Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 26

Удвоенные области ∆α (2A2 ) и ∆α (2A1 ).На рисунке 6.7 показано как модифицировать циклы для биллиарда в элементарной областиA2 таким образом, чтобы они стали циклами для биллиарда в области ∆α (2A2 ). В частности,циклы соответствующие седловому атому C2 , преобразуются так: циклы λ по сути остаются прежними, однако теперь одна половина цикла проходит по верхнему экземпляру областиA2 , а другая – по нижнему.

Цикл µ на эллиптическом торе удваивается (аналогично тому,как мы удлиняли циклы в предыдущем пункте), а на гиперболическом остаётся неизменным.Циклы соответствующие минимаксным атомам, преобразуются так: цикл λ на эллиптическомторе удваивается (аналогично тому, как мы удлиняли циклы в предыдущем пункте), а на гиперболическом остаётся неизменным. Циклы µ на эллиптическом торе сохраняются, а на гиперболическом теперь одна половина цикла проходит по верхнему экземпляру области A2 , адругая – по нижнему. В результате, на эллиптических ребрах матрицы склейки стали иметь1 1вид:. На гиперболических ребрах (теперь их уже два) матрица склейки осталась неиз1 0−1 1менной.0 1В результате, получаем, что метки на ребрах имеют вид r = 0, ε = 1.

Метке в семье вычисляетсяобразом – все рёбра молекулы ориентированы как входящие. ПоэтомуP δiследующим0] + [− 11 ] = −2. Так как при замене ориентации многообразияn = i [− βi ] = [− 1 ] + [− 10 ] + [− −11метка n меняется, мы зафиксируем ту из них, при которой метка n = 2.Циклы 6.8 для биллиардного движения в области ∆α (2A1 ) строятся аналогично циклам вобласти A2 . Теперь, однако, здесь только один эллиптический тор и два гиперболических. Ноциклы, на самом деле, получаются из циклов в области A2 при замене эллипсов на гиперболыи наоборот.

В самом деле, проекция интегрального эллипса образует теперь две дуги (подобнотому как в случае области A2 проекцию гиперболического тора ограничивали две дуги гиперболы), тогда как проекция интегральной гиперболы – это окружность, состоящая из двухполовин, каждая из которых расположена на своём экземпляре области A1 .Такой тип построения циклов приводит к тому что матрицы склейки также сохраняются.102Рис. 6.7: Циклы для биллиардного движения в области ∆α (2A2 ). Зелёным цветом выделеныциклы λ, красным – циклы µ. В верхнем ряду изображены циклы, относящиеся к седловомуатому C2 , в нижнем – к минимаксным атомам A.2 11 0.

НаВ результате, на гиперболических ребрах матрицы склейки стали иметь вид:− 1эллиптическом ребре матрица склейки.0 1В результате, получаем, что метки на ребрах имеют вид r = 0, ε = 1. Метке в семье вычисляетсяобразом – все рёбра молекулы ориентированы как входящие. ПоэтомуP δiследующим0n = i [− βi ] = [− 1 ] + [− 01 ] + [− 11 ] = −1. Так как при замене ориентации многообразия метка nменяется, мы зафиксируем ту из них, при которой метка n = 1.Шаг третий. Описание топологии слоения Лиувилля биллиардной задачи дляудвоенных обобщенных областей с коническими точками, молекулы которых описываются атомами без звездочек, а именно для областей∆β (A02 )22x , ∆β (A01 )2c , ∆β (A01 )2x и ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c )Рассмотрим биллиардное движение в области ∆β (A01 )2x . Рассмотрим точку на фокальнойпрямой между фокусами и дугу гиперболы, проходящую через эту точку.

Оснастив эту гиперболу векторами скорости, направленными вправо , т.е. v2 ∈ (−, ), при достаточно малом > 0получим двумерный атом B. Граница этого двумерного атома B – это дуга этой гиперболы,оснащенная векторами вправо, касательными к некоторому эллипсу или некоторой гиперболе.Эти оснащенные дуги можно взять за циклы µ на соответствующих торах Лиувилля, так как103Рис. 6.8: Циклы для биллиардного движения в области ∆α (2A1 ). Зелёным цветом выделеныциклы λ, красным – циклы µ. В верхнем ряду изображены циклы, относящиеся к седловомуатому B, в нижнем – к минимаксным атомам A.они связаны условием существования глобального сечения.На рисунке 6.9 показано, как выбрать остальные циклы на торахВ резуль Лиувилля.0 1тате, матрица склейки на нижнем ребре молекулы будет иметь вид, а на верхних10−1 1.

