2186, 2196, 2193.2 {2193.1}, 2194, 2200,2202, 2203, 2204.28занятие. Вычисление определённых интегралов.№№ 2206, 2211, 2219, 2222, 2239, 2245, 2246, 2257, 2263, 2269, 2281,2309, 2313.Домашнее задание: 2213, 2218, 2223, 2242, 2243, 2249, 2274, 2279,2286, 2310, 2311, 2315.8 занятие. Оценки интегралов, теоремы о среднем.№№ 2316(а), 2317(а, в), 2318(а), 2319, 2321 {2321.1}, 2323, 2324,2326.1(а) {2326(a)}, 2326.2(a) {2326.1(а)}, 2328, 2333.Домашнее задание: №№2316(б, в), 2317(б), 2318(г), 2322, 2326.1(б){2326(б)}, 2326.2(б) {2326.1(б)}, 2330, 2332.Дополнительно: №№ 1, 2 (см.

список дополнительных задач для 2го семестра).79занятие. Несобственные интегралы.№№ 2334, 2346, 2354, 2357(а), 2358, 2363, 2366.Домашнее задание: 2345, 2347, 2355, 2357(в, г), 2359, 2364, 2370(a){2370}.10занятие. Несобственные интегралы (продолжение).№№ 2369, 2370(б) {2370.1}, 2376(a) {2376}, 2377, 2374, 2361.Домашнее задание: 2371, 2376(б) {2376.1}, 2368, 2372, 2375, 2373.Дополнительно: №№ 3, 4, 5, 6, 7, 8.11 занятие.

Абсолютная и условная сходимость несобственныхинтегралов.№№ 2378, 2380(а, в) {2380, 2380.2}, 2381, 2390, 2393.Домашнее задание: 2379, 2380(б) {2380.1}, 2383, 2384.1 {2384},2392, 2395.Дополнительно: 9, 10, 11, 12, 13, 14.12 занятие. Контрольная работа №1.Несобственные интегралы.13 занятие. Коллоквиум.Исследование функций. Определенный интеграл.14 занятие. Применение определённого интеграла к вычислениюплощадей плоских фигур.№№ 2397, 2403, 2413, 2418, 2424, 2426.Домашнее задание: 2399, 2402, 2410, 2415, 2422(a) {2422}, 2425(а,б){2424.1, 2424.2}.15 занятие. Применение определённого интеграла к вычислениюдлин дуг кривых.29№№ 2432, 2435, 2440, 2443, 2446, 2452(a) {2452}.Выдача КДЗ №2.Домашнее задание: 2436, 2438, 2442, 2448, 2450, 2452(б) {2452.1}.16 занятие.

Применение определённого интеграла к вычислениюобъёмов и площадей поверхностей.№№ 2461, 2462, 2471, 2473, 2480, 2482.2 {2482}, 2486, 2492.Домашнее задание: № 2463, 2465, 2472, 2479, 2482.1 {2481.1}, 2489,2495, 2497.17 занятие. Приближённые методы вычисления определённыхинтегралов. Методы хорд и касательных приближённого отысканиякорней уравнений (возможно, вынести на самостоятельную работу).№№ 1621, 1627, 2532, 2535, 2543.Прием КДЗ №2.Домашнее задание: 1620, 1624, 1626, 2533, 2540.Тема 3. Функции нескольких переменных.18 занятие.

Предел и непрерывность функции несколькихпеременных.№№ 3137, 3166, 3172, 3180, 3182, 3183.1 {3183}, 3185, 3188, 3195.Домашнее задание: 3168, 3174, 3179, 3181, 3183(2,3){3183.1,2},3187, 3190, 3198, 3205, 3206, 3207.19 занятие. Частные производные и дифференциал функциинескольких переменных.№№ 3211.2{3212}, 3212(1){3212.1}, 3213, 3217, 3237, 3251, 3252,3254.Домашнее задание: 3212(3){3212.3}, 3219, 3224, 3239, 3241, 3253,3255.Дополнительно: №№ 15, 16, 17.20 занятие. Дифференцируемость сложной функции.

Производные идифференциалы высших порядков.№№ 3230(1){3230}, 3257, 3262, 3269, 3273, 3284, 3297, 3295, 3305,3309.Домашнее задание: 3228, 3230(2){3230.1}, 3260, 3263, 3270, 3277,3283, 3285, 3298, 3301, 3307.Дополнительно: №№ 18, 19, 20, 21.21 занятие. Контрольная работа №2.Непрерывность и дифференцируемостьпеременных.30функциинескольких22 занятие. Формула Тейлора. Различные представления остаточногочлена.№№ 3581, 3585, 3587, 3593, 3601.Домашнее задание: 3582, 3588, 3594, 3603.Дополнительно: № 22 (а, б, в, г).23 занятие.Равномерная непрерывность функции несколькихпеременных.№№ 23(а,б,в,г), 24, 25, 26.Домашнее задание: 3203(2,3){3303.2, 3303.3}.24 занятие.

