Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Топологическая классификация интегрируемых биллиардов

Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 25

PDF-файл Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 25 Физико-математические науки (34334): Диссертация - Аспирантура и докторантураТопологическая классификация интегрируемых биллиардов: Физико-математические науки - PDF, страница 25 (34334) - СтудИзба2019-03-14СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Топологическая классификация интегрируемых биллиардов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 25 страницы из PDF

В этом случае необходимо поменять97Рис. 6.4: Выбор циклов λ на гиперболическом торе Лиувилля для биллиарда в обобщеннойобласти, склеенной из областей серий B и C. Жирным пунктиром выделены дуги интегральных гипербол, ограничивающие проекцию тора Лиувилля. Волнистые линии обозначают либосклейку вдоль гиперболических ребер, либо свободную границу, либо дуги интегральных гипербол.

На рисунке а) красным изображен периодический цикл λ, соответствующий седловомуатому, красными стрелками обозначены вектора скорости. На рисунках б) и в) синим изображены исчезающие цикл λ, соответствующие минимаксному атому A, синими стрелками обозначены вектора скорости. На рисунке б) проекция тора эквивалентна ∆α (2B0 ), а на рисункев) проекция тора эквивалентна ∆β (B0 )2y .цикл, соответствующий атому A: возьмём объединение дуг эллипса, входящих в обе области B0 ,оснащенные векторами скорости, направленными вверх (см. рис. 6.4в) ). Заметим, что красныйцикл на рисунке 6.4а) пересекается с синим циклом на рисунке 6.4в) в двух точках (эти точкивыделены жирным).

Следовательно, метка r на этом ребре r = 21 .При стремлении λ → a выбранный нами слой расслоения Зейферта – цикл λ, соответствующий седловому атому, либо переходит в критическую окружность атома A, либо накрывает еёдвулистно (это происходит в том случае если области B0 , входящие в проекцию ∆eλ , переходятв области, склеенные друг с другом с образованием конической точки типа y). Следовательно,метка ε по определению равна 1.Пусть в состав области ∆ входят элементарные области A0 , A00 и B0 .

Тогда верхним ребраммолекулы соответствуют торы, траектории которых (или их продолжения), касаются эллипсов.Рассмотрим тор Tλ , траектории которого (или их продолжения) касаются некоторого эллипса. Проекцию этого тора на область ∆ обозначим через ∆eλ . Проекция ∆eλ эквивалентна либообластям без конических точек B0 , ∆α (2B0 ) или ∆α (2B0 +2B0 ) либо области ∆β (B0 )2y с одной конической точкой типа y. При этом, количество проекций второго вида совпадает с количествомконических точек типа y в области ∆.В случае, если ∆eλ эквивалентна элементарной области B0 , доказательство повторяет соответствующую часть доказательства для биллиардов в элементарных областях.Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆α (2B0 ). На рисунках 6.5 а) и в) изображены циклы λ, соответствующие седловому (а) и минимаксному (в) атомам.

Видно, что эти циклы пересекаются98Рис. 6.5: Выбор циклов λ на эллиптическом торе Лиувилля для биллиарда в обобщеннойобласти, склеенной из областей A0 и A00 . Жирным пунктиром выделены дуги интегральных эллипсов, ограничивающие проекцию тора Лиувилля. Волнистые линии обозначают либо склейкувдоль гиперболических ребер либо свободную границу. На рисунках а) и б) красным изображены периодические циклы λ, соответствующие седловым атомам, красными стрелками обозначены вектора скорости.

На рисунке а) проекция тора эквивалентна области без коническихточек, а на рисунке б) проекция тора эквивалентна области с одной конической точкой типа y.На рисунке в) синим изображен исчезающий цикл λ, соответствующий минимаксному атомуA, синими стрелками обозначены вектора скорости.в одной точке на одном экземпляре B0 . Следовательно, метка r на этом ребре r = 0.Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆β (B0 )2y . На рисунках 6.5 б) и в) изображены циклы λ, соответствующие седловому (б) и минимаксному (в) атомам.

