Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 25

В этом случае необходимо поменять97Рис. 6.4: Выбор циклов λ на гиперболическом торе Лиувилля для биллиарда в обобщеннойобласти, склеенной из областей серий B и C. Жирным пунктиром выделены дуги интегральных гипербол, ограничивающие проекцию тора Лиувилля. Волнистые линии обозначают либосклейку вдоль гиперболических ребер, либо свободную границу, либо дуги интегральных гипербол.

На рисунке а) красным изображен периодический цикл λ, соответствующий седловомуатому, красными стрелками обозначены вектора скорости. На рисунках б) и в) синим изображены исчезающие цикл λ, соответствующие минимаксному атому A, синими стрелками обозначены вектора скорости. На рисунке б) проекция тора эквивалентна ∆α (2B0 ), а на рисункев) проекция тора эквивалентна ∆β (B0 )2y .цикл, соответствующий атому A: возьмём объединение дуг эллипса, входящих в обе области B0 ,оснащенные векторами скорости, направленными вверх (см. рис. 6.4в) ). Заметим, что красныйцикл на рисунке 6.4а) пересекается с синим циклом на рисунке 6.4в) в двух точках (эти точкивыделены жирным).

Следовательно, метка r на этом ребре r = 21 .При стремлении λ → a выбранный нами слой расслоения Зейферта – цикл λ, соответствующий седловому атому, либо переходит в критическую окружность атома A, либо накрывает еёдвулистно (это происходит в том случае если области B0 , входящие в проекцию ∆eλ , переходятв области, склеенные друг с другом с образованием конической точки типа y). Следовательно,метка ε по определению равна 1.Пусть в состав области ∆ входят элементарные области A0 , A00 и B0 .

Тогда верхним ребраммолекулы соответствуют торы, траектории которых (или их продолжения), касаются эллипсов.Рассмотрим тор Tλ , траектории которого (или их продолжения) касаются некоторого эллипса. Проекцию этого тора на область ∆ обозначим через ∆eλ . Проекция ∆eλ эквивалентна либообластям без конических точек B0 , ∆α (2B0 ) или ∆α (2B0 +2B0 ) либо области ∆β (B0 )2y с одной конической точкой типа y. При этом, количество проекций второго вида совпадает с количествомконических точек типа y в области ∆.В случае, если ∆eλ эквивалентна элементарной области B0 , доказательство повторяет соответствующую часть доказательства для биллиардов в элементарных областях.Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆α (2B0 ). На рисунках 6.5 а) и в) изображены циклы λ, соответствующие седловому (а) и минимаксному (в) атомам.

Видно, что эти циклы пересекаются98Рис. 6.5: Выбор циклов λ на эллиптическом торе Лиувилля для биллиарда в обобщеннойобласти, склеенной из областей A0 и A00 . Жирным пунктиром выделены дуги интегральных эллипсов, ограничивающие проекцию тора Лиувилля. Волнистые линии обозначают либо склейкувдоль гиперболических ребер либо свободную границу. На рисунках а) и б) красным изображены периодические циклы λ, соответствующие седловым атомам, красными стрелками обозначены вектора скорости.

На рисунке а) проекция тора эквивалентна области без коническихточек, а на рисунке б) проекция тора эквивалентна области с одной конической точкой типа y.На рисунке в) синим изображен исчезающий цикл λ, соответствующий минимаксному атомуA, синими стрелками обозначены вектора скорости.в одной точке на одном экземпляре B0 . Следовательно, метка r на этом ребре r = 0.Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆β (B0 )2y . На рисунках 6.5 б) и в) изображены циклы λ, соответствующие седловому (б) и минимаксному (в) атомам.

Видно, что эти циклы пересекаютсяв двух точках, каждая из которых лежит на экземпляре B0 . Следовательно, метка r на этомребре r = 21 .Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆α (2B0 + 2B0 ). Такая область склеена из четырех экземпляров элементарной области B0 . На рисунке 6.5 а) изображен на самом деле лишь один кусокцикла λ, соответствующий седловому атому.

Его необходимо продлить подобно циклу на рисунке 6.5 б). Однако продолжение этого цикла будет находится на экземпляре B0 , склееномвдоль гиперболического сегмента, тогда как исчезающий цикл λ, изображенный на рисунке 6.5в), лежит на двух экземплярах B0 склеенных вдоль эллиптического сегмента. Поэтому циклыλ будут по-прежнему пересекаться в одной точке. Следовательно, метка r на этом ребре r = 0.При стремлении параметра интегрального эллипса λ → 0 выбранные нами слои расслоения Зейферта – циклы λ, соответствующие седловым атомам, либо переходят в критическуюокружность атома A, либо накрывают её двулистно. Следовательно, метка ε по определениюравна 1.Теорема полностью доказана.6.2.2Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях,в составе которых есть элементарная область, содержащая фокусы семейства границы.Теорема 6.3. Пусть обобщенная область ∆ состоит из элементарных областей Ω, причемхотя бы одна элементарная область Ω содержит (внутри области или же на границе) фо99кус семейства (1.1).

Тогда инварианты Фоменко-Цишанга, – меченые молекулы, описывающиетопологию слоения Лиувилля биллиардного движение в этих обобщенных областях ∆, разбиваются на девять неэквивалентных между собой типов. Все они приведены в таблице (рис.6.6).Рис. 6.6: Меченые молекулы, описывающие биллиардное движение в обобщенных областях,содержащих фокусы.Доказательство. Пусть обобщенная область ∆ не содержит конических точек, лежащих нафокальной прямой, и любая область Ω в её составе не содержит фокусов кроме как на границе.В этом случае используя предложение находим, что если область не содержит конических точек,r=0,ε=1следовательно Q3 ' S 3 , откуда молекула имеет вид A −−−−−→ A.

Если же обобщенная область∆ содержит коническую точку типа y, то из того факта, что Q3 ' RP 3 , следует, что молекулаr= 1 ,ε=1имеет вид A −−−2−−→ A.Рассмотрим остальные обобщенные области.Ориентируем все рёбра молекулы по направлению к седловому атому. Для вычисления меток в каждом случае необходимо выбрать циклы на граничных торах у атомов, образующихмолекулу W . Эти циклы мы будем выбирать следующим образом: предъявим кривую в биллиардной области Ω, которая лежит в проекции данного тора Лиувилля. И покажем, какимивекторами скорости мы оснащаем эту кривую, поднимая её до кривой на торе и на многообразии Q3 .

После вычисления меток, ориентируем рёбра согласно росту функции Λ изменяя меткисогласно описанным выше правилам. Согласно замечанию 2 мы в каждом случае будем фиксировать ориентацию дополнительных циклов µ на граничных торах седлового атома. Тогда длявыбора правильной ориентации цикла λ на граничном торе минимаксного атома A необходимобудет выбрать ту из них, при которой определитель матрицы склейки на этом ребре будет равен-1.Все обобщенные области, в составе которых есть элементарная область, содержащая фокусысемейства границы, согласно классификации склеены либо из двух элементарных областей,100либо из четырёх экземпляров элементарной области A01 . В последнем случае это означает, чтообласть эквивалентна области ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ) с двумя коническими точками.

Разобьём этиобласти, следуя классификации, на четыре конечных класса:1. области с фокусом + область-лента: ∆α (A2 + C2 ) и ∆α (A1 + B1 ),2. удвоенные области без конических точек ∆α (2A2 ) и ∆α (2A1 ),3. удвоенные области с коническими точками: склеенные из двух половин эллипса ∆β (A02 )22xи ∆β (A02 )22y , склеенные из двух четвертей эллипса ∆β (A01 )2c , ∆β (A01 )2x , ∆β (A01 )2xyx и склееннаяиз четырех четвертей эллипса область ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ),4.

удвоенная область A01 с конической точкой + область-лента: ∆β ((A01 )2c + C1 ).В дальнейшем доказательстве рассматривая область, склеенную из двух экземпляров элементарных областей, фиксируем их и будем называть “верхней” областью и “нижней” областью,при этом будем полагать, что верхняя область содержит хотя бы один фокус семейства (1.1).Шаг первый.

