Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Покрытие Σ = { } далее будем называть комбинаторной топологией или, сокращенно, к-топологией пространства . Пространство, снабженное комбинаторной топологией назовем комбинаторным топологическим пространством или, сокращенно, к-топологическим пространством.Определение. Нерв к-топологии (конечного покрытия) Σ пространства мы будем называть к-топологическим типом пространства и обозначать через ().Замечание. Выбор подобной терминологии объясняется двумя причинами: во-первых, из любого конечного покрытия можно изготовить (хотянам это и не понадобиться) настоящую топологию, использовав его какпредбазу; и, во-вторых, техника симплициальных комплексов (в частности нервов) является одним из основных инструментов изучения чистотопологических проблем в науке, называемой комбинаторная топология,см.
например [1] и [13].Подмножество ≤ также можно считать к-топологическим пространством с индуцированной к-топологией Σ≤ = { ∩ ≤ }. К-топологический тип пространства ≤ мы для сокращения записи будем обозначать через ≤ . Отметим, что при 1 ≤ 2 комплекс ≤1 можно считатьподкомплексом комплекса ≤2 . Под изменением пространства ≤ мыбудем понимать изменение его к-топологического типа ≤ .
И далее, мыбудем изучать именно изменение комплекса ≤ при изменении параметра .Введение13Определение. Число ˜ называется критическим значением для функции , если при прохождении параметра через ˜ изменяется к-топологический тип пространства ≤ .В силу конечности комплекса () функция имеет конечное числокритических значений. Пусть ˜ — критическое значение функции .
Тогда, для любого достаточно малого > 0 комплекс ≤˜+ (≤˜− ) остается неизменным. Обозначим этот комплекс через ≤˜+ (≤˜− ). Через ˜обозначим замыкание множества симплексов ≤˜+ ∖≤˜− до симплициального комплекса.Два следующих простых утверждения дают ответ на главный вопрос,стоящий перед теорией Морса (см. выше).Утверждение 2.1 Пусть 1 , 2 ,. . . , — все критические значенияфункции .
Тогда эти значения разбивают всю прямую R на интервалы постоянства к-топологического типа пространства ≤ : (−∞, 1 ),(1 , 2 ),. . . , (−1 , ), ( , +∞).Утверждение 2.2 Пусть ˜ — критическое значение функции . ПаройМорса, измеряющей изменение к-топологического типа пространства≤ при прохождении через критическое значение ˜, является пара(˜, ˜ ∩ ≤˜− ).Другими словами, имеет место равенство: ≤˜− ∪ ˜ = ≤˜+ .Определим теперь индексы критических значений и найдем их связь ск-топологией пространства . Индексом критического значения ˜ функции назовем следующую разностьind ˜ := (˜) − (˜ ∩ ≤˜− ),где (·) — эйлерова характеристика.Обозначим через 0 комплекс ≤0 , где 0 — достаточно большое помодулю отрицательное число. Согласно утверждению 2.1 такое обозначение корректно.
Тогда аналогом классического равенства Морса в нашемслучае является следующее утверждение.Утверждение 2.5 Пусть 1 , 2 ,. . . , — все критические значенияфункции . Сумма индексов всех критических значений функции равняется эйлеровой характеристике комплекса () минус эйлерова характеристика комплекса 0 , т.е.∑︁ind = ( ()) − (0 ).Введение14На практике вычисление критических значений функции и соответствующих пар Морса по приведенным выше определениям, носящим“глобальный” характер, крайне неэффективно. Стремление “локализовать” вычисления как в классическом случае, так и в нашем, приводит копределению критической точки функции и к понятию функции Морса(в нашем случае комбинаторной функции Морса).Назовем стратом пространства любое пересечение 0 ∩ 1 ∩ · · · ∩ элементов к-топологии пространства .
Каждому симплексу △ изкомплекса () отвечает некоторый непустой страт пространства ,который мы обозначим через (△).Утверждение 2.3 Число ˜ является критическим значением функции тогда и только тогда, когда существует страт (△), на которомабсолютный минимум функции равен ˜, т.е.˜ = inf ().∈(△)Естественно теперь дать такое определение критической точкиОпределение. Точка называется критической точкой для функции , если она является точкой абсолютного минимума функции на какомлибо страте (△), содержащем эту точку, т.е.
