Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 27

6.14: Выбор циклов на торах Лиувилля для молекулы, описывающей биллиардное движение в области ∆β ((A01 )2c + C1 ). Циклы выбираются аналогично циклам в области ∆β (A01 )2c и либовыбираются также либо удлиняются на дугу l. Зелёным цветом выделены циклы λ, красным– циклы µ. В верхних двух строках изображены циклы на эллиптическом торе, в нижней – нагиперболическом торе. В первых двух столбцах изображены циклы, относящиеся к седловомуатому B, в двух последних – к минимаксным атомам A.рассмотренных в настоящей работе.110Глава 7Биллиарды как модели динамикитвёрдого тела.7.1Задачи динамики твёрдого тела.

Известные случаи интегрируемости.Классические уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердого тела с закреплённой точкой в поле силы тяжести, в системе координат, оси которой направлены вдоль главныхосей инерции тела, имеют следующий вид [30],[31].Aω̇ = Aω × ω − P r × ν,ν̇ = ν × ω.(7.1)Фазовые переменные здесь таковы: ω – вектора угловой скорости, ν – единичный вертикальныйвектор. Параметрами системы являются: диагональная матрица A = diag(A1 , A2 , A3 ), задающая тензор инерции твердого тела, P – вес тела, r – вектор с началом в неподвижной точке иконцом в центре масс тела.

Запись a × b означает векторное произведение в R3 .Вектор Aω имеет смысл кинетического момента твердого тела относительно неподвижнойточки. Н.Е.Жуковский исследовал задачу о движении твердого тела, имеющего полости, целиком заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей безвихревое движение[32]. В этом случае кинетический момент тела равен Aω + λ. Здесь λ – постоянный (в системекоординат, связанной с телом) вектор, характеризующий циклические движения жидкости вполостях.

Аналогичный вид кинетический момент тела имеет в случае, когда в теле закреплёнмаховик, ось которого направлена вдоль вектора λ. Такую механическую систему называютгиростатом. Движение гиростата в поле силы тяжести, а также некоторые другие задачи механики (см. например, [34]) описываются системой уравненийAω̇ = (Aω + λ) × ω − P r × ν,ν̇ = ν × ω,(7.2)частным случаем которой при λ = 0 является система (7.1).Другое обобщение уравнений (7.1) связано с заменой внешнего однородного поля, т.е. силытяжести, на более сложное. Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой в произвольном потенциальном силовом поле были получены Лагранжем. Если это поле имеет ось111симметрии, то её можно считать вертикальной, и уравнения примут вид:Aω̇ = Aω × ω + ν ×∂U,∂νν̇ = ν × ω,(7.3)∂U ∂U ∂Uгде U (ν) – потенциальная функция, а через ∂Uобозначен вектор с координатами ( ∂ν, , ).∂ν1 ∂ν2 ∂ν3При U = P hr, νi получаем систему уравнений (7.1).

Здесь через ha, bi обозначено стандартноеевклидово скалярное произведение векторов в R3 .Обобщения уравнения (7.2) и (7.3) можно комбинировать, рассматривая движение гиростатав осесимметричном поле и т.п. Наиболее общие уравнения, описывающие различные задачидинамики твердого тела, имеют вид (см., например, книгу М.П.Харламова [33]):Aω̇ = (Aω + κ) × ω + ν ×∂U,∂νν̇ = ν × ω,(7.4)где κ(ν) – вектор-функция, компоненты которой являются коэффициентами некоторой замкнутой 2-формы на группе вращений SO(3), т.е. формы гироскопических сил.

При этомвектор-функция κ(ν) не произольна, а имеет вид:κ = λ + (Λ − divλ · E)ν,(7.5)Ti231+ ∂λ+ ∂λ, а Λ = ∂λ– транспонигде λ(ν) – произвольная вектор-функция, divλ = ∂λ∂ν1∂ν2∂ν3∂νjрованная матрица Якоби. Очевидно, системы (7.1)-(7.3) являются частными случаями общейсистемы (7.4).У системы (7.4) всегда существует геометрический интегралF = hν, νi = 1и интеграл энергии1E = hAω, ωi + U (ν).2Если вектор-функция κ(ν) имеет вид (7.5, то существует интеграл площадейG = hAω + λ, νi.Можно показать (см., например [33]), что уравнения (7.4),(7.5) являются гамильтоновымина совместных 4-поверхностях уровня геометрического интеграла и интеграла площадей.

Болеетого, уравнения (7.4),(7.5) можно представить в виде уравнений Эйлера для 6-мерной алгебрыЛи e(3) группы движений трехмерного евклидова пространства.На линейном пространстве e(3)∗ определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций f и g:{f, g}(x) = x([dx f, dx g]),где x ∈ e(3)∗ , через [, ] обозначен коммутатор в алгебре Ли e(3), а dx f и dx g – это дифференциалыфункций f и g в точке x. Эти дифференциалы принадлежат в действительности алгебре Ли112e(3)б как ковекторы на e(3)∗ , при стандартном отождествлении пространства e(3)∗∗ с алгебройe(3). В естественных координатахS1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3на пространстве e(3)∗ эта скобка записывается следующим образом:{Si , Sj } = εijk Sk , {Ri , Sj } = εijk Rk , {Ri , Rj } = 0,(7.6)где {i, j, k} = {1, 2, 3}, а εijk = 12 (i − j)(j − k)(k − i).Гамильтонова система на пространстве e(3)∗ со скобкой (7.6), т.е.

