Теория Морса минимальных сетей, страница 14

Лемма 2.10 Минимальный страт для любой точки из критическогоподмножества (△˜) содержит страт (△˜).Доказательство. Пусть ∈ (△˜), т.е. точка принадлежит некоторому множеству min (△), где △ — грань симплекса △˜. Обозначимчерез (△′ ) минимальный страт для точки . Поскольку (△) ⊃ (△′ )и ∈ min (△), то принадлежит множеству min (△′ ). Следовательно, симплекс △′ должен принадлежать совокупности ˜∖≤˜ , т.е.Комбинаторная теория Морса75одной из ручек функции , а множество min (△′ ) одному из соответствующих этим ручкам критических подмножеств. Но пересечениеmin (△′ ) ∩ (△˜) содержит точку . Следовательно, симплекс △′ является гранью симплекса △˜ и имеет место включение (△˜) ⊂ (△′ ).Предложение 2.4 Пусть ˜ — канонический представитель ручки △˜в критическом множестве Crit (˜).

Тогда к-потенциал − (˜) точки ˜совпадает с подошвой △˜ ∩ ≤˜− ручки △˜ и имеет место равенствоind △˜ = ind ˜.Доказательство. Совпадение к-потенциала − (˜) с подошвой △˜ ∩≤˜− вытекает из лемм 2.9 и 2.6. В свою очередь, равенство ind △˜ =ind ˜ следует из этого совпадения и определений соответствующих индексов. Таким образом, для комбинаторной функции Морса, чтобы описывать изменение к-топологического типа множества ≤ при прохождениичисла через критическое значение ˜, достаточно знать лишь нескольких критических точек из множества Crit (˜), а именно — каноническихпредставителей ˜.

В самом деле, согласно утверждению 2.7, изменениекомплекса ≤ при прохождении через ˜ определяется приклейкой ручек△˜ к комплексу ≤˜− по своим подошвам △˜ ∩ ≤˜− . Каждая ручка △˜,согласно лемме 2.9, определяется как максимальный симплекс, задающий минимальный страт для точки ˜, а подошва этой ручки, согласнопредложению 2.4, — как к-потенциал − (˜).

Вычисление к-потенциаловточек для многих интересных случаев, см. главу 3 представляет собойлокальную процедуру.Теперь из утверждения 2.8 и предложения 2.4 вытекает следующаятеоремаТеорема 2.1 Пусть — комбинаторная функция Морса на к-топологическом пространстве . Обозначим через {△ } совокупность ручекфункции , а через — их канонических представителей.

Тогда имеетместо равенство∑︁ind = ( ()).Комбинаторная теория Морса576Теория Морса минимальных сетейВ этом разделе мы реализуем программу построения теории Морса дляминимальных сетей, сформулированную во Введении. В качестве пространства мы возьмем конфигурационное пространство всех регулярных сетей, затягивающих данную границу, а в качестве функции — функцию ℓ длины сети. Напомним, что пространство и функция ℓбыли построены в разделе 3 главы 1. В настоящем разделе мы превратим пространство в к-топологическое пространство и воспользуемсярезультатами комбинаторной теории Морса из предыдущего раздела. Вчастности, ее количественным результатом — равенством Морса.

Оказывается, что для пространства можно написать несколько равенствМорса, связывающих его к-топологический тип с критическими точками. Этот набор равенств Морса мы перепишем в более естественных длятеории минимальных сетей терминах и выведем полезные для этой теории формулы.5.1Пространство как к-топологическое пространствоК-топология на пространстве Пусть ( , ) — некоторое метрическое пространство и = { }=1 —фиксированная граница в пространстве . Рассмотрим конфигурационное пространство всех регулярных сетей, затягивающих данную границу , и функцию ℓ длины сети. Напомним, что пара ( , ℓ) была построена в разделе 3 главы 1. Также напомним, см.

следствие 1.2, чтопространство обладает конечным покрытием Σ = {⟨⟩}∈(−3) , где(−3) — множество геометрических бинарных деревьев с граничнымивершинами. Покрытие Σ задает на пространстве к-топологию.Теперь мы можем воспользоваться результатами комбинаторной теории Морса из раздела 4 настоящей главы, где в качестве множества берется пространство , а в качестве функции — функция ℓ.Комбинаторные свойства комплекса ( )Изучим теперь комбинаторные свойства к-топологического типа пространства .Комбинаторная теория Морса77Лемма 2.11 Комплекс ( ) является симплексом размерности(2(−2))!− 1.2−2 (−2)!Доказательство. Поскольку каждый лист (элемент покрытия Σ) содержит в себе страт ⟨0 ⟩, где 0 — геометрическое дерево топологиизвезда, то пересечение всех листов пространства не пусто.

