Теория Морса минимальных сетей, страница 11

Мусин) Имеет место равенство Морса:∑︁ind = (ℳ).Вышеизложенная конструкция используется в компьютерной геометрии для распознавания некоторых свойств многообразий, которые дискретно представлены в памяти ЭВМ, подробнее см. работу [12].4Комбинаторный подход к общему случаюВ этом разделе излагается комбинаторный подход к построению теорииМорса для общего случая, т.е. — произвольное множество, — произвольная вещественнозначная функция на . Согласно общей концепциипостроения теории Морса необходимо изучить как меняется множество≤ .

Для этого мы введем на некоторую дополнительную структуруΣ, называемую комбинаторной топологией (см. ниже). Эта структура, всвою очередь, индуцирует на множестве ≤ некоторую комбинаторнуютопологию Σ≤ . Под изменением множества ≤ при вариации параметра будет пониматься изменение комбинаторной топологии Σ≤ .4.1К-топологическое пространство Возьмем какое-нибудь конечное покрытие Σ = { } множества егоподмножествами , = ∪ .

Покрытие Σ = { } будем называтькомбинаторной топологией или, сокращенно, к-топологией на множестве . Множество, снабженное комбинаторной топологией назовемкомбинаторным топологическим пространством или, сокращенно, ктопологическим пространством. Любое подмножество к-топологического пространства можно также считать к-топологическим пространством, на котором к-топология индуцирована к-топологией пространства следующим образом: = ∪ ( ∩ ).Далее нам понадобятся понятия симплициального комплекса и нерва(являющегося симплициальным комплексом) конечного покрытия множества . Понятие нерва будет играть важную роль в дальнейших конструкциях.

Напомним их определения, см. например [13].Определение. (Абстрактным) симплексом △ назовем произвольноеконечное множество объектов (0 , 1 , . . . , ). Каждый объект (он можетКомбинаторная теория Морса59быть любой природы) из этого множества называется вершиной симплекса △.

Каждое подмножество симплекса △ также является симплексом и называется гранью симплекса △. Количество вершин симплекса△ минус один называется размерностью симплекса △.Совокупность N (абстрактных) симплексов называется (абстрактным) симплициальным комплексом, если выполнено следующее условие: вместе с каждым симплексом △ в совокупности N содержаться ивсе грани симплекса △.Определение. Пусть Σ = {0 , 1 , . . .

, } — некоторая система подмножеств множества . Построим абстрактный симплициальный комплекс (Σ), называемый нервом системы Σ. Будем считать, что множество (0 , 1 , . . . , ) является симплексом комплекса (Σ) тогда итолько тогда, когда 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ ̸= ∅.Определение. Пусть — к-топологическое пространство. Далее через () будем обозначать нерв к-топологии пространства .

Комплекс () будем называть комбинаторным топологическим типом или, сокращенно, к-топологическим типом пространства .Имеет место следующая простая леммаЛемма 2.1 Пусть и — подмножества к-топологического пространства с индуцированными к-топологиями, причем ⊂ . Тогдаимеется естественное вложение комплекса ( ) в ( ).Доказательство. Естественное вложение комплекса ( ) в комплекс ( ) установим следующим образом. Каждому симплексу комплекса ( ), отвечающему непустому пересечению ∩ 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ ,поставим в соответствие симплекс комплекса ( ), отвечающий аналогичному непустому пересечению ∩ 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ . Далее, если и являются подмножествами к-топологического пространства с индуцированными к-топологиями, причем ⊂ , то мыбудем считать комплекс ( ) подкомплексом комплекса ( ).Комбинаторная теория Морса4.260Изменение множества уровня ≤Согласно общей концепции построения теории Морса из раздела 1 необходимо изучить как меняется множество ≤ при изменении параметра.Для к-топологического пространства подмножество ≤ также является к-топологическим пространством с к-топологией Σ≤ , индуцированной к-топологией Σ.

Нерв к-топологии (к-топологический тип) пространства ≤ мы для сокращения записи будем обозначать через ≤ .Определение. Под изменением пространства ≤ мы будем пониматьизменение его к-топологического типа ≤ . И далее, мы будем изучатьименно изменение комплекса ≤ при изменении параметра .4.3Понятие критического значенияНеформально говоря, критическим значением функции на пространстве будем называть такое значение параметра , при котором происходит изменение комбинаторной структуры комплекса ≤ .Для того, чтобы дать это определение более формально, нам потребуется понятие комбинаторного замыкания набора симплексов до симплициального комплекса. Пусть — некоторый набор симплексов, тогдасимплициальным замыканием этого набора будем называть следующийнабор симплексов: ¯ = ∪ {△′ : ∃△ ∈ , △′ — грань симплекса △}.Очевидно, что ¯ является симплициальным комплексом.

Другими словами, ¯ — это наименьший по включению симплициальный комплекс,содержащий набор симплексов .Определение. Приращением комплекса ≤ на отрезке [1 , 2 ]будем называть симплициальное замыкание множества симплексов≤2 ∖≤1 , т.е. := ≤2 ∖≤1 .Определение. Число ˜ назовем критическим значением функции ,если существует такое 0 > 0, что для любого , 0 < ≤ 0 , приращение комплекса ≤ на отрезке [˜ − , ˜ + ] не пусто.

