Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 24

Как было доказано выше, поверхность уровня интегралаΛ > b является тором. Рассмотрим прообраз отрезков bi и di на достаточно близком к особомуслою торе.В прообразе каждого отрезка bi лежат две окружности, которые на торе являются двумягомологичными нетривиальными циклами: одна из этих окружностей sui оснащена вектораминаправленными вверх, а другая sdi – направленными вниз.

В прообразе любого отрезка di лежитодна окружность Si .При стремлении Λ к b вектора, которыми оснащены отрезки bi и di , стремятся к векторам,направленным горизонтально. На торе это означает следующую склейку – пары окружностей suiи sdi склеиваются друг с другом, а окружность, близкая к окружности Si , в пределе накрываетеё двулистно.Следовательно, если в области ∆ не было отрезков di , то полученный атом – это длинныйориентируемый атом Bn , иначе в атоме образуются звездочки – по количеству отрезков di вобласти ∆.93Замечание 13. Заметим, что грубые молекулы, описывающие топологию изоэнергетическогомногообразия Q3 для биллиарда в обобщенных областях гомеоморфных кольцу (это области∆α (2Cn ) и ∆α (nA0 )2 ), получаются друг из друга заменой интеграла Λ на −Λ.

Этот же фактверен для обобщенных областей склеенных из эллиптических лент и областей, склеенных ихгиперболических лент. Роль конических точек типа x для гиперболических лент играют точкитипа c. В дальнейшем, будем называть нижними ребрами молекулы ребра, соответствующиеэллиптическим торам для бесфокусных областей, не содержащих отрезка между фокусами(т.е. либо эквивалентных ∆α (2Cn ) либо склеенных из эллиптических лент), и соответствующиегиперболическим торам для остальных бесфокусных областей.Пусть обобщенная область ∆1 принадлежит одной из конечных серий. Обозначим через Ωiэлементарные области, из которых склеена область ∆1 . Заменим в областях Ωi все эллипсы нагиперболы и наоборот (оставив неподвижным отрезки фокальной прямой, если они входилив границу области). Если в результате мы получили компактную область ∆2 , то молекулы,описывающие топологию изоэнергетического многообразия Q3 для биллиарда в областях ∆1 и∆2 , также получаются друг из друга заменой интеграла Λ на −Λ.6.2Вычисление меток и построение инварианта ФоменкоЦишанга.В этом разделе мы докажем две основные теоремы.

Теорема 6.1 даёт Лиувиллеву классификацию биллиардов в обобщенных областях, каждая элементарная область в составе которых несодержит фокусов семейства (1.1). Теорема 6.3 завершает классификацию и описывает топологию изоэнергетической поверхности Q3 биллиарда с фокусами.6.2.1Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях,каждая элементарная область в составе которых не содержитфокусов семейства границы.Теорема 6.1. Пусть обобщенная область ∆ состоит из элементарных областей Ω, причемлюбая элементарная область Ω не содержит фокусов. Тогда инвариант Фоменко-Цишанга –меченая молекула W ∗ , описывающая топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 биллиардного движения в такой обобщенной области ∆, имеет следующий вид (см.подробнее рис. 6.2):• молекула содержит одно или два нижних ребра (два ребра, только если область гомеоморфна кольцу), эти ребра бесконечные r = ∞, ε = ±1;• если область гомеоморфна кольцу, то бифуркация на уровне интеграла Λ = b описывается атомом Dn , где n это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутривсех областей Ω;• если область односвязна, то бифуркация на уровне интеграла Λ = b описывается атомом Bn , где n это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутри всех областей Ω, причем атом имеет столько звездочек, сколько конических точек типа c илиx имеет область ∆ (конические точки типа c и x расположены на оси Ox);94• на верхних ребрах молекулы стоят метки r = 0, ε = 1 или r = 12 , ε = 1, причем количество дробных меток в молекуле совпадает с количеством конических точек, имеющихтип y.Рис.

6.2: Меченые молекулы, описывающие топологию слоения Q3 биллиардного движения вобобщенных областях, не содержащих фокусов. В верхнем ряду расположены молекулы длядвижения в областях без конических точек, во втором – с одной конической точкой, в третьем– с двумя коническими точками.Для доказательства нам потребуется следующая лемма.Лемма 6.2. (А.В. Болсинов, А.Т.

Фоменко [11] Лемма 4.8)Рассмотрим произвольное ребро какой-либо молекулы W , и пусть (λ+ , µ+ ) и (λ− , µ− ) – допустимые системы координат, отвечающие двум атомам, соединенным этим ребром. Будемсчитать, что все эти циклы лежат на одном и том же торе Лиувилля, в середине ребра.Рассмотрим следующие три важных случая:1) если циклы λ+ и λ− не пересекаются, т.е. гомологичны на торе, то r = ∞;2) если циклы λ+ и λ− пересекаются ровно в одной точке, то r = 0;3) если циклы λ+ и λ− имеют индекс пересечения 2, то r = 12 .95Во всех этих трех случаях метка r не зависит от выбора ориентации на многообразииQ3 , на ребрах молекулы и критических окружностях.Доказательство.

Построение грубой молекулы напрямую следует из предыдущего параграфа.Вычислим метки.Выбор циклов λ, соответствующих нижним атомам A.Рис. 6.3: Выбор циклов λ на эллиптических (в случае области ∆, склеенной из областей B иC) и гиперболических (в случае области ∆ склеенной из областей A0 и A00 ) торах Лиувилля.Циклы λ представляют собой отрезок, выделенный красным цветом и оснащенный подходящими векторами скорости, которые выделены синими стрелками. Очевидно, что при стремлениивыделенного пунктиром интегрального эллипса или интегральной гиперболы к эллипсам и гиперболам, на которых лежат рёбра склейки, красный отрезок стягивается в точку, поэтому этотцикл является исчезающим циклом λ на минимаксном атоме A.

При стремлении интегральнойквадрики к фокальной прямой цикл становится гомеоморфен циклу, соответствующему движению вдоль этой фокальной прямой, т.е. может быть выбран в качестве слоя расслоенияЗейферта – цикла λ на седловом атоме.Пусть ∆ склеена из областей, содержащих отрезки фокальной прямой, которые не лежатмежду фокусами, т.е. склеена из областей вида B или C. Тогда нижним ребрам молекулы соответствуют торы, траектории которых (или их продолжения), касаются эллипсов. Рассмотримтор Tλ , траектории которого (или их продолжения) касаются некоторого эллипса. Проекциюэтого тора на область ∆ обозначим через ∆eλ .

Проекция ∆eλ эквивалентна обобщенной области,склеенной либо из областей-лент серии B, либо из областей-колец серии C.Рассмотрим проекцию p : ∆eλ → Oxy. Выберем в образе p(∆eλ ) дугу гиперболы hλ и рассмотрим связную часть её прообраза h˜λ . Выберем дугу hλ таким образом, чтобы h˜λ в области∆eλ не являлось ребром излома и не принадлежало свободной границе области ∆eλ . Оснастимдугу h˜λ . Заметим, что при λ → 0 область ∆eλ стягивается либо на отрезок (если ∆ склеена изобластей-лент) либо на окружность (если ∆ склеена из областей-колец), при этом кривая h˜λстягивается в точку.

Оснастим h˜λ векторами скорости v, так чтобы точки (x, v), x ∈ h˜λ лежали96на торе Tλ . Тогда точки (x, v), x ∈ h˜λ образуют на торе Tλ нетривиальный цикл (см. доказательство предложения 6.1.1). И так как при λ → 0 отрезок h˜λ стягивается в точку, то цикл(x, v), x ∈ h˜λ – это исчезающий цикл λ, соответствующий атому A.Заметим, что построенный нами цикл λ является слоем расслоения Зейферта на торе Tλ(см. рис. 6.3).

