Теория Морса минимальных сетей, страница 12

Очевидно, что симплекс △ ∈ () будет принадлежатькомплексу ≤ тогда и только тогда, когда пересечение множества ≤со стратом (△) не пусто.Пусть ˜ — критическое значение функции . Это означает, что в комплексе ≤˜+ появился симплекс △, которого не было в комплексе ≤˜− .Другими словами, пересечение страта (△) с множеством ≤˜+ , не пусто, а с множеством ≤˜− — пусто, где — достаточно малое положительное число. Таким образом, получаем леммуКомбинаторная теория Морса64Лемма 2.5 Критическое значение ˜ является точной нижней граньюфункции в стратах, отвечающих симплексам из ≤˜+ ∖≤˜− .и, как следствие, утверждениеУтверждение 2.3 Число ˜ является критическим значением функции тогда и только тогда, когда существует страт (△), на которомабсолютный минимум функции равен ˜, т.е.˜ = inf ().∈(△)Естественно теперь дать такое определение критической точкиОпределение.

Точка называется критической точкой для функции , если она является точкой абсолютного минимума функции на какомлибо страте (△), содержащем эту точку, т.е. () =inf′ ∈(△) (′ ),где (△) ∋ .Критическим множеством Crit (˜) для функции , отвечающимкритическому значению ˜, назовем объединение критических точек ,таких что () = ˜.Замечание. Вообще говоря, критическое множество Crit (˜) можетбыть и пустым.Утверждение 2.4 Точка ∈ является критической точкой функции тогда и только тогда, когда она является точкой абсолютногоминимума функции на минимальном страте для этой точки.Доказательство.

Пусть ∈ — критическая точка функции . Тогда, по определению критической точки, существует страт (△) ∋ ,на котором функция достигает в точке абсолютного минимума наэтом страте. Но, поскольку минимальный страт для точки содержится в страте (△), то точка является точкой абсолютного минимумафункции и на минимальном страте для этой точки.В обратную сторону утверждение следует из определения критической точки. Комбинаторная теория Морса4.665Комбинаторный потенциал точки из Определим для произвольной точки ∈ комбинаторный потенциал− () или, сокращенно, к-потенциал − ().Определение. Симплекс △ принадлежит комбинаторному потенциалу− () тогда и только тогда, когда значение функции в точке неявляется точной нижней гранью функции в страте (△), т.е.

() >inf′ ∈(△) (′ ).Мы будем говорить, что для точки по страту (△) можно уменьшить функцию .Легко заметить, что − () — симплициальный комплекс.Определение. Индексом произвольной точки из пространства назовем следующую разностьind := 1 − (− ()).(ср. с определением индекса вершины из раздела 3 настоящей главы).Лемма 2.6 Пусть (△) — минимальный страт для точки ∈ , () = , а △ — максимальный симплекс, задающий этот страт.

Тогда− () = △ ∩ ≤− .В последнем равенстве симплекс △ рассматривается как симплициальный комплекс, т.е. вместе со всеми своими гранями.Доказательство. Сначала докажем включение − () ⊂ △ ∩ ≤− .Пусть △′ — некоторый симплекс из к-потенциала − (). Тогда, согласноопределению к-потенциала, в страте (△′ ) имеется некоторая точка ′ ,такая что (′ ) < . Следовательно, симплекс △′ принадлежит комплексу ≤− .

С другой стороны, страт (△′ ) содержит точку , а значит иминимальный страт (△) для точки . Поэтому, согласно лемме 2.2 иопределению максимального симплекса, симплекс △′ является граньюсимплекса △. Таким образом, включение − () ⊂ △ ∩ ≤− доказано.Докажем обратное включение − () ⊃ △ ∩ ≤− . Пусть симплекс △′принадлежит пересечению △ ∩ ≤− . Из принадлежности симплекса △′Комбинаторная теория Морса66комплексу △ следует, что (△′ ) ⊃ (△) ∋ . С другой стороны, поскольку △′ принадлежит комплексу ≤− , то в страте (△′ ) существует точка′ , такая что (′ ) < . Теперь из определения к-потенциала − () вытекает △′ ∈ − ().

Таким образом, обратное включение также доказано.Предложение 2.2 Пусть — некоторая точка из множества , и △— максимальный симплекс, задающий минимальный страт для точки. Точка является критической точкой функции тогда и толькотогда, когда − () ( △.Доказательство. Пусть — критическая точка функции . Тогда, согласно лемме 2.6, комплекс − () является подкомплексом симплекса △(как комплекса). С другой стороны, симплекс △ (как симплекс) не принадлежит к-потенциалу − (). В самом деле, значение ˜ функции вкритической точке равно точной нижней грани функции в страте(△), следовательно, △ ∈/ ≤˜− .Обратно. Пусть теперь для точки выполняется строгое включение − () ( △.