Следовательно, комплекс ( ) является симплексом. Вершины этого симплекса суть листы пространства , количество которых равно |(−3) | и, поутверждению 1.2, равно 2(2(−2))!−2 (−2)! . Поскольку по утверждению 1.3 и лемме 2.3 имеются взаимнооднозначные соответствия между стратами пространства и геометрическими деревьями из множества и между стратами пространства исущественными симплексами комплекса ( ), то мы получаем леммуЛемма 2.12 Имеется взаимнооднозначное соответствие между существенными симплексами комплекса ( ) и геометрическими деревьями из .Лемма 2.13 Рассмотрим два существенных симплекса △′ и △ комплекса ( ).

Обозначим через ′ и соответствующие им геометрические деревья. Симплекс △′ является гранью симплекса △, если итолько если выполняется неравенство ′ ≤ .Доказательство. Включение △′ ⊂ △ выполняется тогда и толькотогда, когда когда выполняется обратное включение ⟨′ ⟩ = (△′ ) ⊃(△) = ⟨⟩. В свою очередь, последнее включение выполняется тогда итолько тогда, когда верно неравенство ′ ≤ .

5.2Критические точки и критические значенияфункции ℓУтверждение 2.9 Регулярная сеть Γ является критической точкойфункции ℓ на пространстве тогда и только тогда, когда Γ — регулярная минимальная параметрическая сеть.Доказательство. Пусть Γ — критическая точка (регулярная сеть)функции ℓ. Обозначим через ⟨⟩ минимальный страт для точки Γ. Согласно лемме 1.10, сеть Γ имеет тип . По утверждению 2.4, в точке ΓКомбинаторная теория Морса78функция ℓ достигает своего абсолютного минимума на страте ⟨⟩, т.е.ℓ(Γ) = ′inf ℓ(Γ′ ).

Следовательно, для сети Γ выполняется равенствоΓ ∈⟨⟩ℓ(Γ) = ′inf ℓ(Γ′ ). Таким образом, регулярная сеть Γ является минимальΓ ∈[]ной параметрической сетью типа .Обратно. Пусть регулярная сеть Γ типа является минимальной параметрической сетью, т.е. ℓ(Γ) = ′inf ℓ(Γ′ ). Тогда, по лемме 1.10, стратΓ ∈[]⟨⟩ является минимальным стратом для сети Γ, и выполнено равенствоℓ(Γ) = ′inf ℓ(Γ′ ). Следовательно, согласно утверждению 2.4, регулярнаяΓ ∈⟨⟩сеть Γ — критическая точка функции ℓ. Следствие 2.3 Пусть метрическое пространство и граница таковы, что для любого типа ∈ существует соответствующая минимальная параметрическая сеть Γ ∈ [].

Тогда критические значенияфункции ℓ — это длины минимальных параметрических сетей.5.3Комбинаторные и геометрические расщеплениясетейОпределение. Пусть Γ — некоторая параметрическая сеть. Любая сетьΓ′ , полученная из сети Γ некоторой последовательностью расщепленийподвижных вершин, называется комбинаторным расщеплением сети Γ.Элементарным расщеплением сети Γ назовем расщепление, котороеотличается от сети Γ лишь одним дополнительным ребром (см. замечание на стр. 38). Пусть Γ′ — некоторое комбинаторное расщепление сетиΓ. Обозначим через 1 ,.

. . , ребра сети Γ′ , которых нет в сети Γ . Этотнабор ребер порождает набор элементарных расщеплений Γ1 ,. . . , Γ сетиΓ следующим образом: у сети Γ по сравнению с сетью Γ одно новое ребро . Элементарные расщепления Γ1 ,. . . , Γ сети Γ назовем производнымирасщеплениями для расщепления Γ′ сети Γ.Определение. Пусть Γ′ ∈ [′ ] — комбинаторное расщепление сети Γ.Если сеть Γ′ не является минимальной параметрической сетью в классе[′ ], тогда эту сеть назовем геометрическим расщеплением сети Γ. Также будем говорить, что расщепление Γ′ может уменьшить длину сетиΓ.Комбинаторная теория Морса79Определение. Комбинаторное расщепление Γ′ сети Γ назовем мощнымрасщеплением, если все его производные расщепления являются геометрическими (могут уменьшить длину сети Γ).Пусть Γ — некоторая сеть с границей в пространстве .