Из матриц склейки метки восстанавливаются однозначно.0 1Рассмотрим биллиардное движение в области ∆β (A02 )22x . Эту область можно рассмотретькак удвоенную область ∆β (A01 )2x , поэтому выбор циклов можно провести аналогично. Изменимциклы, выбранные нами на торах изоэнергетической поверхности биллиарда в области ∆β (A01 )2x ,следующим образом: увеличим в два раза циклы λ, соответствующие атому B (критическаяокружность стала в два раза длиннее), и цикл µ, соответствующий нижнему атому A, а всеостальные циклыоставим без изменений (см.рис.6.10).В результате матрицы склейки примут0 1−1 2следующий вид:на нижнем ребре,на верхних ребрах.1 00 1На рисунке 6.14 показано, как выбрать циклы на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β (A01 )2c .

Эти циклы являются в некотором смыследвойственными к циклам выбранными для биллиарда в области ∆β (A01 )2x подобно тому какдвойственны друг другу циклы для биллиарда в областях A2 и ∆α (2A1 ).104Рис. 6.9: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движениев области ∆β (A01 )2x .

Зелёным цветом выделены циклы λ, красным – циклы µ. В верхней строкеизображены циклы на эллиптическом торе, в двух нижних – на гиперболических торах. Впервых двух столбцах изображены циклы, относящиеся к седловому атому B, в двух последних– к минимаксным атомам A.Метки при этом сохраняются.Для выбора циклов биллиарда в области ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ) можно воспользоваться цикламив области ∆β (A02 )22x и рассмотреть двойственные циклы, получающиеся друг из друга так жекак получаются друг из друга циклы в областях ∆β (A01 )2x и ∆β (A01 )2c .Шаг четвертый.

Описание топологии слоения Лиувилля биллиардной задачидля обобщенных областей ∆β (A01 )2cxy и ∆β (A1 )22y .Напомним, что циклы µ, соответствующие седловым атомам со звездочками, выбираютсяследующим образом. Выберем циклы µ̂ также как и в ориентируемом случае – циклы, высекаемые сечением ориентируемого атома – дубля соответствующего неориентируемого. Напомним,что дубль атома A∗ это атом B, а дубль атома A∗∗ – атом C2 . Один из этих циклов нужно оставить, а к одному из циклов, соответствующему другому тору, необходимо добавитьP кратP цикл,ный циклу λ –слою расслоения Зейферта, так чтобы выполнялось соотношениеµi = µˆ2i +kλ ,где k – число звездочек неориентируемого атома.

Для выбора циклов µ̂i мы будем также как ив предыдущем случае использовать дуги гипербол.В случае атома A∗ , описывающего топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности биллиарда в области ∆β (A01 )2cxy , мы имеем три цикла µ̂i : один цикл µˆ1 , соответствующийэллиптическому тору, и два цикла µˆ2 и µˆ3 соответствующих гиперболическому тору. Выберем105Рис. 6.10: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β (A02 )22x . Зелёным цветом выделены циклы λ, красным – циклы µ. В верхнихдвух строках изображены циклы, относящиеся к седловому атому B, в двух нижних – к минимаксным атомам A.

В первом столбце изображены циклы на эллиптическом торе, в двухпоследних – на гиперболических торах.цикл µ1 , соответствующий седловому атому и лежащий на эллиптическом торе следующим образом µ1 = µˆ12+λ , а цикл µ2 , лежащий на гиперболическом торе выберем равным µˆ2 , выкинувцикл µˆ3 .На рисунке 6.12 показано, как выбрать циклы λ – слои расслоения Зейферта, а также λ иµ, соответствующих минимаксным атомам A в случае области ∆β (A01 )2cxy .Фиксируем ориентацию циклов µ̂. На эллиптическом ребре имеем следующую конструкцию:λh +µ̂µh = µm, µh = 2 откуда λh = −µ̂ + 2µm .

Но µ̂ = λm . Следовательно, матрица склейки−1 2имеет вид. Фиксировав ориентацию на µ̂ мы фиксировали и ориентацию на µh и так0 1как она совпала с ориентацией µm (на котором она фиксирована слоем расслоения Зейферта,т.е. направлением оснащенных векторов), то δ = 1 в матрице склейки. На гиперболическом1 2ребре матрица склейки имеет тот же вид, т.к. без учета ориентации она имеет вид,0 1но мы фиксировали ориентацию циклов µ̂ а следовательно и ориентацию циклов µh .106Рис. 6.11: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β (A01 )2c . Зелёным цветом выделены циклы λ, красным – циклы µ.