Видно, что эти циклы пересекаютсяв двух точках, каждая из которых лежит на экземпляре B0 . Следовательно, метка r на этомребре r = 21 .Пусть ∆eλ эквивалентна области ∆α (2B0 + 2B0 ). Такая область склеена из четырех экземпляров элементарной области B0 . На рисунке 6.5 а) изображен на самом деле лишь один кусокцикла λ, соответствующий седловому атому.

Его необходимо продлить подобно циклу на рисунке 6.5 б). Однако продолжение этого цикла будет находится на экземпляре B0 , склееномвдоль гиперболического сегмента, тогда как исчезающий цикл λ, изображенный на рисунке 6.5в), лежит на двух экземплярах B0 склеенных вдоль эллиптического сегмента. Поэтому циклыλ будут по-прежнему пересекаться в одной точке. Следовательно, метка r на этом ребре r = 0.При стремлении параметра интегрального эллипса λ → 0 выбранные нами слои расслоения Зейферта – циклы λ, соответствующие седловым атомам, либо переходят в критическуюокружность атома A, либо накрывают её двулистно. Следовательно, метка ε по определениюравна 1.Теорема полностью доказана.6.2.2Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях,в составе которых есть элементарная область, содержащая фокусы семейства границы.Теорема 6.3. Пусть обобщенная область ∆ состоит из элементарных областей Ω, причемхотя бы одна элементарная область Ω содержит (внутри области или же на границе) фо99кус семейства (1.1).

Тогда инварианты Фоменко-Цишанга, – меченые молекулы, описывающиетопологию слоения Лиувилля биллиардного движение в этих обобщенных областях ∆, разбиваются на девять неэквивалентных между собой типов. Все они приведены в таблице (рис.6.6).Рис. 6.6: Меченые молекулы, описывающие биллиардное движение в обобщенных областях,содержащих фокусы.Доказательство. Пусть обобщенная область ∆ не содержит конических точек, лежащих нафокальной прямой, и любая область Ω в её составе не содержит фокусов кроме как на границе.В этом случае используя предложение находим, что если область не содержит конических точек,r=0,ε=1следовательно Q3 ' S 3 , откуда молекула имеет вид A −−−−−→ A.

Если же обобщенная область∆ содержит коническую точку типа y, то из того факта, что Q3 ' RP 3 , следует, что молекулаr= 1 ,ε=1имеет вид A −−−2−−→ A.Рассмотрим остальные обобщенные области.Ориентируем все рёбра молекулы по направлению к седловому атому. Для вычисления меток в каждом случае необходимо выбрать циклы на граничных торах у атомов, образующихмолекулу W . Эти циклы мы будем выбирать следующим образом: предъявим кривую в биллиардной области Ω, которая лежит в проекции данного тора Лиувилля. И покажем, какимивекторами скорости мы оснащаем эту кривую, поднимая её до кривой на торе и на многообразии Q3 .

После вычисления меток, ориентируем рёбра согласно росту функции Λ изменяя меткисогласно описанным выше правилам. Согласно замечанию 2 мы в каждом случае будем фиксировать ориентацию дополнительных циклов µ на граничных торах седлового атома. Тогда длявыбора правильной ориентации цикла λ на граничном торе минимаксного атома A необходимобудет выбрать ту из них, при которой определитель матрицы склейки на этом ребре будет равен-1.Все обобщенные области, в составе которых есть элементарная область, содержащая фокусысемейства границы, согласно классификации склеены либо из двух элементарных областей,100либо из четырёх экземпляров элементарной области A01 . В последнем случае это означает, чтообласть эквивалентна области ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ) с двумя коническими точками.

Разобьём этиобласти, следуя классификации, на четыре конечных класса:1. области с фокусом + область-лента: ∆α (A2 + C2 ) и ∆α (A1 + B1 ),2. удвоенные области без конических точек ∆α (2A2 ) и ∆α (2A1 ),3. удвоенные области с коническими точками: склеенные из двух половин эллипса ∆β (A02 )22xи ∆β (A02 )22y , склеенные из двух четвертей эллипса ∆β (A01 )2c , ∆β (A01 )2x , ∆β (A01 )2xyx и склееннаяиз четырех четвертей эллипса область ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ),4.

