Теория Морса минимальных сетей, страница 13

ниже), использующая техникуполиномов Пуанкаре. Эта техника позволяет помимо равенства Морсаполучать также и неравенства Морса (подробнее см. [19]).Пусть — критическое значение функции . Рассмотрим группыгомологий * (≤ + , ≤ − ). И рассмотрим целые числа, = dim (≤ + , ≤ − ).Определение. Полиномом Пуанкаре функции на назовем полином∑︁ ∑︁(, ) =(, ).Утверждение 2.6 Пусть (, ) и (( (), 0 ), ) — полиномы Пуанкаре функции и пары комплексов ( (), 0 ).

Тогда разность − делится на 1 + и отношение полиномов ( − )/(1 + ) является полиномом с неотрицательными целыми коэффициентами.Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что идоказательство аналогичной теоремы Морса-Смейла из [19], сс. 405–407.Из утверждения 2.6 можно вывести утверждение 2.5 следующим образом. Запишем равенство (1 + )() = () − ().

Подставляя в эторавенство = −1, получим∑︁(≤ + , ≤ − ) = ( ()) − (0 ).Заметим теперь, что * (≤ + , ≤ − ) = * ( , ∩ ≤ − ). Тогда(≤ + , ≤ − ) = ( , ∩≤ − ) = ( )−( ∩≤ − ) = ind .Утверждение 2.6 можно рассматривать как обобщение классическихнеравенств Морса. Мы в дальнейшем не будем пользоваться этим утверждением, а приводим его здесь лишь для полноты картины.Комбинаторная теория Морса70Рис. 2.3:4.9Комбинаторная функция МорсаОпределение. Комбинаторной функцией Морса на к-топологическомпространстве называется функция, для которой выполнены следующие два условия:1. На каждом страте (△) функция достигает своей точной нижнейграни. Обозначим через min (△) множество точек страта (△),на которых достигается эта точная нижняя грань.2.

Для каждого критического значения ˜ комплекс ˜ представляется в виде объединения симплексов △˜, не лежащих в ≤˜− (здесьсимплекс △˜ рассматривается как комплекс, т.е. вместе со всеми своими гранями), причем при ′ ̸= ′′ выполнено включение′′′△˜ ∩ △˜ ⊂ ≤˜− .Иллюстрацией к этому определению служит рис. 2.3.Также как в классическом и симплициальном случаях, комбинаторная функция Морса позволяет в некотором смысле локализовать описание изменений, происходящих с комбинаторным типом множества ≤при прохождении через критическое значение ˜. Перепишем утверждение 2.2 в более “локализованном” видеУтверждение 2.7 Пусть ˜ — критическое значение комбинаторнойфункции Морса . Парой Морса, измеряющей изменение к-топологического типа множества ≤ при прохождении через критическоеКомбинаторная теория Морса71значение ˜, является объединение “ручек” (△˜, △˜ ∩ ≤˜− ).

Причем пе′′′ресечение двух различных “ручек” △˜ и △˜ принадлежит комплексу≤˜− .Определение. Симплексы △˜ назовем ручками комбинаторной функции Морса, а пересечение △˜ ∩≤˜− назовем подошвой ручки △˜. Иногдапод ручкой мы будем понимать пару (△˜, △˜ ∩ ≤˜− ).Замечание.

Ручки комбинаторной функции Морса — суть максимальные симплексы совокупности ˜∖≤˜− , на которой индуцируется естественное отношение частичного порядка между симплексами “являться гранью”.Лемма 2.7 Если для каждого страта (△) к-топологического пространства множество минимумов min (△) одноточечно, то функция на пространстве является комбинаторной функцией Морса.Доказательство. Очевидно, для функции первое условие из определения комбинаторной функции Морса выполняется.Пусть ˜ — критическое значение функции . Рассмотрим два максимальных симплекса △1 и △2 из ˜∖≤˜− . Обозначим, через 1 и 2точки из min (△1 ) и min (△2 ) соответственно. Заметим, что 1 ̸= 2 .В самом деле, если бы точки 1 и 2 совпадали, то пересечение стратов(△1 ) и (△2 ) было бы не пусто.

Поэтому, согласно лемме 2.2 существовал бы симплекс △′ , такой что △1 и △2 являются его гранями и(△′ ) = (△1 ) ∩ (△2 ). С другой стороны, △′ принадлежит совокупности ˜∖≤˜− , поскольку inf ′ () = ˜. Следовательно, △1 и △2 не∈(△ )были бы максимальными симплексами.Покажем теперь, что пересечение △ = △1 ∩ △2 этих симплексов непринадлежит совокупности ˜∖≤˜− . Предположим противное, т.е. что△ ∈ ˜∖≤˜− .

Тогда точная нижняя грань функции на страте (△)равна ˜. Более того, поскольку (△) содержит в себе как страт (△1 ),так и страт (△2 ), то множество минимумов min (△) для этого стратасодержит по крайне мере две точки. Последнее противоречит условиюлеммы. Таким образом, для функции второе условие из определениякомбинаторной функции Морса также выполняется.

По определению, индекс каждой ручки △˜ положим равным единицеминус эйлерова характеристика ее подошвы, т.е. ind △˜ = 1 − (△˜ ∩≤˜− ). Тогда имеет место следующее утверждение.Комбинаторная теория Морса72Утверждение 2.8 Пусть — комбинаторная функция Морса на к-топологическом пространстве . Обозначим через △ совокупность ручекфункции . Тогда сумма индексов всех ручек функции равна эйлеровойхарактеристике комплекса (), т.е.∑︁ind △ = ( ()).Доказательство. Пусть ˜ — критическое значение функции .