Будем обозначатьэто приращение через ˜.Предложение 2.1 У функции конечное число критических значений.Комбинаторная теория Морса61Доказательство. В самом деле, пусть 1 и 2 , 1 ≤ 2 , — критическиезначения функции , тогда для достаточно малых 1 и 2 в силу цепочкивключений≤1 −1 ( ≤1 +1 ⊆ ≤2 −2 ( ≤2 +2приращения 1 и 2 в критических значениях 1 и 2 различны.Теперь конечность множества критических значений следует из того,что 1 и 2 являются подкомплексами конечного комплекса ().В силу конечности комплекса () комплекс ≤ меняется лишь вконечном числе значений параметра (в критических значениях функции ), поэтому будут корректными следующие обозначения.

Через ≤+будем обозначать комплекс ≤+ , где > 0 — любое достаточно малоечисло. Аналогично, через ≤− будем обозначать комплекс ≤− , где > 0 — любое достаточно малое число.Из определения критического значения и предложения 2.1 вытекаетследующее утверждение, являющееся аналогом первой части основногорезультата классической теории Морса (теорема C1):Утверждение 2.1 Пусть 1 , 2 ,. . .

, — все критические значенияфункции . Тогда эти значения разбивают всю прямую R на интервалы постоянства к-топологического типа пространства ≤ : (−∞, 1 ),(1 , 2 ),. . . , (−1 , ), ( , +∞).Согласно определению приращения в критической точке ˜ и введенных обозначений комплекс ˜ равен ≤˜+ ∖≤˜− . И поскольку ˜ ⊂≤˜+ , то имеет место равенство≤˜− ∪ ˜ = ≤˜+ .Таким образом, получаем аналог второй части основного результатаклассической теории Морса (теорема C2)Утверждение 2.2 Пусть ˜ — критическое значение функции . ПаройМорса, измеряющей изменение к-топологического типа пространства≤ при прохождении через критическое значение ˜, является пара(˜, ˜ ∩ ≤˜− ).Другими словами, имеет место равенство: ≤˜− ∪ ˜ = ≤˜+ .Комбинаторная теория Морса4.462Стратификация пространства Определение.

Назовем стратом к-топологического пространства любое пересечение 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ элементов к-топологии пространства . Каждому симплексу △ = (0 , 1 , . . . , ) из комплекса ()отвечает некоторый непустой страт 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ , который мыобозначим через (△).Рассмотрим некоторую точку из пространства . Эта точка можетодновременно содержаться в нескольких стратах множества . Наименьший по включению страт, содержащий точку , назовем минимальнымстратом для точки .Лемма 2.2 Пусть (△′ ) и (△′′ ) — два страта множества , причем их пересечение (△′ ) ∩ (△′′ ) не пусто. Тогда в комплексе ()существует симплекс △, такой что симплексы △′ и △′′ являются егогранями и (△) ⊂ (△′ ) ∩ (△′′ ).Доказательство.

Пусть симплексу △′ отвечает непустое пересечение′0 ∩′1 ∩· · ·∩′ , а симплексу △′ — непустое пересечение ′′0 ∩′′1 ∩· · ·∩′′ . Согласно условию леммы, пересечение ′0 ∩· · ·∩′ ∩′′0 ∩· · ·∩′′ непусто, и поэтому оно задает некоторый симплекс △ из комплекса ().Ясно, что симплекс △ — искомый. Следствие 2.1 Пусть (△) — некоторый страт множества . Тогда˜ такой чтосуществует симплекс △,˜ = (△);∙ (△)∙ любой симплекс △′ , для которого (△′ ) = (△), является гранью˜симплекса △.˜ из следствия 2.1 назовем максимальнымДля страта (△) симплекс △симплексом, задающим страт (△).Назовем каждый максимальный симплекс △, задающий страт (△),существенным симплексом комплекса (). Имеет место простая лемма, доказательство которой непосредственно вытекает из определениямаксимального симплекса.Лемма 2.3 Сопоставление каждому страту максимального симплекса, задающего этот страт, определяет взаимнооднозначное соответствие между набором всех существенных симплексов комплекса ()и набором стратов пространства .Комбинаторная теория Морса63Лемма 2.4 Пересечение двух существенных симплексов комплекса () также является существенным симплексом.Доказательство.

Пусть △ — существенный симплекс, которому отвечает страт (непустое пересечение) (△) = 1 ∩· · ·∩ . Из определениямаксимального симплекса следует, что при добавлении к этому пересечению еще одного элемента общее пересечение уменьшится. Рассмотримеще одни существенный симплекс △′ , которому отвечает страт (непустое˜ = △ ∩ △′ отпересечение) (△′ ) = ′1 ∩ · · · ∩ ′ Тогда симплексу △˜ являющийся пересечением элементов ,вечает некоторый страт (△),входящих как в симплекс △, так и в симплекс △′ .

Для определенности˜ = ∩ · · · ∩ = ′ ∩ · · · ∩ ′ .положим, что это пересечение (△)11˜ не является максимальным для страта (△).˜Допустим, что симплекс △Тогда существует элемент из покрытия множества , не входящий вкакое-то из двух начальных пересечений, скажем в первое, и такой что1 ∩ · · · ∩ = ∩ 1 ∩ · · · ∩ . Следовательно,(1 ∩ · · · ∩ ) ∩ · · · ∩ = ( ∩ 1 ∩ · · · ∩ ) ∩ · · · ∩ .Это означает, что симплекс △ не является максимальным симплексомдля страта (△) = 1 ∩ · · · ∩ , что противоречит исходному предположению.˜ = △ ∩ △′ является максимальным симТаким образом, симплекс △˜ и, следовательно, является существенным симплексом для страта (△),плексом для комплекса (). 4.5Понятие критической точкиВведем теперь понятие критической точки для функции .Согласно лемме 2.1, мы считаем комплекс ≤ подкомплексом комплекса ().