Lektsia__5_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 5. Динамика идеальной жидкости.Вопрос на пройденный материал:На моём фотоснимке виден дрейфующий в Антарктиде айсберг, который имеет надводнуючасть объёмом 70000 м3; плотность льда 920 кг/ м3, плотность морской воды 1025 кг/ м3.Во сколько раз объём подводной, невидимой для Вас части айсберга превышает объём егонадводной части ?План лекции.1. Деформационное движение жидкости, 1-я теорема Гельмгольца, скорости относительныхлинейных деформаций2. Скорости угловых деформаций3. Тензор деформаций, его свойства4.

Вихрь, ротор вектора скорости, угловая скорость, 2-я теорема Гельмгольца5. Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкостиДеформационное движение жидкости, 1-я теорема Гельмгольца, скорости относительныхлинейных деформаций.Всем студентам третьего курса хорошо известно, что движение абсолютно твёрдого теламожет быть представлено суммой двух движений: поступательного, при котором отрезок,соединяющий две любые точки твёрдого тела, переносятся параллельно самому себе, ивращательного, при котором этот отрезок поворачивается относительно точки этого отрезка.Углы и размеры пространственных или плоских фигур, образованных отрезками,соединяющими точки абсолютно твёрдого тела, остаются при движении неизменными.1.1В отличие от движения абсолютно твёрдого тела расстояние между двумя точками вэлементарном объёме движущейся жидкости может изменяться: укорачиваться илиудлиняться.

Это обусловливает линейную и объёмную деформацию жидкости. Более того,углы между отрезками, соединяющими три произвольных точки внутри жидкости, придвижении жидкости могут изменяться, что обусловливает непрерывное искажение формыпространственных или плоских фигур, выделенных внутри движущейся жидкости.Первая теорема Гельмгольца формулируется следующим образом:«Скорости точек элементарного объёма сплошной среды складываются из скоростейквазитвёрдого и деформационного её движения»С доказательством этой теоремы можно ознакомиться в книге Л.Г.Лойцянского «Механикажидкости и газа», стр. 46 или в монографии Г. Шлихтинга « Теория пограничного слоя».Таким образом, движение элементарного объёма жидкости может быть единственнымобразом разложено на четыре составляющих этого движения:1 – параллельное перемещение со скоростью V ;2 – вращение как твёрдого тела с угловой скоростью ω ;3 – объёмное расширение (сжатие) в направлении координатных осей – линейные деформации;4 – искажение формы, изменение углов между отрезками в элементарном объёме жидкости –угловые деформации.Первые две составляющих движения – это движение квазитвёрдого тела.

Третья ичетвёртая составляющие – это деформационное движение жидкости.Герман Гельмгольц (1821-1894), немецкий физик,физиолог и психолог. Его основные научные интересылежали в области медицины, зрения, слуха. УченикомГельмгольца был наш выдающийся русский физиологИван Михайлович Сеченов. Именем Гельмгольца названзнаменитый институт глазных болезней в Москве.В области гидродинамики и метеорологии Гельмгольцпервым изучал законы поведения вихрей для невязкихжидкостей.

Особенности движения жидкости и теоремыо вихрях изложены в его работе «Основы вихревойтеории». Она переведена на русский язык под редакциейи с комментариями С.А.Чаплыгина.Скорости относительных линейных деформаций при движении жидкости. Пусть намизвестно поле скоростей V ( x, y, z , t ) . Рассмотрим контрольный элемент жидкости в видепрямоугольного параллелепипеда. Обозначим через ε x скорость относительной линейнойдеформации, индекс x указывает направление линейной деформации.В момент времени t контрольный элемент занимал положение 1-2-3-4.

В момент времениt + dt , то-есть через небольшой промежуток времени dt контрольный элемент занимал2положение 1’-2’-3’-4’. Линейная деформация контрольного элемента в направлении оси 0x - этоприращение длины элемента dlx , равное разности длин отрезков 1’-4’ и 1-4.Скорость относительной линейной деформацииε x вдоль оси 0x – это отношение приращения длиныэлемента dlx в направлении оси 0x за время dt кпервоначальной длине элемента вдоль оси 0x :dlx(1)εx =dx ⋅ dtЕсли обозначить величину скорости левой граниконтрольного элемента через Vx , то скорость правойграни этого же элемента в направлении оси 0x может∂Vбыть вычислена как Vx + x dx∂xСледовательно, приращение длины dlx контрольного элемента за время dt в направлении∂Vxdlx =⋅ dx ⋅ dtоси 0x будет равно:∂xИз уравнения (1) следует:εx =И по аналогии:εy =∂Vx∂x∂Vy(2)∂y∂Vzεz =∂zВычислим скорость относительной объёмной деформации ε W , как скорость относительногоизменения объёма контрольного элемента:∂V∂V∂V(dx + x dxdt )(dy + y dydt )(dz + z dzdt ) − dxdydz(3)∂x∂y∂zεW =dxdydzdtРаскрывая скобки в числителе выражения (3) и пренебрегая слагаемыми с высокимистепенями сомножителя dt , получим:∂Vx ∂Vy ∂VzεW =++= divV = εx + ε y + εz(4)∂x∂y∂z2.

Скорости угловых деформаций.Рассмотрим возможное изменение формы контрольного элемента в плоскости x0 z толькоза счёт угловых деформаций: при таком движении линейные размеры можно принять практическинеизменными. Прямой угол при точке А при движении жидкости изменится за время dt навеличину суммы углов Θ x и Θ z .

При малых величинах угла его можно приближённо приравнятьтангенсу этого угла и выразить через отношение приращений длин соответствующих отрезков. Завремя dt отрезок AB сместится в положение A’B’, длину его dx будем считать неизменной.Если обозначить скорость точки A в направлении оси 0z через Vz , то скорость точки B в этом же3направлении будет равнаB 'C =Vz +∂Vzdx ⋅ dt .∂x∂Vzdx .∂xВеличину отрезка B’C можно выразить равенствомТогда угловая деформация Θ x можетбыть вычислена приближённо:∂Vz(5)Θx ≈⋅ dt∂xИ по аналогии∂VxΘz ≈⋅ dt(6)∂zСкорость угловой деформации ε xz (ε xz = ε zx ) контрольного элемента жидкости вплоскости x0 z равна:1  ∂Vz ∂Vx ⋅+2  ∂x∂z 1  ∂V ∂V = ⋅ y + x 2  ∂x∂y 1  ∂V ∂V = ⋅ z + y 2  ∂y∂z ε xz =ε xyПо аналогииε yz(7)(8)(9)3.

Тензор деформаций, его свойстваТензором деформаций или мерой деформаций поля скоростей называют тензор E:ε x ε xy ε xzE = ε yx ε y ε yz(10)ε zx ε zy ε zИли в развёрнутом виде через скорости:∂Vx∂xE = 0,5 ⋅ (0,5 ⋅ (∂Vx ∂Vy+)∂y∂x0,5 ⋅ (∂Vy∂xεy+∂Vx∂V ∂V) 0,5 ⋅ ( z + x )∂y∂x∂z∂V ∂V0,5 ⋅ ( z + y )∂y∂z∂V ∂V∂Vx ∂Vz+) 0,5 ⋅ ( y + z )∂z∂x∂z∂y(11)εzМы видим, что деформационное состояние жидкости характеризуется девятью величинами –скоростями относительных линейных и угловых деформаций. Тензору деформаций соответствуетего матрица (таблица компонентов) из трёх столбцов и трёх строк компонентов тензора. Первыминдексом компонента тензора принято обозначать номер строки, вторым - номер столбца.

Мы,однако, будем использовать и в тензоре деформаций в качестве индексов не цифры, а обозначениякоординат.4Свойства тензора деформаций.3.1.Матрица тензора деформаций симметрична: скорости угловых деформаций вкоординатных плоскостях равны:ε yz = ε zyε xz = ε zx ; ε xy = ε yx ;(9)Для тензора деформаций сумма его компонентов на главной диагонали в произвольнойточке пространства(ε x + ε y + ε z ) = divV(10)является инвариантом линейных преобразований координат.

Поскольку геометрический смысллинейных преобразований координат заключается в повороте координатных осей, это означает,что дивергенция вектора скорости не зависит от ориентации площадок.3.2.3.3.Для любой точки жидкости существует, причём, единственная, система координат( x ', y ', z ') , в которой тензор деформаций имеет диагональный вид: все скорости угловыхдеформаций равны нулю:ε x' 0 00 ε y' 0(11)0 0 ε z'Такая система координат называется главной системой координат, а оси её – главнымиосями тензора деформаций.3.4.Все элементы тензора деформаций выражаются через поле скоростей.Докажите самостоятельно, что главные оси тензора деформаций совпадают с главнымиосями тензора напряжений.4.

Вихрь, ротор вектора скорости, угловая скорость, 2-я теорема ГельмгольцаНаэтихфотоснимкахзапечатлены грозные явленияприроды: вихри в воздухе(торнадо, смерчи) и вихри в воде(ринги - гигантские водовороты).О торнадо каждый наслышан, а орингах - информации меньше.Ринги наблюдаются в океанах,диаметр их у поверхности океана 200-300 км, скорость воды до 4 км/ч, в центре водоворотауровень воды ниже уровня океана на 100 и более метров.

Такие водовороты могут стать причинойкораблекрушений, кругового дрейфа парусных судов, а в наше время они породили из-за людскойбеспечностии низкой культуры поведения гигантские «мусоровороты» - водоворотыантропогенного мусора, гигантские плавающие свалки-острова мусора в океане. Большоетихоокеанское мусорное пятно (Great Pacific Garbage Patch или, как его ещё называют, PacificTrash Vortex) образовалось в северной части Тихого океана между Гавайями и Калифорнией.5Предполагается, что размеры "мусороворота" вдвое превышают площадь Техаса, второго повеличине американского штата. Такой район океана непроходим для судов.

На последнемрисунке показаны районы мирового океана, где уже сейчас наблюдаются громадные«мусоровороты».В кинематике абсолютно твёрдого тела Вы часто использовали формулу Эйлера, согласнокоторой вектор скорости V любой точки M абсолютно твёрдого тела произвольной формы иразмеров может быть представлен векторной суммой вектора скорости поступательного движенияV 0 вместе с произвольно выбранным полюсом О и вектором вращательной составляющей:V = V 0 + ω × (r − r 0 )(12)Замечательным свойством этой формулыприменительно к абсолютно твёрдому телуявляется её справедливость для любой точкитела М, причём, постоянными величинами вэтой формуле остаются V 0 , r0 , ω , каких быразмеров и формы не было тело.Однако, применительно к жидкостиформула имеет локальный характер: онасправедлива только в пределах бесконечномалого контрольного элемента.