() =inf′ ∈(△) (′ ),где (△) ∋ .На первом этапе “локализации” нам понадобится аналог классическойфункции Морса (а также симплициальной функции Морса, см. раздел 3главы 2). Напомним, что в классическом случае для функции Морса изменение гомотопического типа множества ≤ при прохождении черезкритическое значение описывается относительно просто — приклеиваются “ручки” вида ( × − , () × − ). Аналогичным свойствомобладает и комбинаторная функция Морса.Определение. Комбинаторной функцией Морса на к-топологическомпространстве называется функция, для которой выполнены следующие два условия:1. На каждом страте (△) функция достигает своей точной нижнейграни. Обозначим через min (△) множество точек страта (△),на которых достигается эта точная нижняя грань.Введение152.
Для каждого критического значения ˜ комплекс ˜ представляется в виде объединения симплексов △˜, не лежащих в ≤˜− (здесьсимплекс △˜ рассматривается как комплекс, т.е. вместе со всеми своими гранями), причем при ′ ̸= ′′ выполнено включение′′′△˜ ∩ △˜ ⊂ ≤˜− .(Иллюстрацией к этому определению служит рис. 2.3 на стр. 70.)Имеет место следующее утверждение.Утверждение 2.7 Пусть ˜ — критическое значение комбинаторнойфункции Морса . Парой Морса, измеряющей изменение к-топологического типа множества ≤ при прохождении через критическоезначение ˜, является объединение “ручек” (△˜, △˜ ∩ ≤˜− ).
Причем пе′′′ресечение двух различных “ручек” △˜ и △˜ принадлежит комплексу≤˜− .Если определить индекс каждой ручки △˜ равенством ind △˜ :=1 − (△˜ ∩ ≤˜− ). Тогда, равенство Морса (утверждение 2.5) в более“локализованном” виде можно переписать следующим образом.Утверждение 2.8 Пусть — комбинаторная функция Морса на к-топологическом пространстве . Обозначим через △ совокупность ручекфункции . Тогда сумма индексов всех ручек функции равна эйлеровойхарактеристике комплекса (), т.е.∑︁ind △ = ( ()).На втором этапе “локализации” мы каждой ручке сопоставим некоторую критическую точку, определим индекс у каждой точки и вычислиминдекс каждой ручки через индекс соответствующей критической точки.Пусть △ — некоторая ручка функции .
Выберем произвольнуюточку из множества min (△ ) и обозначим ее ; точка будет называться каноническим представителем ручки △ в пространстве .Теперь определим для произвольной точки ∈ комбинаторныйпотенциал или, сокращенно, к-потенциал, который мы будем обозначать через − (). Симплекс △ принадлежит комбинаторному потенциалу − () тогда и только тогда, когда значение функции в точке не является абсолютным минимумом функции в страте (△). Легкозаметить, что − () — симплициальный комплекс.Введение16Определение.
Индексом произвольной точки из пространства назовем следующую разностьind := 1 − (− ()).Отметим, что ненулевым индексом обладают только критические точки.Оказывается, что индекс ручки совпадает с индексом ее канонического представителя. Поэтому имеет место теорема.Теорема 2.1 Пусть — комбинаторная функция Морса на к-топологическом пространстве . Обозначим через {△ } совокупность ручекфункции , а через — их канонических представителей.
Тогда имеетместо равенство∑︁ind = ( ()).2) Реализация программы построения теории Морса минимальных сетей.Начнем с пп. 1) и 2) — построим конфигурационное пространствосетей с данной границей и определим на нем функцию.Обычно, формализуя представление о сети как о связном одномерном континууме, сетью в пространстве , где — достаточно хорошеепространство, например многообразие или нормированное пространство,называется непрерывное отображение связного топологического графа(конечного одномерного CW-комплекса) в . При этом ограничение Γна ребро графа называется ребром сети Γ, а ограничение Γ на вершину графа — вершиной сети Γ.
Предполагаются также некоторые условия измеримости ребер сети Γ, например отображение Γ должно бытькусочно-гладким на каждом ребре графа , для того, чтобы можно было определить длину ребра, как длину кривой, и длину сети, как суммудлин ее ребер.Во многих задачах минимизации функционала длины на различныхклассах сетей (например, проблема Штейнера) ребра сети, доставляющей минимум длины, — это кратчайшие кривые, соединяющие пару вершин сети. Поэтому при изучении минимальных сетей достаточно ограничиться сетями, у которых каждое ребро является кратчайшей кривой.
Вчастности, у таких сетей длина ребра равна расстоянию между вершинами, которые оно соединяет. Таким образом, мы приходим к следующемуопределению сети в общем метрическом пространстве ( , ).Введение17Рис. 1:Определение. Пусть — связный граф. Обозначим через () множество вершин графа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
