Теория Морса минимальных сетей, страница 5

в разделе 5 главы 2. Отметим здесьлишь то, что для рассматриваемых в главе 3 примеров множества ( )являются связными компонентами множества критических точек, а сетьΓ является в множестве ( ) сетью минимального ранга. Рангом критического подмножества ( ) называется ранг сети Γ . Обозначим через совокупность критических подмножеств ранга . Тогда равенствоМорса выглядит следующим образом.Предложение 2.6 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями. Тогда имеет место формула∑︁ ∑︁(−1)− −1 # (Γ ),|−3 | + · · · + |1 | =Γ <≤−3где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга строго меньшего − 3, а обозначает ранг сети Γ .По аналогии с пространством рассмотрим пространства () , которые образованы склейкой по введенной выше эквивалентности пространств [], соответствующих геометрическим деревьям с граничными вершинами и ранга не выше .

Эти пространства образуют фильтрацию на пространстве : (0) ⊂ (1) ⊂ · · · ⊂ (−4) ⊂ (−3) = . Мыможем провести для каждого пространства () рассуждения, аналогичные рассуждениям для пространства , и получить предложениеПредложение 2.7 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями. Тогда имеет место формула∑︁ ∑︁| | + · · · + |1 | =(−1)− −1 # (Γ ),Γ <≤Введение23где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга строго меньшего , а обозначает ранг сети Γ .Из этого предложения вытекает теорема, которая и используется вприложениях (см. главу 3).Теорема 2.2 Пусть ℓ — комбинаторная функция Морса на пространстве , и пусть все канонические представители Γ критических подмножеств ( ) являются сетями с элементарно порожденными расщеплениями.

Тогда количество критических подмножеств ранга выражается следующей формулой∑︁(−1)− −1 # (Γ )| | =Γ : <где суммирование ведется по всем каноническим представителям Γкритических подмножеств ( ) ранга < .Эта теорема позволяет, по индукции оценивая мощности совокупностей , оценить и мощность совокупности −3 , в которой как раз содержаться все локально минимальные сети для рассматриваемых нижепримеров метрических пространств.Таким образом, можно утверждать, что программа построения теории Морса минимальных сетей полностью реализована.3) Приложение теории Морса минимальных сетей для получения оценок количества локально минимальных сетей с данной границей.Напомним, что основным мотивом при разработке теории Морса минимальных сетей была попытка ответить на вопрос: какое максимальноеколичество локально минимальных сетей может затягивать данную(но произвольную) границу?Данный вопрос, изначально ставившийся для евклидовой плоскости,не для всех метрических пространств имеет смысл.

Как мы уже отмечали, даже понятие локально минимальных сетей в общем метрическом пространстве не определено. Но и для тех пространств, в которыхпонятие локально минимальной сети вполне содержательно, этот вопросявляется не совсем корректным. Причина некорректности состоит в том,что, несмотря на конечность количества типов локально минимальныхВведение24сетей, самих локально минимальных сетей (или, более общо, минимальных параметрических сетей) может быть бесконечно много.

Такая ситуация часто встречается в нормированных пространствах с негладкойнормой, например на манхэттенской плоскости, см. раздел 5 главы 3.Единственность минимальных сетей присуща “гладким” пространствам. В диссертации показано (см. разделы 3 и 4 главы 3), что дляграницы = { }=1 общего положения на полном односвязном многообразии с неположительной секционной кривизной в каждом классе[], где — геометрическое дерево, существует и единственна минимальная параметрическая сеть.

Из этого утверждения следует, что каждоекритическое подмножество ( ) состоит ровно из одной регулярнойминимальной параметрической сети Γ . Таким образом, совокупность в данном случае — это совокупность всех регулярных минимальныхпараметрических сетей ранга . В частности, −3 — это совокупностьвсех регулярных минимальных параметрических сетей бинарной топологии, т.е. локально минимальных сетей, затягивающих границу . Заметим что для многообразия все условия теоремы 2.2 выполняются,поэтому, оценивая мощные расщепления других критических сетей, с еепомощью можно получить следующую теорему.Теорема 3.2 Пусть — двумерное односвязное полное многообразиес неположительной секционной кривизной,∙ и ⊂ — граница общего положения, состоящая из четырехточек.

Тогда количество локально минимальных сетей на многообразии , затягивающих границу , равно либо 1, либо 2.∙ и ⊂ — граница общего положения, состоящая из пяти точек. Тогда количество локально минимальных сетей на многообразии , затягивающих границу , не превосходит 8.Во многих компьютерных экспериментах с границей на евклидовойплоскости, проведенных как на механико-математическом факультетеМГУ, так и в других научных заведениях России и за рубежом, видно,что не все комбинаторно возможные типы локально минимальных сетей(для 4 граничных точек их количество равно 3, а для 5 — 15) могутбыть реализованы как настоящие локально минимальные сети. Поэтомудолжна существовать какая-то верхняя граница, оценивающая их количество.

Теорема 3.2 — это первая строго доказанная оценка подобногорода для границ с фактически произвольной геометрией.Введение25Несложно показать, что локально минимальные сети, затягивающиеграницу общего положения на многообразии , являются (строгими)локальными минимумами функции длины ℓ на пространстве .

На манхэттенской плоскости ℋ, в силу уже отмечавшейся неединственности минимальных сетей фиксированного типа, это не так. (Строгим) локальнымминимумом функции ℓ в такой ситуации естественно называть связноеподмножество ⊂ , на котором функция ℓ постоянна, скажем равна ˜,а в достаточно малой проколотой окрестности ( )∖ подмножества — строго больше ˜.

Отметим, что локальный минимум функции ℓна совпадает с одним из критических подмножеств ( ). Теперь основной вопрос можно было бы переформулировать следующим образом:какое максимальное количество локальных минимумов может быть уфункции длины сети ℓ на конфигурационном пространстве всех регулярных сетей с данной (но произвольной) границей?Ответом на этот вопрос для случая границ, состоящих из 4 и 5 точек,служит следующая теорема.Теорема 3.3 Пусть ℋ — плоскость R2 с манхэттенской нормой,∙ и ⊂ ℋ — граница общего положения, состоящая из четырех точек. Тогда все канонические представители локальных минимумовфункции ℓ на пространстве являются бинарными деревьями иколичество этих локальных минимумов равно либо 1, либо 2.∙ и ⊂ ℋ — граница общего положения, состоящая из пяти точек.

Тогда все канонические представители локальных минимумовфункции ℓ на пространстве являются бинарными деревьями иколичество этих локальных минимумов не превосходит 6.4) Явные формулы для вычисления количества геометрических деревьев определенного ранга.Для сравнения полученных в п.3) настоящего раздела оценок с количеством комбинаторно возможных локально минимальных сетей необходимо перечислить геометрические деревья, являющихся бинарными, т.е.геометрические деревья с граничными вершинами и − 2 подвижными. Представляет также интерес перечислить комбинаторно возможныекритические сети с другим количеством подвижных вершин.

Иными словами, нужно подсчитать количество (, ) геометрических деревьев с граничными вершинами и подвижными. В диссертации выведеныследующие явные формулы для вычисления чисел (, ).Введение26Теорема 1.1 Числа (, ) могут быть выражены через классическиечисла Стирлинга 1 (·, ·) 2-ого рода следующим образом(, ) =−1∑︁(−1) +−21 ( + − 2 − , − ).=0В частности, количество геометрических деревьев, являющихся бинарными деревьями с граничными вершинами, равно(, − 2) =12−2·(2( − 2))!.( − 2)!Поскольку количество регулярных минимальных параметрическихсетей ранга не может превышать количество их параметризующих графов, то имеем оценку | | ≤ (, +1). В частности, количество локально минимальных сетей с граничными вершинами не превосходит числа1· (2(−2))!.2−2(−2)!5) Универсальная граница.В п.3) настоящего раздела мы видели, что имеют место нетривиальные оценки на количество локально минимальных сетей, затягивающихданную границу на двумерном многообразии .