Теория Морса минимальных сетей, страница 10

Последнее означает, что Γ ∈ ⟨′ ⟩. По только чтопроведенному рассуждению, имеет место включение ⟨′ ⟩ ⊂ ⟨⟩. Теперь,из минимальности страта ⟨⟩ вытекает, что ⟨′ ⟩ = ⟨⟩. Следовательно,по утверждению 1.3, дерево ′ совпадает с . Таким образом, леммадоказана. 3.3ПримерыСлучай = 3Начнем с тривиального примера = 3. В этом случае согласно таблицена стр.

45 имеется всего 1 геометрическое дерево 0 , изображенное нарис. 1.1. Поэтому пространство состоит из одного листа, соответствующего множеству ⟨0 ⟩.Случай = 4При = 4 согласно таблице на стр. 45 имеется 1 геометрическое дерево0 ранга ноль и 3 геометрических дерева ′0 , ′′0 , ′′′0 ранга один — потомки дерева 0 , изображенные на рис. 1.2. Страт ⟨0 ⟩ равен пересечению′′′′′′листов ⟨′0 ⟩, ⟨′′0 ⟩, ⟨′′′0 ⟩, т.е.

⟨0 ⟩ = ⟨0 ⟩ ∩ ⟨0 ⟩ ∩ ⟨0 ⟩. Пространство ,соответствующее случаю = 4, условно изображено на рис. 1.3Сети в метрических пространствахРис. 1.1:Рис. 1.2:Рис. 1.3:50Сети в метрических пространствах51Рис. 1.4:Случай = 5При = 4 согласно таблице на стр. 45 имеется одно геометрическое дерево 0 ранга ноль, 10 геометрических деревьев ранга 1 и 15 геометрических деревьев ранга два. Топологии этих геометрических деревьев изображены на рис.

1.4. Страт, отвечающий геометрическому дереву ранга 0является пересечением 15 листов, отвечающих геометрическим деревьямранга два. А каждый страт ⟨1 ⟩, отвечающий геометрическому дереву1 ранга два, является пересечением 3 листов ⟨′1 ⟩, ⟨′′1 ⟩, ⟨′′′1 ⟩, отвечаю′′′′′′щих геометрическим деревьям 1 , 1 , 1 ранга два — потомкам дерева1 .Глава 2Комбинаторная теория МорсаВ настоящей главе формулируется общая концепция построения теорииМорса для произвольных множеств и произвольных функций на них. Врамках этой концепции кратко напоминается классическая теория Морса и теория Морса для симплициальных комплексов, основы которойзаложены О. Р.

Мусиным в работе [12]. Определение комплекса − ииндекса для критической точки из работы [12] послужили отправнойточкой для разработанного в этой главе комбинаторного подхода к построению теории Морса для произвольных множеств и функций на них— комбинаторной теории Морса. С помощью результатов комбинаторной теории Морса последовательно реализуется программа построениятеории Морса минимальных сетей, изложенная в разделе 1 Введения.1Общая концепция построения теории МорсаПеред тем, как рассматривать конкретные теории Морса, кратко сформулируем общую концепцию построения теории Морса:Пусть — некоторое множество, — вещественнозначная функция на и — вещественное число.

Обозначим через ≤ подмножество множества , состоящее из всех точек , в которых () ≤ .Основная задача теории Морса — изучить, как меняется множество≤ с изменением числа .(Эта формулировка является почти цитатой из монографии Горескии Макферсона [2], стр.

9.)52Комбинаторная теория Морса53Рис. 2.1:2Классический случайВ классической теории Морса, см. например [10], в качестве множества выступает гладкое замкнутое многообразие. Наилучшим образом ееиллюстрирует следующий стандартный пример: рассмотрим двумерныйтор , вложенный в трехмерное евклидово пространство, см. рис. 2.1Пусть — проекция на вертикальную координатную ось, так что () есть высота точки . Будем медленно увеличивать и наблюдатьза изменениями пространства ≤ = { : () ≤ }. В классическойтеории Морса под изменением пространства ≤ понимают изменениеего гомотопического типа.

Мы обнаружим, что он меняется лишь тогда,когда проходит через одно из четырех критических значений 1 , 2 , 3 ,4 , соответствующих критическим точкам 1 , 2 , 3 , 4 . (Критическиеточки гладкой функции на гладком многообразии — это точки,в которых ее дифференциал обращается в 0. Критические значенияфункции — это ее значения в критических точках.) Эти наблюдения затором иллюстрируют первую часть основного результата классическойтеории Морса:Теорема C1 Пусть — гладкая функция на гладком замкнутом многообразии .

Пока число меняется в пределах открытого интерваламежду двумя соседними критическими значениями функции , гомотопический тип пространства остается постоянным.Комбинаторная теория Морса54Рис. 2.2:Посмотрим теперь, что происходит с гомотопическим типом пространства ≤ , когда минует одно из критических значений, см. рис. 2.2.Если меньше, чем 1 , то ≤ пусто. Как только проходит через 1 ,пространство ≤ изменяется: происходит добавление двумерного диска (имеющего форму чашки). При прохождении числа через 2 пространство ≤ преобразуется посредством приклеивания прямоугольникавдоль двух его противоположных сторон. Когда минует 3 , приклеивается вдоль двух противоположных сторон другой прямоугольник.