В верхних двухстроках изображены циклы на эллиптическом торе, в нижней – на гиперболическом торе. Впервых двух столбцах изображены циклы, относящиеся к седловому атому B, в двух последних– к минимаксным атомам A.Получили следующие метки: r = − 21 , n = −2. Изменим теперь ориентацию многообразиятак чтобы метки r приняли бы положительные значения. В этом случае метка n станет равной−1.В случае атома A∗∗ , описывающего топологию слоения Лиувилля биллиарда в области∆β (A1 )22y , мы имеем четыре цикла µ̂i : два цикла µˆ1 и µˆ2 на эллиптическом торе, и два цикла µˆ3 и µˆ4 на гиперболическом торе.

Выберем цикл µ1 , соответствующий седловому атому илежащий на эллиптическом торе следующим образом µ1 = µˆ1 + λ, а цикл µ2 , лежащий нагиперболическом торе выберем равным µˆ3 , выкинув циклы µˆ2 и µˆ4 .Для области ∆β (A1 )22y эти циклы изображены на рисунке 6.13На ребрах молекулы A−A∗∗ −A, описывающей топологию слоениядля биллиарда Лиувилля0 1в области ∆β (A1 )22y , матрицы склейки имеют следующий вид:. Откуда получаем1 1искомые метки.Шаг пятый.

Описание топологии слоения Лиувилля биллиарда в обобщеннойобласти ∆β ((A01 )2c +C1 ). Для выбора циклов биллиарда в области ∆β ((A01 )2c +C1 ) воспользуемсяуже выбранными циклами для области ∆β (A01 )2c и удлиним их подобно тому как мы удлинилициклы на первом шаге. В результате, матрицы склейки останутся прежними.107Рис. 6.12: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β (A01 )2cxy . Зелёным цветом выделены циклы λ, красным – циклы µ, розовым –циклы µ̂, связанные существованием глобального сечения (т.е.

образующие граничные окружности некоторого плоского атома B – сечения атома A∗ ). В первой строке изображены циклына эллиптическом, а во второй строке – на гиперболическом торах, относящиеся к атому A∗ . Впоследней строке изображены циклы, относящиеся к минимаксным атомам A.Следствие 6.2.1. При замене одной обобщенной области на ей эквивалентную, молекула,описывающая топологию слоения Лиувилля изоэнергетического многообразия Q3 , сохраняется.Доказательство. напрямую следует из доказательств утверждений выше о построении грубыхмолекул и теорем 6.1 и 6.3 о вычислении меток.Замечание 14. В определениях обобщенной биллиардной области мы запретили склейку элементарных областей вдоль выпуклых дуг гипербол, если это не приводит к образованию конических точек.Пусть две элементарные области Ω1 и Ω2 склеены вдоль выпуклой дуги l некоторой гиперболы h без образования конической точки. Тогда переведём гиперболу h в вертикальную прямую,изменяя её параметр так чтобы он стал равным a.

Такое изменение граничной дуги приводит кf1 и Ωf2 . Но если их общий сегменттому, что области Ω1 и Ω2 заменяются на им эквивалентные Ωf1 и Ωf2 награницы это отрезок прямой, то мы можем заменить пару элементарных областей Ωeодну элементарную область Ω.Путём таких замен можно привести обобщенную область, склеенную вдоль выпуклых дуг108Рис. 6.13: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β (A1 )22y . Зелёным цветом выделены циклы λ, красным – циклы µ, розовым –циклы µ̂. В первой строке изображены циклы на эллиптическом торе – цикл λ, два цикла µ̂,а на последних трех рисунках – один и тот же цикл µ являющийся суммой цикла λ и одногоиз двух циклов µ̂.

Во второй строке изображены циклы на гиперболическом торе – цикл λ, двацикла µ̂, и цикл µ – один из µ̂. Наконец, в последней строке изображены циклы, относящиесяк минимаксным атомам A: в качестве µ можно взять уже выбранные циклы λ на торах, относящиеся к атому A∗∗ – видно, что каждый из них пересекается с исчезающим циклом λ всеголишь в одной точке.эллипсов и гипербол к области, склеенную лишь вдоль дуг эллипсов (и гипербол, если такаясклейка позволяет получить конические точки), т.е. свести задачу к уже рассмотренной.А так как по следствию 6.2.1 отношение эквивалентности сохраняет молекулу – инвариантЛиувиллевой эквивалентности, то биллиарды в областях полученные путём склеек вдоль выпуклых дуг эллипсов и гипербол будут лиувиллево эквивалентны классу обобщенных областей109Рис.