Тогда симплекс △ (как симплекс) не принадлежит кпотенциалу − (), а это значит, что функция в точке достигает своейточной нижней грани на страте (△). Следовательно, — критическаяточка. Следствие 2.2 Пусть — некритическая точка функции , и △ —максимальный симплекс, задающий минимальный страт для точки .Тогда − () = △ и ind = 0.Вычисление (− )В разделе 5 настоящей главы нам понадобится вычислять индексы критических точек или, эквивалентно, эйлеровы характеристики их к-потенциалов. Напомним, что по определению, эйлерова характеристикакомплекса равна следующей альтернированной сумме: количество 0мерных симплексов – количество одномерных симплексов + количество2-мерных симплексов и т.д.

Из этого определения видно, что мы вынуждены знать количество -мерных симплексов комплекса для любого .Такая информация часто бывает трудно вычислима. Поэтому мы поступим следующим образом. Представим комплекс в виде объединениястягиваемых (в геометрическом смысле) подкомплексов , так что всеКомбинаторная теория Морса67пересечения этих подкомплексов также стягиваемы, тогда () = количество подкомплексов – количество их одинарных пересечений +количество двойных пересечений и т.д.Уточним эту идею.

Рассмотрим некоторый комплекс . Симплекс△ ∈ назовем наибольшим симплексом комплекса , если △ не является гранью никакого другого симплекса из комплекса . Возьмемтеперь в качестве совокупности стягиваемых комплексов набор наибольших симплексов комплекса . Этот набор { } образует покрытиекомплекса . Двойственным комплексом * к комплексу назовемнерв покрытия комплекса его наибольшими симплексами . Из алгебраической топологии известно, см. например [16], что комплексы и * когомологичны; в частности, () = ( * ).Обратимся теперь к комплексам − , являющимся подкомплексамикомплекса (), и изучим как устроен двойственный к − комплекс −* .Определение. Двойственный комплекс −* () к к-потенциалу − () будем называть ко-потенциалом точки .Вершины комплекса −* суть наибольшие симплексы комплекса − .Обозначим через страт (△ ), соответствующий наибольшему симплексу △ комплекса − (). Поскольку △ ∈ − (), то по страту дляточки можно уменьшить функцию .

В силу того, что симплекс △— наибольший симплекс в комплексе − (), страт не содержит в себе как собственное подмножество никакого другого страта, по которомудля точки можно уменьшить функцию .Рассмотрим наибольшие симплексы △1 ,. . . , △ комплекса − ().Обозначим через △ — симплекс, являющийся их пересечением. Симплекс △ есть максимальный симплекс, задающий соответствующийстрат (△). В самом деле, каждый наибольший симплекс △ комплекса − () является максимальным симплексом, задающим соответствующий страт , а потому и существенным симплексом комплекса ().По лемме 2.4, пересечение △ существенных симплексов △1 ,. . .

, △ также будет существенным симплексом, т.е. максимальным симплексом для(△). Поскольку симплекс △ является гранью каждого из симплексов△1 ,. . . , △ , то страт (△) содержит в себе страты 1 ,. . . , . Причем(△) — наименьший по включению страт, содержащий в себе страты1 ,. . . , .Теперь можно считать, что вершинами ко-потенциала −* () являются наименьшие по включению страты , по которым для точки Комбинаторная теория Морса68можно уменьшить функцию .

А ( − 1)-мерным симплексом с вершинами 1 ,. . . , является наименьший по включению страт, содержащийстраты 1 ,. . . , . Обозначим совокупность ( − 1)-мерных симплексов(стратов) через . Таким образом, учитывая, что (− ()) = (−* ()),получаем предложениеПредложение 2.3 Имеет место равенство∑︁(− ()) =(−1)−1 # .4.7Индексы критических значений и равенствоМорсаОпределение. Индексом критического значения ˜ назовем следующуюразность(︀)︀ind ˜ := (˜) − ˜ ∩ ≤˜− ,где (·) — эйлерова характеристика.Обозначим через 0 комплекс ≤0 , где 0 — достаточно большое помодулю отрицательное число. Согласно утверждению 2.1 такое обозначение корректно.Утверждение 2.5 Пусть 1 , 2 ,.

. . , — все критические значенияфункции . Сумма индексов всех критических значений функции равняется эйлеровой характеристике комплекса () минус эйлерова характеристика комплекса 0 , т.е.∑︁(︀)︀(︀ )︀ind = () − 0 .Доказательство. В силу равенства из утверждения 2.2 и аддитивногосвойства эйлеровой характеристики, для каждого критического значения имеем(︀)︀( ) − ∩ ≤ − = (≤ + ) − (≤ − ).Учитывая определение индекса критического значения и утверждение 2.1, просуммируем это равенство по от 1 до и получим∑︁ind = (≤ + ) − (≤1 − ).Осталось заметить, что ≤ + = () и ≤1 − = 0 . Комбинаторная теория Морса4.869Неравенства МорсаРавенство из утверждения 2.5 носит название равенство Морса. Имеется, однако, более сильная теорема (см.