уравнения Эйлера, поопределению имеют вид:Ṡi = {Si , H}, Ṙi = {Ri , H},где H – функция на e(3)∗ , называемая гамильтонианом. Вводя векторыS = (S1 , S2 , S3 ) и R = (R1 , R2 , R3 ),эти уравнения можно переписать в виде обобщённных уравнений Кирхгофа:∂H∂H∂H×S+× R, Ṙ =× R.Ṡ =∂S∂R∂S(7.7)Предложение 7.1.1. Отображение ϕ : R6 (ω, ν) → R6 (S, R), заданное формуламиS = −(Aω + λ), R = ν,(7.8)устанавливает изоморфизм системы (7.4), (7.5) и системы (7.7) с гамильтонианомH=(S1 + λ1 )2 (S2 + λ2 )2 (S3 + λ3 )2+++ U,2A12A22A3(7.9)где параметры A1 , A2 , A3 и функции λ1 , λ2 , λ3 , U берутся из системы (7.4), (7.5), но функциизаданы не на пространстве R3 (ν), а на пространстве R3 (R).Следствие 7.1.2.

Условие (7.5), налагаемое на вектор-функцию κ(ν), равносильно тому, чтосистема уравнений (7.4) эквивалентна системе, задаваемой уравнениями Эйлера на пространстве e(3)∗ , т.е. уравнениями (7.7), с гамильтонианом, квадратичным по переменным S, тоесть с гамильтонианом видаH = hCS, Si + hW, Si + V,(7.10)где C – постоянная симметричная матрица размера 3 × 3, W (R) – произвольная векторфункция, и V (R) – произвольная гладкая функция.При построенном отображении (7.8) интегралы F = hν, νi и G = hAω + λ, νi переходят винварианты алгебры Ли e(3):f1 = R12 + R22 + R32 , f2 = S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 ,113а интеграл энергии E = 12 hAω, ωi + U (ν)переходит в гамильтониан (7.9).

Система (7.7) являетсягамильтоновой на совместных четырёхмерных поверхностях уровня двух гладких функций, т.е.интегралов f1 и f2 :4= {f1 = R12 + R22 + R32 = c, f2 = S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g}.Mc,g(7.11)Для почти всех значений c и g эти совместные уровни являются неособыми гладкими подмногообразиями в e(3)∗ . В дальнейшем будем считать, что c и g являются именно такимирегулярными значениями.4Легко видеть, что эти симплектические 4-многообразия Mc,gдиффеоморфны, при c > 0,22касательному расслоению T S к двумерной сфере S .

Симплектическая структура задаётсяздесь ограничением скобки Ли-Пуассона на T S 2 из объемлющего 6-мерного пространства e(3)∗ .Поскольку линейное преобразование S 0 = S, R0 = γR, где γ = const,очевидно, сохраняет скобку(7.6), мы будем считать в дальнейшем, что всегда c = 1.Как уже отмечалось, система уравнений (7.7) с гамильтонианом (7.9) (или эквивалентнаясистема уравнений (7.4),(7.5)) описывает различные задачи динамики твердого тела и некоторые близкие к ней системы.Начиная с этого момента мы будем рассматривать систему уравнений (7.7) с гамильтониа4ном (7.9) на симплектическом 4-многообразиях M1,g= {f1 = 1, f2 = g} в 6-мерном пространстве∗e(3) . В каждой физической задаче фазовые переменные и параметры системы приобретаютконкретный физический смысл.Приведём список основных известных сегодня интегрируемых случаев для уравнений (7.7),(7.9)с указанием: кем, когда и для какой задачи этот случай интегриуремости был впервые обнаружен.

Для каждого случая указаны гамильтониан H и дополнительный интеграл K, функционально независимый с H. При этом дополнительный интеграл K может существовать не навсех 4-поверхностях уровня функций f1 и f2 , а лишь для некоторых значений постоянной g.Случай Эйлера (1750 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, совпадающей с центром масс твердого тела.S2S2S12+ 2 + 3 , K = S12 + S22 + S32 .(7.12)2A1 2A2 2A3Здесь интеграл K– квадратичный.Случай Лагранжа (1788 год).

Движение тяжелого твердого тела с закреплённой точке иуказанным ниже условием симметрии твёрдого тела.H=H=S2S2S12+ 2 + 3 + aR3 , K = S3 .2A 2A 2B(7.13)Здесь интеграл K–линейный. В этом случае твердое тело имеет ось симметрии, посколькуA1 = A2 = A. При этом закреплённая точка этого тела находится как раз на этой оси.Случай Ковалевской (1899 год).

Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкойи специальными условиями симметрии, указанными ниже.S12S2S2+ 2 + 3 + a1 R1 + a2 R2 ,2A 2AA2 2 22S1 S2S1 − S2K=+ a2 R2 − a1 R1 +− a1 R2 − a2 R1 .2AAH=114(7.14)Здесь интеграл K–четвертой степени. В этом случае A1 = A2 = 2A3 , и центр масс теларасположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум осям инерции тела, то естьв экваториальной плоскости эллипсоида инерции.Случай Горячева-Чаплыгина (1899 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленнойточкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже.S22S 2S12+ 2 + 3 + a1 R1 + a2 R2 ,2A 2AAK = S3 (S12 + S22 ) − AR3 (a1 S1 + a2 S2 ).H=(7.15)Здесь интеграл K–третьей степени.