Тогдаиз определения ручек △˜ функции и аддитивности эйлеровой характеристики следует равенство∑︁ind ˜ =ind △˜.Просуммировав это равенство по всем критическим значениям функции и воспользовавшись утверждением 2.5, получим∑︁ind △ = ( ()) − (0 ).По условию, является комбинаторной функцией Морса, и поэтомудостигает своей точной нижней грани на каждом страте пространства. Следовательно, достигает своей точной нижней грани и на всемпространстве .

Таким образом, комплекс 0 пуст и мы имеем доказываемое равенство. Напомним, что в классической теории Морса каждому критическому значению функции Морса соответствовала только одна ручка. Этообуславливалось тем, что функции Морса всюду плотны в пространствегладких функций, т.е. любую гладкую функцию можно немного пошевелить, чтобы она превратилась в функцию Морса. В нашем же случае, при комбинаторном подходе к построению теории Морса приходитсярассматривать функции, для которых критическому значению отвечаетнесколько ручек. Для изучаемых в главе 3 примеров малым шевелениемфункции удается ее сделать лишь комбинаторной функцией Морса (всмысле данного определения). А дальнейшее “разнесение” ручек по разным критическим значением, по-видимому является достаточно труднойтеоремой.Комбинаторная теория Морса73Однако, наличие нескольких ручек для одного критического значения ничему не препятствует, поскольку, как правило, критические значения изучаются посредством изучения соответствующих критическихточек и поведения функции в окрестности этих критических точек.

Переход от критических значений к критическим точкам сводит изучениеповедения функции “в большом” к изучению поведения функции “в малом”, в частности, сводит вычисление индексов критических значенийи ручек к вычислению индексов критических точек. Напомним также,что в классической теории Морса каждой ручке функции Морса соответствовала единственная критическая точка.

В нашем случае это длянекоторых примеров выполняется, а для некоторых нет, см. главу 3. Перейдем теперь к описанию множества критических точек комбинаторнойфункции Морса.Для каждой грани △ симплекса △˜, которая не принадлежит комплексу ≤˜− , точная нижняя грань функции в страте (△) равна ˜.Поскольку является комбинаторной функцией Морса, то точная нижняя грань ˜ в страте (△) достигается. Обозначим через (△˜) объединение критических точек из множествmin (△) по всем симплексам⋃︀△ ∈ △˜∖≤˜− , т.е. (△˜) =min (△).△∈△˜∖≤˜−Лемма 2.8 Множества (△˜) при разных попарно не пересекаютсяи в объединении дают все критическое множество Crit (˜).′Доказательство. Предположим, что при ′ ̸= ′′ множества (△˜ )′′′и (△˜ ) пересекаются, т.е. существуют симплексы △′ ∈ △˜ ∖≤˜− и′′△′′ ∈ △˜ ∖≤˜− , такие что пересечение соответствующих множеств минимумов min (△′ ) и min (△′′ ) не пусто.

Пусть — некоторая точкаиз этого пересечения. Обозначим через (△) минимальный страт дляточки , где △ — максимальный симплекс, задающий страт (△). Согласно следствию 2.1, симплексы △′ и △′′ являются гранями симплекса△. Поскольку ∈ (△) ⊂ (△′ ) ∩ (△′′ ), то точная нижняя грань функции на страте (△) равна ˜ = (). Следовательно, симплекс △, для′′′которого △′ ∈ △˜ и △′′ ∈ △˜ — грани, принадлежит комплексу ˜.′′′Этот факт противоречит определению симплексов △˜ и △˜ .Вторая часть леммы доказывается следующим образом. Пусть —критическая точка из критического множества Crit (˜).

Тогда, по определению критической точки, она принадлежит некоторому множествуКомбинаторная теория Морса74min (△). Поскольку () = ˜, то △ ∈ ˜∖≤˜− . Следовательно, симплекс △ является гранью для некоторого симплекса △˜. Таким образом, ∈ (△˜). Итак, каждой ручке △˜ отвечает критическое подмножество (△˜) ⊂Crit (˜). Однако, для вычисления индекса ручки △˜ не требуется вычислять индексы всех критических точек из (△˜); достаточно выбратьлишь одного представителя критического подмножества (△˜).

Выберем произвольную точку из множества min (△˜) ⊂ (△˜) и обозначимее ˜; точка ˜ ∈ будет называться каноническим представителемручки △˜ в критическом множестве Crit (˜).Лемма 2.9 Страт (△˜) является минимальным стратом для любого канонического представителя ручки △˜ в критическом множествеCrit (˜), а симплекс △˜ является максимальным симплексом, задающим страт (△˜).Доказательство.

Пусть ˜ — некоторый канонический представительручки △˜. Предположим, что (△˜) — не минимальный страт для точки˜. Тогда, воспользовавшись определением минимального страта и леммой 2.2, можно утверждать, что существует некоторый страт (△) ∋ ˜,такой что (△) ⊂ (△˜) и △˜ — грань симплекса △. Поскольку ˜ —критическая точка, то значение ˜ функции в этой точке, согласно лемме 2.5, является абсолютным минимумом функции в страте (△˜), азначит ˜ является абсолютным минимумом и в страте (△). Следовательно, симплекс △, для которого △˜ — грань, принадлежит совокупности ≤˜+ ∖≤˜− . Но этого быть не может, поскольку — комбинаторнаяфункция Морса.Из аналогичных рассуждений вытекает и вторая часть леммы.