Наконец, при прохождении числа через 4 приклеивается вдоль своего краядвумерный диск (имеющий форму шапки), в результате чего получаетсявесь тор .Определим пару Морса для функции в критической точке ∈ какпару топологических пространств (, ), где ⊂ , обладающую следующим свойством: изменение, происходящее с пространством ≤ припрохождении числа через критическое значение = (), может бытьописано как приклеивание пространства вдоль . Приведенные вышеописания преобразований пространства ≤ можно теперь объединить вследующую таблицу пар Морса для тора :Комбинаторная теория МорсаКритическая точка55Пара Морса1= (0 × 2 , 0 × 2 )2 или 3= (1 × 1 , 1 × 1 )4= (2 × 0 , 2 × 0 )Здесь через обозначен замкнутый -мерный диск, а через —ограничивающая его ( − 1)-мерная сфера.

(Отметим, что нульмерныйдиск представляет собой точку и его край пуст.)Эта таблица пар Морса иллюстрирует вторую часть основного результата классической теории Морса.Перед тем как сформулировать соответствующую теорему напомним,что в классической теории Морса из всех гладких собственных функций (гладкая функция называется собственной, если прообраз любогозамкнутого отрезка компактен) на гладком многообразии выделяютсяфункции Морса, обладающие двумя условиями:∙ Все критические значения функции Морса различны.∙ Каждая критическая точка функции функции Морса невырождена, т.е.

матрица Гессе, состоящая из вторых частных производныхфункции в этой точке, имеет ненулевой определитель.Из приведенного выше определения следует, что множество всех критических точек функции Морса дискретно в гладком многообразии , амножество всех ее критических значений дискретно в R.Сформулируем теперь вторую часть основного результата классической теории Морса:Теорема C2 Пусть — функция Морса на гладком многообразии размерности . Пара Морса, измеряющая топологические измененияпространства ≤ при прохождении через критическое значение = (), является “ручкой” ( × − , () × − ), где — индексМорса функции в критической точке , т.е.

число отрицательныхсобственных значений матрицы Гессе функции в .Комбинаторная теория Морса56В случае тора индекс Морса равен нулю в точке 1 , единице в 2 и3 и двум в 4 .Из предыдущей теоремы выводится количественная связь между индексами критических точек и топологией многообразия в виде следующей теоремыТеорема C3 Обозначим через — число критических точек с индексом на гладком замкнутом многообразии .

Тогда имеет месторавенство Морса:∑︁(−1) = (),где (·) — эйлерова характеристика.3Симплициальный случайПусть ℳ — конечный симплициальный комплекс. Рассмотрим теперь вкачестве множества множество вершин (ℳ) комплекса ℳ, а такжерассмотрим некоторую вещественнозначную функцию на (ℳ). Обозначим через значение функции в вершине ∈ (ℳ). Мы, вообщеговоря, не предполагаем, что все числа различны.Изучим теперь изменение множества ≤ . В отличие от классическогослучая, здесь изменение мы понимаем непосредственно: множества ≤′и ≤′′ отличны друг от друга, если ≤′ ̸= ≤′′ .

С каждым множеством≤ связан подкомплекс ℳ≤ , состоящий из всех симплексов комплексаℳ с вершинами из ≤ . Очевидно, что множество ≤ изменяется тогдаи только тогда, когда изменяется комбинаторная структура комплексаℳ≤ . По определению, каждое число будет считаться критическимзначением функции , а каждую вершину — критической точкой.Тогда аналогом первой части основного результата классической теорииМорса (теорема C1) является следующий, в данном случае очевидный,результатТеорема S1 Пусть — вещественнозначная функция на множествевершин конечного симплициального комплекса ℳ.

Пока число меняется в пределах открытого интервала между двумя соседними критическими значениями функции , комбинаторная структура комплексаℳ≤ остается постоянной.Комбинаторная теория Морса57Функцию Морса в симплициальном случае мы определим следующимобразом. Функция называется симплициальной функцией Морса, еслидля любого одномерного симплекса ( , ) ∈ ℳ выполняется неравенство ( ) ̸= ( ).

Симплициальные функции Морса удобны тем, чтоизменение комбинаторной структуры комплекса ℳ≤ при прохождениичерез критическое значение описывается с помощью информации оповедении функции в окрестности критических точек, отвечающихкритическому значению . (Окрестностью вершины симплициального комплекса называется звезда этой вершины, которую мы обозначимчерез ().)Далее будем предполагать, что функция является симплициальнойфункцией Морса. Определим для каждой вершины два подкомплексав звезде ( ):− и 0−∙ − — множество симплексов из ( ), в вершинах которых функция строго меньше = ( ) (возможно, что − пуст);∙ 0−— множество симплексов из ( ), в вершинах которых функция меньше или равна = ( ).явЗаметим, что для симплициальной функции Морса комплекс 0−ляется “конусом” над комплексом − с вершиной в точке .Аналогом второй части основного результата классической теорииМорса (теорема C2) в симплициальном случае является следующая теоремаТеорема S2 Пусть — симплициальная функция Морса на вершинахсимплициального комплекса ℳ.

Пара Морса, измеряющая изменениякомбинаторной структуры комплекса ℳ≤ при прохождении через⋃︀критическое значение ˜, является объединением “ручек”(0−, − ). ( )=˜О. Р. Мусин в работе [12] нашел связь между поведением функции в окрестности критических точек и комбинаторной структуройкомплекса ℳ. Для этого он определил индекс вершины равенствомind := 1 − (− ). Тогда аналогом классического равенства Морса (теорема C3) является следующая теорема, доказанная в [12].Комбинаторная теория Морса58Теорема S3 (О. Р.