удвоенная область A01 с конической точкой + область-лента: ∆β ((A01 )2c + C1 ).В дальнейшем доказательстве рассматривая область, склеенную из двух экземпляров элементарных областей, фиксируем их и будем называть “верхней” областью и “нижней” областью,при этом будем полагать, что верхняя область содержит хотя бы один фокус семейства (1.1).Шаг первый.

Области ∆α (A2 + C2 ) и ∆α (A1 + B1 ).Воспользуемся циклами, выбранными для биллиардов в элементарных областях A2 и A1 ипродлим их в точках, где эти циклы выходят на ребро излома. Рассмотрим кусок дуги подходящей квадрики, быть может вырожденной, лежащей в области-ленте, один конец которой лежитна ребре излома, а другой – на внутренней эллиптической границе ленты B1 или C2 .

Оснастимего векторами скорости, который склеивались бы на внутренней эллиптической границе области ленты B1 или C2 , а на ребре излома склеивались бы с соответствующими векторами цикла,выходящего на ребро излома. Полученный отрезок на торе Лиувилля обозначим через l.Рассмотрим ребро молекулы, описывающей топологию биллиарда в области ∆α (A2 + C2 ),и отвечающее за движение по часовой стрелке. В этом случае вектора отрезка l будут такженаправлены по часовой стрелке.

Обозначим циклы, относящиеся к седловому атому на тореfh , µэтого ребра через (λh , µh ), а аналогичные циклы для области через (λfh ). Обозначим циклы,относящиеся к минимаксному атому на торе этого ребра через (λm , µm ), а аналогичные циклыfдля области через (λfffh + l, λm = λffh .

Замеm, µm ). Получаем λh = λh + 2l, µh = µm + l, µh = µтим, что при таком “удлиннении” циклы остаются допустимыми базисами на торе Лиувилля:дополнительные l в пределе позволяют продолжить λh на всю особуютраекторию,и замкнуть2 1оборванные рёбрами склейки циклы µh и λm . Матрица склейкина этом ребре уста1 0fh , µнавливает связь между выбранными циклами (λfh ) и (λffm, µm ) для биллиарда в области A2 .Используя это, вычислим новые матрицы склейки, связывающие (λh , µh ) и (λm , µm ). Получаемfh + 2l = 2λfλh = λfm+µm + 2l = 2(λm − l) + µm + 2l = 2λm + µm ,fµh = µfh + l = λm + l = λm − l + l = λm .Таким образом, матрица склейки осталась прежней.

Аналогичные рассуждения действуюти на другом эллиптическом ребре.fh + 2l, µh = µНа гиперболическом ребре получаем: λh = λfh + 2l, λm = λffh + 2l.m , µh = µПри таком “удлиннении” циклы остаются допустимыми базисами на торе Лиувилля.Матрица−1 1склейки на гиперболическом ребре для биллиарда в области A2 имеет вид. Тогда0 1fh + 2l = −λfλh = λfm+µm + 2l = −λm + µm − 2l + 2l = −λm + µm ,µh = µfh + 2l = µfm + 2l = µm − 2l + 2l = µm .101Таким образом, матрица склейки осталась прежней.Проделаем аналогичное с циклами для биллиарда в области ∆α (A1 + B1 ).На эллиптическом ребре получаем следующее:fh + l, µh = µλh = λfh + l, λm = λffh .m + l, µh = µ2 1Матрица склейки на эллиптическом ребре имеет вид.1 0fh + 2l = 2λfТогда λh = λfm+µm + 2l = 2λm − 2l + µm + 2l = 2λm + µm ,µh = µfh + l = λf+l=λ−l+ l = λm .mmНа гиперболическом ребре получаем:fh + 2l, µh = µλh = λfh + 2l, λm = λffh + 2l.m , µh = µ−2 1Матрица склейки на гиперболическом ребре имеет вид.1 1fh + 2l = −2λfТогда λh = λfm+µm + 2l = −2λm + µm − 2l + 2l = −2λm + µm ,µh = µfh + 2l = −λf+µf+2l=−λm + µm − 2l + 2l = −λm + µm .mmМатрицы склейки не изменились.Сохранение матриц склейки приводит к сохранению меток в молекуле, что влечёт за собойто, что молекулы при добавлении к области с фокусом области-ленты не меняется.Шаг второй.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее