Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 28

В этом случае A1 = A2 = 4A3 , и центр масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум осям инерции тела, то есть вэкваториальной плоскости эллипсоида инерции. Здесь скобка Пуассона функций выглядит так:{H, K} = (S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 )(a2 S1 − a1 S2 ).4,Отсюда видно, что функции H и Kне находятся в инволюции на всех 4-многообразиях M1,gпоэтому система интегрируема лишь на одной специальной 4-поверхности {f1 = 1, f2 = 0}, то4есть на M1,0. Это – случай так называемой частичной интегрируемости, отвечающей нулевомузначению интеграла площадей f2 .Случаи интегрируемости допускают интегрируемые обобщения путем добавления гироскопических сил.Случай Жуковского (1885 год).

Движение гиростата в поле силы тяжести.(S1 + λ1 )2 (S2 + λ2 )2 (S3 + λ3 )2++,2A12A22A3K = S12 + S22 + S32 .H=(7.16)Здесь интеграл K– квадратичный. Этот случай является обобщением случая Эйлера. Случай Эйлера получается отсюда, когда все λi равны нулю.Случай Ковалевской-Яхьи (1986 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.S12S2(S3 + λ)2+ 2 ++ a1 R1 + a2 R2 ,2A 2AA 22 2S1 − S22S1 S2K=+ a2 R2 − a1 R1 +− a1 R2 − a2 R1 −2AA4λR32λ− 2 (S3 + 2λ)(S12 + S22 ) +(a1 S1 + a2 S2 ).AAH=(7.17)Здесь интеграл K–четвертой степени. Классический случай Ковалевской получается приλ = 0.Случай Сретенского (1963 год).

Движение гиростата в поле силы тяжести.S12S22(S3 + λ)2+ 2 ++ a1 R1 + a2 R2 ,2A 2AAK = (S3 + 2λ)(S12 + S22 ) − AR3 (a1 S1 + a2 S2 ).H=115(7.18)Здесь интеграл K–третьей степени и A1 = A2 = 4A3 . Этот случай является обобщениемслучая Горячева-Чаплыгина, который получается из него, когда параметр λ = 0.Как и в случае Горячева-Чаплыгина, система интегрируема лишь на одной 4-поверхности{f1 = 1, f2 = 0}.Случай Клебша (1871 год). Движение твердого тела в жидкости.S2S2εS12+ 2 + 3 + (A1 R12 + A2 R22 + A3 R32 ),2A1 2A2 2A3 21εK = (S12 + S22 + S32 ) − (A2 A3 R12 + A3 A1 R22 + A1 A2 R32 ).22H=(7.19)Здесь интеграл K– квадратичный.Молекулы W для основных случаев интегрируемости были первоначально вычислены А.А.Ошемковым[21],[22],[23].

Затем разными авторами были определены числовые метки на этих молекулах, чтопозволило в итоге вычислить меченые молекулы W ∗ . См. А.В.Болсинов [24], П.Й.Топалов [25],А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко [26], [27], О.Е. Орел [28], О.Е.Орел, Ш.Такахаши [29]. П. В. Морозов установил лиувиллеву эквивалентность при некоторых значениях интегралов случаевКлебша [35] и Соколова [36]. В работах Н.С.Славиной [37] с помощью вычисления меченыхмолекул получена полная Лиувиллева классификация систем случая Ковалевской-Яхьи.7.2Известные случаи интегрируемости в динамике твёрдого тела, лиувиллево эквивалентные биллиардным системам, ограниченных дугами софокусных квадрик.Путём сравнения вычисленных инвариантов Фоменко-Цишанга для классических интегрируемых систем динамики твердого тела и интегрируемых билллиардов удаётся установить лиувиллеву эквивалентность этих систем. Подбирая подходящую область, можно промоделироватьдвижение некоторым биллиардом.Ниже приведены несколько ярких примеров.

На рисунках ниже мы указываем бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела, кривые которых разграничивают различные типы изоэнергетических областей Q3 . Те области на бифуркационныхдиаграммах, изоэнергетическим поверхностям которых соответствуют инварианты, встречающиеся в биллиардах, выделены различными цветами. Ниже теми же цветами изображеныобласти, биллиарды в которых лиувиллево эквивалентны этим Q3 .

Для наглядности рядом собластями приведены сами инварианты.Теорема 7.1. Следующие случаи динамики твердого тела моделируются (лиувиллево эквивалентны) следующим обобщенным биллиардам:• случай Эйлера, см. [11], полностью моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунке 7.1 соответствующих зонам I, II, III энергии H, соответственно;• случай Лагранжа, см.

[11, 29], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанных на рисунках 7.2;116Рис. 7.1: Случай Эйлера удаётся полностью промоделировать обобщенными биллиардами.117Рис. 7.2: Бифуркационные диаграммы случая Лагранжа. Движение на каждой сфере S 3 моделируется биллиардом в зелёной области ∆α (2A00 ), а на каждом RP 3 движение можно промоделировать биллиардом в синей области с конической точкой ∆β (A0 )2y .118Рис.

7.3: Случай Ковалевской.119Рис. 7.4: Случай Горячева-Чаплыгина-Сретенского.120Рис. 7.5: Бифуркационные диаграммы случая Жуковского.121• случай Ковалевской, см. [11], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанных на рисунке 7.3;• случай Горячева-Чаплыгина-Сретенского, см. [11, 28, 29], моделируется биллиардами вобобщенных областях, указанных на рисунках 7.4;• случай Жуковского, см.

[11, 22, 23], моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунках 7.5;• случай Ковалевской-Яхьи, см. [37], моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунке 7.6;• случай Клебша, см. [35], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанныхна рисунке 7.6;• случай Соколова, см. [36], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанныхна рисунке 7.6.Молекулы показывают, что на самом деле система биллиарда не так уж и проста.

Относительно простое движение компенсируется тем, что граница усложняет топологию изоэнергетических поверхностей. То есть чем более сложной является топология биллиардного стола, темболее замысловатые траектории биллиарда мы получаем. Именно это и позволяет промоделировать столь многие случаи динамики твердого тела – по сути сложность системы движениятвердого тела может быть интерпретирована в терминах границы биллиардной области, чтоимеет один важный плюс – движение биллиардной системы наглядно. На рисунке 7.7 показанокак на биллиарде можно показать поведение траекторий вблизи критических окружностей.122Рис.

7.6:123Рис. 7.7: На рисунках изображены траектории, лежащие на особых слоях. Показано, как ведётсебя траектория на особом слое при небольшом изменении начальных данных. Справа показаныплоские атомы, соответствующие трехмерным бифуркациям. В случае седлового атома C2 показано, что траектория, близкая к одной критической траектории (указанной красной стрелкой),после двух переходов через ребро склейки становится близкой к другой критической траектории (указанной зелёной стрелкой). На минимаксных атомах A движение устойчиво – небольшоеизменение начальных данных не приводит к резкому изменению поведения траектории.124ЗаключениеВ диссертации получена полная классификация элементарных (плоских) компактных областей,ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, а также классификация так называемых обобщенных (локально-плоских) областей, полученных из элементарных склейками вдольвыпуклых эллиптических сегментов и некоторых выпуклых гиперболических сегментов, приводящих к образованию так называемых конических точек.

Также проведена классификацияплоских областей (в том числе некомпактных), ограниченных дугами софокусных парабол.Для биллиарда в каждой из описанных областей вычислен инвариант лиувиллевой эквивалентности – меченая молекула Фоменко-Цишанга, описывающая топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 , а также вычислена грубая молекула с использованиемнекомпактных атомов-бифуркаций для биллиардов в некомпактных областях.Как оказалось, некоторые возникающие слоения Лиувилля для биллиарда эквивалентныряду ранее известных слоений Лиувилля, возникающим в случаях интегрируемости Эйлера(все слоения), Лагранжа, Ковалевской, Ковалевской-Яхьи, Жуковского, Горячева-ЧаплыгинаСретенского, Клебша и Соколова, что означает лиувиллеву эквивалентность вышеперечисленных систем системам биллиарда при подходящем выборе биллиардных областей.Также удалось обнаружить слоения Лиувилля, которые описываются инвариантами, ранеене встречавшихся в задачах динамики твердого тела, в том числе молекулы, атомы-бифуркациив которых являются новыми и также не встречались ранее.В качестве новых направлений исследования интегрируемых биллиардов стоит отметитьследующие.• Изучение траекторной эквивалентности интегрируемых биллиардов системам динамикитвердого тела.

Для этого необходимо вычислить функцию вращения на ребрах молекул,вычисленных в настоящей работе. В случаях, где лиувиллева эквивалентность уже уставлена, сравнить полученные результаты с функциями вращения соответствующих задачдинамики твердого тела.• Изучение топологии биллиардов в некомпактных областях, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, в том числе некомпактных обобщенных биллиардов.• Изучение топологии обобщенных биллиардов в областях, полученных склейками вдольневыпуклых участков границ элементарных областей.

В тексте диссертации показано,что в этом случае не удается задать биллиардное движение на всех поверхностях уровня дополнительного интеграла – софокусной квадрики. Воспользовавшись результатамидиссертации можно, однако, показать, что эти слои будет гомеоморфны особым слоям известных трехмерных атомов-бифуркаций, что позволяет в случае такой не вполне определённой биллиардной системы вычислить аналог молекулы Фоменко-Цишанга с метками.125• Изучение топологии интегрируемых биллиардов в плоских (а также обобщенных) областях, имеющих углы 3πна границе.

В этом случае биллиардное движение нельзя доопре2делить по непрерывности при попадании материальной точки в вершину угла 3π. В этом2случае на каждом слое необходимо удалить несколько точек, которые при естественной. При этом слои в общемэтого слоя на биллиардную область переходят в вершину угла 3π2случае будут гомеоморфны не торам, а сферам с несколькими ручками, в которых сделано несколько проколов. Используя результаты диссертации, можно показать, как именнобудут устроены слои для каждой области.126Литература[1] С. Л. Табачников, Геометрия и биллиарды, М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011[2] Дж. Д.

Биркгоф, Динамические системы, Издательский дом «Удмуртский университет»,1999[3] В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, Генетическое введение в динамику систем с ударами, М.: Издво МГУ, 1991[4] V. Dragovic, M. Radnovic, Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards, Regul. ChaoticDyn., Математический ин-т им.В.А.Стеклова РАН, 2009, 14, 4-5, 479–494[5] В. Драгович, М. Раднович, Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмыПонселе, М.; Ижевск НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010[6] В. В. Фокичева, Описание особенностей системы “биллиард в эллипсе”, Вестн. Моск.