Области ∆α (A2 + C2 ) и ∆α (A1 + B1 ).Воспользуемся циклами, выбранными для биллиардов в элементарных областях A2 и A1 ипродлим их в точках, где эти циклы выходят на ребро излома. Рассмотрим кусок дуги подходящей квадрики, быть может вырожденной, лежащей в области-ленте, один конец которой лежитна ребре излома, а другой – на внутренней эллиптической границе ленты B1 или C2 .

Оснастимего векторами скорости, который склеивались бы на внутренней эллиптической границе области ленты B1 или C2 , а на ребре излома склеивались бы с соответствующими векторами цикла,выходящего на ребро излома. Полученный отрезок на торе Лиувилля обозначим через l.Рассмотрим ребро молекулы, описывающей топологию биллиарда в области ∆α (A2 + C2 ),и отвечающее за движение по часовой стрелке. В этом случае вектора отрезка l будут такженаправлены по часовой стрелке.

Обозначим циклы, относящиеся к седловому атому на тореfh , µэтого ребра через (λh , µh ), а аналогичные циклы для области через (λfh ). Обозначим циклы,относящиеся к минимаксному атому на торе этого ребра через (λm , µm ), а аналогичные циклыfдля области через (λfffh + l, λm = λffh .

Замеm, µm ). Получаем λh = λh + 2l, µh = µm + l, µh = µтим, что при таком “удлиннении” циклы остаются допустимыми базисами на торе Лиувилля:дополнительные l в пределе позволяют продолжить λh на всю особуютраекторию,и замкнуть2 1оборванные рёбрами склейки циклы µh и λm . Матрица склейкина этом ребре уста1 0fh , µнавливает связь между выбранными циклами (λfh ) и (λffm, µm ) для биллиарда в области A2 .Используя это, вычислим новые матрицы склейки, связывающие (λh , µh ) и (λm , µm ). Получаемfh + 2l = 2λfλh = λfm+µm + 2l = 2(λm − l) + µm + 2l = 2λm + µm ,fµh = µfh + l = λm + l = λm − l + l = λm .Таким образом, матрица склейки осталась прежней.

Аналогичные рассуждения действуюти на другом эллиптическом ребре.fh + 2l, µh = µНа гиперболическом ребре получаем: λh = λfh + 2l, λm = λffh + 2l.m , µh = µПри таком “удлиннении” циклы остаются допустимыми базисами на торе Лиувилля.Матрица−1 1склейки на гиперболическом ребре для биллиарда в области A2 имеет вид. Тогда0 1fh + 2l = −λfλh = λfm+µm + 2l = −λm + µm − 2l + 2l = −λm + µm ,µh = µfh + 2l = µfm + 2l = µm − 2l + 2l = µm .101Таким образом, матрица склейки осталась прежней.Проделаем аналогичное с циклами для биллиарда в области ∆α (A1 + B1 ).На эллиптическом ребре получаем следующее:fh + l, µh = µλh = λfh + l, λm = λffh .m + l, µh = µ2 1Матрица склейки на эллиптическом ребре имеет вид.1 0fh + 2l = 2λfТогда λh = λfm+µm + 2l = 2λm − 2l + µm + 2l = 2λm + µm ,µh = µfh + l = λf+l=λ−l+ l = λm .mmНа гиперболическом ребре получаем:fh + 2l, µh = µλh = λfh + 2l, λm = λffh + 2l.m , µh = µ−2 1Матрица склейки на гиперболическом ребре имеет вид.1 1fh + 2l = −2λfТогда λh = λfm+µm + 2l = −2λm + µm − 2l + 2l = −2λm + µm ,µh = µfh + 2l = −λf+µf+2l=−λm + µm − 2l + 2l = −λm + µm .mmМатрицы склейки не изменились.Сохранение матриц склейки приводит к сохранению меток в молекуле, что влечёт за собойто, что молекулы при добавлении к области с фокусом области-ленты не меняется.Шаг второй.