Дифференцирование неявных функций.№№ 3365, 3371, 3390, 3395, 3398(2(a)){3399(а)}, 3402(a){3402}, 3426,3402(б){3403}.Домашнее задание: 3364, 3372, 3383, 3398(1){3398}, 3398.2(б){3399(б)}, 3401, 3427, 3408(б) {3407.2}.25 занятие. Производная по направлению. Градиент, егогеометрические приложения.№№ 3245(а), 3341, 3345, 3347, 3528, 3534, 3539, 3554.Домашнее задание: 3244(б), 3342, 3344, 3529, 3533, 3538, 3540,3555.26 занятие. Контрольная работа №3.Производные высших порядков функции нескольких переменных.Геометрические приложения производной.

Неявные функции.27 занятие. Замена переменных в дифференциальных выражениях.№№ 3431, 3434, 3438, 3450, 3458, 3462, 3474.Домашнее задание: №№ 3433, 3435, 3447, 3453, 3459, 3463, 3484.28занятие. Экстремум (безусловный) функции несколькихпеременных.№№ 3621, 3622, 3627(a){3627}, 3628, 3631, 3636, 3647.Домашнее задание: 3623, 3624, 3627(б){3627.1}, 3639, 3642, 3643.29занятие.

Условный экстремум функций нескольких переменных.№№ 3651, 3656, 3660, 3668, 3661, 3663(a){3663}, 3676, 3678, 3679,3688.Домашнее задание: 3653, 3655, 3667, 3670, 3664, 3672, 3675, 3677,3663(б){3663.1}, 3687, 3694.30 занятие. Контрольная работа №4.Замена переменных. Экстремумы функции нескольких переменных.31СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ.II СЕМЕСТР.f ( x)  C ([a;)) ,1. Пустьто есть, непрерывна на указанномпромежутке, и существует число B  a такое, что при x  Bвыполняется неравенство: f ( x)  C  x (  1) . Вычислить предел:2AlimAdx f ( x) 1  x2.A2. Пусть функция  (x) непрерывна на полусегменте (0;1], и2dx ( x)  Cx . Вычислить предел: lim   ( x)(  1).  01 xИсследовать на сходимость несобственные интегралы:13.cos x  e0 x px22dx;16.1110 x ( x  sin x )dx;p4.x  x 2 ln(1  1x )dx;1xp5.1a x  ax  2dx;7.

px0(sin x)e x  x(1  x)dx;0xp18.1  (cos x)xp0x22dx;Исследовать на абсолютную и условную сходимость несобственныеинтегралы:9.0sin xdx;xp10.12.x p sin( x 2 )1 1  x q dx;sin(ln x)1 x ln 2 (ln x) dx;13.11.114sin x1 x p dx;14.0cos xdx;x ln p xcos x12xqdx.Исследовать на непрерывность по каждой переменной и по совокупности:15. а) f ( x, y )  3x( x  y ), f (0,0)  0;2x  xy  y 2б) f ( x, y )  4x2 (x2  y2 ), f (0,0)  0;x4  y4x2x222, sin x  y  0, cos 2 x  y 2  0 2 222f(x,y);f(x,y);16.

а)б) y  sin x y  cos x22220, sin x  y  00, cos x  y  02211x y17. а) f ( x, y )  2 2 x, f (0;0)  0; б) f ( x, y )  xy sin x  sin y , f (0;0)  0;x yИсследовать функцию на дифференцируемость:18.а) f ( x, y )  3 xy 2 ;б) f ( x, y )  5 x 6 y 6 ;3219.а) f ( x, y )  4 x 2 y 2 ;б) f ( x, y )  5 x 6 y 7 ;20. Следует ли из условия f (0;0)  o(  ) дифференцируемость функцииu  f ( x, y ) в точке (0;0) ?21. Исследовать функцию u  f ( x, y ) на дифференцируемость в точке (0;0) ,предполагая, что f (0;0)  0 :а)1f ( x, y )  3 x 3  y 5  sin2x yf ( x, y )  ln(1  3 x 5  y 4 )  sinа);f ( x, y )  ( x 2  y 2 )   sinб)f ( x, y )  arctg x 4  y 4  sinв)22.21;x  y221;x  y2г)21;x  y22Разложить по формуле Маклорена до членов 6-го порядкамалости:22x2  y2f ( x, y )  arctg;1  xyб)f ( x, y )  ln(1  x ) ln(1  y );f ( x, y )  e x  y arctg ( x 2  y 2 ).в)f ( x, y )  3 cos( x 2  y 2 ) ;г)23.

Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множествеx, y   R 2 0  x 2  y 2  1 :122 а) f ( x, y )  ( x  y ) sin x 2  y 2 ;в)2б)2г)f ( x, y )  xy ln( x  y );3f ( x, y )  arctg x 2  y 4  cosf ( x, y ) ln(1  x 2  y 2 )4x4  y41;x  y22.22224. Пусть функция f ( x, y ) непрерывна в области D  x, y  a  x  y , исуществует пределlim f ( x, y )  b.x Доказать, что тогда f ( x, y ) равномерноy непрерывна в указанной области.25. Пусть f ( x, y ) дифференцируема при a 2  x 2  y 2 и имеет ограниченныечастные производные. Тогда эта функция равномерно непрерывна вуказанной области.26.