Тогда, т.к. циклы λ совпали, то по лемме 6.2 метки на этом ребре следующиеr = ∞, ε = ±1. Знак метки ε зависит от ориентации соответствующего многообразия Q3 .Рассмотрим биллиардное движение в обобщенной области ∆, которая склеена из областейΩ, эквивалентных элементарным областям A0 , A00 ,B0 . Рассмотрим тор Tλ , траектории которого(или их продолжения) касаются некоторой гиперболы. Проекцию этого тора на область ∆ обозначим через ∆hλ . Проекция ∆hλ эквивалентна обобщенной области, склеенной из бесфокусныхобластей A0 , A00 и B0 .Рассмотрим проекцию p : ∆hλ → Oxy.

Выберем в образе p(∆hλ ) дугу эллипса eλ и рассмотрим связную часть её прообраза e˜λ . Выберем дугу eλ таким образом, чтобы e˜λ в области ∆hλне являлось ребром излома и не принадлежало свободной границе области ∆hλ . Оснастим дугуe˜λ . Заметим, что при λ → b область ∆hλ стягивается либо на отрезок (∆ односвязна) либо наокружность (∆ гомеоморфна кольцу), при этом кривая e˜λ стягивается в точку. Оснастим e˜λ векторами скорости v, так чтобы точки (x, v), x ∈ e˜λ лежали на торе Tλ .

Тогда точки (x, v), x ∈ e˜λобразуют на торе Tλ нетривиальный цикл. И так как при λ → b отрезок e˜λ стягивается в точку, то цикл (x, v), x ∈ e˜λ – это исчезающий цикл λ. Аналогично, этот цикл λ является слоемрасслоения Зейферта и метки на это ребре r = ∞, ε = ±1.Выбор циклов на верхних ребрах молекулы.Пусть ∆ склеена из областей вида B или C. Тогда верхним ребрам молекулы соответствуют торы, траектории которых (или их продолжения), касаются гипербол. Рассмотрим тор Tλ ,траектории которого (или их продолжения) касаются некоторой гиперболы.

Проекцию этоготора на область ∆ обозначим через ∆eλ . Проекция ∆eλ эквивалентна либо области ∆α (2B0 ) либо ∆β (B0 )2y . При этом, количество проекций второго вида совпадает с количеством коническихточек типа y в области ∆.В качестве цикла λ, соответствующего седловому атому, возьмем объединение двух отрезковдуг некоторой гиперболы, каждый из которых лежит в своём экземпляре области B0 , входящейв состав проекции ∆eλ . Эти дуги можно оснастить векторами скорости направленными влево(см. рис. 6.4а) ).

В качестве дуги гиперболы можно выбрать дугу интегральной гиперболы.Тогда вектора оснащения будут касательными векторами. При стремлении интегральной гиперболы к фокальной прямой тор переходит в особый слой седлового атома и выбранный цикллибо переходит в цикл, гомеоморфный особой траектории либо накрывает её двулистно (этопроисходит в том случае если области B0 , входящие в проекцию ∆eλ , переходят в области серийB 0 или B 00 , склеенных друг с другом с образованием конической точки типа x). Таким образом,выбранный на рисунке 6.4а) красный цикл λ является искомым периодическим циклом – слоемрасслоения Зейферта.Пусть проекция ∆eλ эквивалентна области ∆α (2B0 ).

Тогда в качестве цикла λ соответствующего атому A можно взять дугу эллипса, входящую в одну из областей B0 , оснащенную векторами скорости, направленными вверх (см. рис. 6.4б) ). Построенные циклы λ пересекаются водной точке, следовательно, во-первых, они образуют базис на торе, а во-вторых, метка r = 0.При стремлении λ → a выбранный нами слой расслоения Зейферта – цикл λ, соответствующийседловому атому, переходит в критическую окружность атома A. Следовательно, метка ε поопределению равна 1.Пусть проекция ∆eλ эквивалентна области ∆β (B0 )2y .