Рассмотрим какое-либо геометрическое расщепление Γ′ . Если для сети Γ у каждого ее геометрического расщепления Γ′ существует производное расщепление, которое является геометрическим, то тогда мы будем называтьсеть Γ сетью с элементарно порожденными геометрическими расщеплениями. Пример сети с не элементарно порожденными геометрическими расщеплениями приведен в книге [29].5.4Комплекс мощных расщеплений сетиПусть Γ — некоторая параметрическая сеть. Построим комплекс мощныхрасщеплений сети Γ, который мы обозначим через (Γ). Обозначим через Γ1 ,.

. . , Γ все элементарные геометрические расщепления сети Γ. Поопределению положим геометрические расщепления Γ1 ,. . . , Γ вершинами комплекса (Γ). Также по определению комплекс (Γ) содержит( − 1)-мерный симплекс (Γ1 , . . . , Γ ), если и только если существуетмощное расщепление Γ′ сети Γ, такое что сети Γ1 ,. . . , Γ образуют полный набор производных расщеплений для сети Γ′ . Таким образом, (−1)мерные симплексы комплекса (Γ) — это мощные расщепления сети Γс дополнительными внутренними ребрами.Предложение 2.5 Пусть Γ ∈ — регулярная минимальная параметрическая сеть с элементарно порожденными геометрическими расщеплениями. Тогда комплекс мощных расщеплений (Γ) сети Γ изоморфен ее ко-потенциалу −* (Γ).Доказательство.

Поскольку Γ — регулярная минимальная параметрическая сеть, то, согласно утверждению 2.9, сеть Γ является критической точкой функции длины ℓ на пространстве . Напомним (см. параграф 4.6), что вершинами ко-потенциала −* (Γ) критической точки Γявляются наименьшие по включению страты ⟨ ⟩, по которым можноуменьшить длину сети Γ. Покажем, что каждый страт ⟨ ⟩ определяетэлементарное геометрическое расщепление Γ ∈ [ ] сети Γ.

Предположим, что расщепление Γ ∈ [ ] получено из Γ добавлением несколькихКомбинаторная теория Морса80(1)(более одного) ребер. Рассмотрим все производные расщепления Γ , . . . ,()Γ для расщепления Γ . Поскольку Γ — сеть с элементарно порожден(1)()ными расщеплениями, то среди расщеплений Γ , . . . , Γ найдется одно,()()скажем Γ ∈ [ ], которое может уменьшить длину сети Γ. Тогда соот()ветствующий страт ⟨ ⟩, по которому можно уменьшить длину сети Γ,строго содержится в страте ⟨ ⟩. Следовательно, страт ⟨ ⟩ не является наименьшим по включению стратом, по которому можно уменьшитьдлину сети Γ, что противоречит определению страта ⟨ ⟩.

Таким образом, страт ⟨ ⟩ определяет элементарное геометрическое расщеплениеΓ ∈ [ ] сети Γ.Верно и обратное. Обозначим через тип сети Γ. Каждое элементарное геометрическое расщепление Γ′ ∈ [′ ] сети Γ определяет некоторыйнаименьший по включению страт ⟨′ ⟩, по которому можно уменьшитьдлину сети Γ. В самом деле, не существует геометрического дерева ′′для которого выполняются строгие неравенства > ′′ > ′ . Следовательно, не существует страта ⟨′′ ⟩, для которого были бы выполненыстрогие включения ⟨⟩ ⊂ ⟨′′ ⟩ ⊂ ⟨′ ⟩.Все вышесказанное устанавливает взаимнооднозначное соответствиемежду вершинами ко-потенциала −* (Γ) — наименьшими по включениюстратами ⟨ ⟩, по которым можно уменьшить длину сети Γ, и вершинамикомплекса мощных расщеплений (Γ) — элементарными геометрическими расщеплениями Γ .Напомним также, что ( − 1)-мерным симплексом с вершинами⟨1 ⟩,. .