Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 15

Ïîýòîìó ëþáîå íåðåàëèçóåìîå â êà÷åñòâå÷èñëà îáëàñòåé íà RP3 ÷èñëî g ∈ L3n ìåíüøå 1 + Cn2 è, ïîñêîëüêó Fn2 ⊂ Fn3 , òàêæå íåðåàëèçóåòñÿ íà RP2 . Ñëåäîâàòåëüíî, L3n ⊂ L2n . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî L3n ̸= L2n ïðèn > 13, ò.ê. 4n − 8 ∈/ L3n è 4n − 8 ∈ L2n .3Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.8. Îáîçíà÷èì ÷åðåç f ÷èñëî îáëàñòåé f (An ). Îáîçíà÷èì÷åðåç m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïëîñêîñòåé íàáîðà A3n , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îäíó òî÷êó.2Îáîçíà÷èì ÷åðåç fm ∈ Fm÷èñëî îáëàñòåé, îáðàçîâàííûõ ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç îäíó3òî÷êó m ïëîñêîñòÿìè èç An .

Åñëè m = n, òî ïî ëåììå 4.16 èìååì f ∈ Fn2 . Åñëè m < n,òî fm > 2m − 2, ò.ê. èíà÷å m ïëîñêîñòåé èìåëè áû îáùóþ ïðÿìóþ, à çíà÷èò íàøëèñüáû m + 1 ïëîñêîñòü, èìåþùèå îáùóþ òî÷êó. Åñëè m = 3, òî ïëîñêîñòè íàõîäÿòñÿ âîáùåì ïîëîæåíèè è f = n + C32 > 6n − 16 ïðè n > 7. Ðàññìîòðèì îñòàëüíûå ñëó÷àè.2Ñëó÷àé 1, m = n − 1. Òîãäà ïî ëåììå 4.16 ïîëó÷àåì f = 2fn−1 , fn−1 ∈ Fn−1.Ñëó÷àé 2, m = n − 2. Òîãäà ïî ëåììå 4.14 èìååì f > 3fn−2 . Åñëè fn−2 > 2n − 5, òîf > 6n − 15. Åñëè fn−2 = 2n − 6, òî èç m ïëîñêîñòåé, èìåþùèõ îáùóþ òî÷êó P , m − 1ïëîñêîñòü èìåþò îáùóþ ïðÿìóþ l. Îáîçíà÷èì ÷åðåç U1 , U2 , U3 ïëîñêîñòè íàáîðà, íåïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïðÿìóþl, ïðè÷åì ïëîñêîñòü U3 ñîäåðæèò òî÷êó P .

Îáîçíà÷èì∩÷åðåç l1 ïðÿìóþ U1 U2 . Åñëè l1 ⊂ U3 , òî f = 6n − 18. Èíà÷å l1 íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ l.Ñëåäîâàòåëüíî, l1 ïåðåñåêàåò m ïëîñêîñòåé íå ìåíåå ÷åì â n − 3 òî÷êàõ è ïî ëåììå4.13 èìååì f > 7n − 21.Ñëó÷àé 3, 5 6 m 6 n − 4. Ïî ëåììå 4.14 èìååìf > fm (n − m + 1) > 2(m − 1)(n − m + 1) > 6n − 16.Ñëó÷àé 4, m = 4.

Ïî ëåììå 4.17 ïðè n > 16 èìååìf>n2 − n + 6> 6n − 16.3Ïóñòü ïðîåêòèâíûå ïëîñêîñòè íàáîðà A3n−k ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó îáùóþ òî÷êó è ïóñòü åñòü åùå íàáîð A3k ïëîñêîñòåé, íèêàêèå òðè èç êîòîðûõ íå èìåþòîáùåé ïðÿìîé. Ïóñòü íàáîðû A3n−k è A3k íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, ò.å âåðøèíû A3n−k íå ëåæàò íà ïëîñêîñòÿõ èç A3k è íàîáîðîò, ðåáðà A3kíå ïðîõîäÿò ÷åðåç ðåáðà A3n−k . ÒîãäàÏðèìåð 4.2.f (A3n−k∪A3k ) = (k + 1)f (A3n−k ) + (n − k)k(k − 1)+ f (A3k ) − k.2Âîçüìåì íàáîð A2n−k ïðÿìûõ íà íåêîòîðîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè èåùå îäíó ïðÿìóþ l íà ýòîé æå ïëîñêîñòè. Ïóñòü ïðÿìûå èç A2n−k ïåðåñåêàþò ïðÿìóþ lâ q òî÷êàõ, ïðè÷åì l íå ñîâïàäàåò íè ñ êàêîé ïðÿìîé èç A2n−k . Òåïåðü ïîñòðîèì íàáîðÏðèìåð 4.3.70èç n ïðîåêòèâíûõ ïëîñêîñòåé.

Ïóñòü n − k ïðîåêòèâíûõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿò ÷åðåçîáùóþ òî÷êó P è ÷åðåç ïðÿìûå íàáîðà A2n−k ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîìåðàìè. Ïóñòüîñòàâøèåñÿ k ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðÿìóþ l è íå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó P .Òîãäà ïðè 2 6 k 6 n − 2 äëÿ ïîñòðîåííîãî íàáîðà A3n âåðíî f (A3n ) = (k + 1)f (A2n−k ) +(k − 1)q.Âîçüìåì íàáîð A2n−k ïðÿìûõ íà íåêîòîðîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòèè âûáåðåì èç íåãî äâå ïðÿìûå, l1 è l2 .

Ïóñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2ïðèíàäëåæèò r ïðÿìûì èç A2n−k . Ïîñòðîèì íàáîð A3n èç n ïðîåêòèâíûõ ïëîñêîñòåéâ ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü n − k ïðîåêòèâíûõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿò ÷åðåçîáùóþ òî÷êó P è ÷åðåç ïðÿìûå íàáîðà A2n−k ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîìåðàìè. Ïóñòük = k1 + k2 , ãäå k1 > 1 è k2 > 1. Ïóñòü îñòàâøèåñÿ k ïëîñêîñòåé íå ïðîõîäÿò ÷åðåçòî÷êó P , ïðè÷åì k1 ïëîñêîñòåé èç íèõ ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðÿìóþ l1 , à k2 ïëîñêîñòåéïðîõîäÿò ÷åðåç ïðÿìóþ l2 . Òîãäà ïðè 2 6 k 6 n − 2 âåðíîÏðèìåð 4.4.f (A3n ) = (k + 1)f (A3n ) + (n − k − r + 1)k1 k2 .4.4 Ðàçáèåíèÿ ïëîñêèõ dìåðíûõ òîðîâ è ïðîñòðàíñòâ Ëîáà÷åâñêîãîÏëîñêèì d-ìåðíûì òîðîì T d íàçûâàåòñÿ ôàêòîðïðîñòðàíñòâîàôôèííîãî dìåðíîãî âåùåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà Rd ïî d-ìåðíîé ðåøåòêå Z d (íåîáÿçàòåëüíî ðåøåòêå öåëûõ ÷èñåë).

Ïîäòîð êîðàçìåðíîñòè îäèí â T d çàäàåòñÿóðàâíåíèåì∑ai xi = c,Îïðåäåëåíèå 4.2.iãäå ai ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, xi êîîðäèíàòû ïðîñòðàíñòâà Rd â êàêîì-íèáóäüáàçèñå, ïîñòðîåííûå ïî êàêîìó-íèáóäü áàçèñó ðåøåòêè Z d , c ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî.Ïîäòîð êîðàçìåðíîñòè îäèí çàìêíóòîå ïîäìíîãîîáðàçèå â òîðå T d , ãîìåîìîðôíîå (d − 1) ìåðíîìó òîðó.()Òåîðåìà 4.9.

Ìíîæåñòâî F T d , n âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë êîìïîíåíò ñâÿçíîñòèäîïîëíåíèé â d-ìåðíîì ïëîñêîì òîðå ê îáúåäèíåíèÿì n ïëîñêèõ ïîäòîðîâ êîðàçìåðíîñòè îäèí ñîäåðæèò ìíîæåñòâî()F T d , n ⊇ {n − d + 1, . . . , n} ∪ {l ∈ N | l > 2(n − d).}Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T d = Rd /Z d è â ðåøåòêå Z d âûáðàí áàçèñ e. Ïóñòü (x1 , . . . , xd ) êîîðäèíàòû ïðîñòðàíñòâà Rd â áàçèñå e.

Ïîñòðîèì ïðèìåðû êîíôèãóðàöèé ñ ÷èñëîì f ñâÿçíûõ êîìïîíåíò îòäåëüíî äëÿ f 6 n è äëÿ f > 2n − 2d.Ðàññìîòðèì íàáîð èç n ãèïåðïëîñêîñòåé â Rd (êàæäîå óðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóåòîäíîé ãèïåðïëîñêîñòè):xi = 0, 1 6 i 6 k,xk+1 = ci−k , k + 1 6 i 6 n71äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî k , 0 6 k 6 d − 1 è âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ci−k ñ ðàçëè÷íûìèdddäðîáíûìè÷àñòÿìè.} Ïðè îòîáðàæåíèè ôàêòîðèçàöèè R → R /Z ïîëó÷èòñÿ íàáîð{ d−1Ti , i = 1, . . .

, n èç n ïîäòîðîâ êîðàçìåðíîñòè îäèí. Ïðè ýòîì äîïîëíåíèå ãîìåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ∪() ( )d−k−1Td \Tid−1 ≈ Rk × S 1 \ {p1 , . . . , pn−k } × S 1,iãäå ÷åðåç S \ {p1 , . . . , pn−k } îáîçíà÷åíà îêðóæíîñòü áåç n − k òî÷åê. Îòñþäà ÷èñëîñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ ðàâíî n − k , ãäå k ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî0 6 k 6 d − 1.Òåïåðü âîçüìåì öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî k è ïîñòðîèì ïðèìåð êîíôèãóðàöèèñ 2n − 2d + k ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìè äîïîëíåíèÿ. Çàäàäèì ïîäòîðû óðàâíåíèÿìè:1ãäå 2 6 i 6 d,1x2 = kx1 + ,2äëÿ j = 1, .

. . , n − d,xi = 0,x1 = cjïðè÷åì ÷èñëà kcj +òðåõ ïîäòîðîâ12íå öåëûå íè ïðè êàêèõ j . (Ýòî óñëîâèå òîãî, ÷òî ïåðåñå÷åíèå1x2 = kx1 + , x1 = cj , x2 = 02ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì.) Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîT \dd∪{xi = 0} ≈ T 2 × Rd−2 .i=3 äâóìåðíîì òîðå óðàâíåíèÿx2 = 0,1x2 = kx1 + ,2x1 = cj äëÿ j = 1, . .

. , n − dçàäàþò íàáîð èç n − d + 2 çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, îáúåäèíåíèå êîòîðûõ äåëèòòîð íà 2n − 2d + k ñâÿçíûõ êîìïîíåíò (áîëåå ïîäðîáíî ðàçáèåíèå äâóìåðíûõ òîðîâãåîäåçè÷åñêèìè îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 3.3).Ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íàáîðàìè ïîäïðîñòðàíñòâ êîðàçìåðíîñòè îäèí êà÷åñòâå ìîäåëè m-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî Lm âîçüìåì ìíîæåñòâîòî÷åê{(x1 , . . .

, xm ) ∈ Rm | xm > 0}ñ ìåòðèêîéds2 =dx21 + . . . + dx2m.x2mÂïîëíå ãåîäåçè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîðàçìåðíîñòè îäèí ýòî ãèïåðïëîñêîñòèïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî, ò.å. åâêëèäîâû ïîëóñôåðû ñ öåíòðîì íà àáñîëþòå è åâêëèäîâû ïîëóïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå àáñîëþòó xm = 0.72Ïóñòü n ðàçëè÷íûõ ãèïåðïëîñêîñòåé m-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî äåëÿò ïîñëåäíåå íà f îáëàñòåé.

ÒîãäàÒåîðåìà 4.10.n + 1 6 f 6 1 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnm ,(4.10)ãäå áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò Cni ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ ïðè i > n. Ëþáîå öåëîå÷èñëî f , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì (4.10) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ n è m, ìîæåòðåàëèçîâàòüñÿ êàê ÷èñëî îáëàñòåé m-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî, ðàçäåëåííîãî n-ãèïåðïëîñêîñòÿìè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ è ëåììà. Îáîçíà÷èì ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîñòåé êîðàçìåðíîñòè îäèí â Lm ÷åðåç H m . Îáîçíà÷èìïðîñòðàíñòâî íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç n ðàçëè÷íûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïëîñêîñòåé êîðàçìåðíîñòè îäèí â Lm ÷åðåç Anm ⊂ H m × . .

. H m . Ôèêñèðóåì ÷èñëà m è n. ÏóñòüA1 è A2 äâà ðàçëè÷íûõ íàáîðà èç Anm . Äåôîðìàöèåé íàáîðà A1 â íàáîð A2 íàçîâåì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå s : [0, 1] → Anm , òàêîå ÷òî s(0) = A1 è s(1) = A2 .×èñëî îáëàñòåé, îáðàçîâàííûõ íàáîðîì A ∈ Anm â ïðîñòðàíñòâå Ëîáà÷åâñêîãî Lm ,îáîçíà÷èì ÷åðåç f (A). Íàçîâåì ìîìåíò âðåìåíè t0 ∈ [0, 1] êðèòè÷åñêèì, åñëè ÷èñëî îáëàñòåé f (s(t)) íå ïîñòîÿííî â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êèt0 ∈ [0, 1].  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äåôîðìàöèè ñ êîíå÷íûì÷èñëîì êðèòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè, ïðè ýòîì òî÷êè 0 è 1 íå êðèòè÷åñêèå. Âêðèòè÷åñêèé ìîìåíò t0 èçìåíÿåòñÿ ÷èñëî îáëàñòåé, ïðè÷åì èçìåíÿåòñÿ íà|f (s(t0 + ϵ)) − f (s(t0 ) − ϵ)|äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ϵ.Íàçîâåì íàáîð A ∈ Anm èñêëþ÷èòåëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò äåôîðìàöèÿ s(t) ñîñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî ìîìåíòà t0 âåðíî A = s(t0 ) è÷èñëî îáëàñòåé èçìåíÿåòñÿ ïðè äåôîðìàöèè s(t) â ìîìåíò t0 íå ìåíåå ÷åì íà äâà.Ìíîæåñòâî èñêëþ÷èòåëüíûõ íàáîðîâ åñòü ïîäìíîæåñòâî êîðàçìåðíîñòè äâà â Anm .Ëåììà 4.18.Äîêàçàòåëüñòâî.

Åñëè â ìîìåíò t0 èñ÷åçàåò îáëàñòü, òî îãðàíè÷èâàþùèå åå ãèïåðïëîñêîñòè (ïðè t < t0 , íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè), âîçìîæíî, âìåñòå ñ àáñîëþòîì áóäóòïðîõîäèòü ïðè t = t0 ÷åðåç îäíó òî÷êó (êîòîðàÿ ìîæåò áûòü íà àáñîëþòå). Ýòîíåêîòîðîå óñëîâèå, âûïîëíÿþùååñÿ íà ïîâåðõíîñòè êîðàçìåðíîñòè îäèí â Anm .Åñëè ïðè t = t0 èñ÷åçàþò ïî êðàéíåé ìåðå äâå îáëàñòè, òî îíè áûëè îãðàíè÷åíûðàçíûìè ìíîæåñòâàìè ãèïåðïëîñêîñòåé (â êîòîðûõ, âîçìîæíî, íåêîòîðûå ãèïåðïëîñêîñòè ñîâïàäàëè).

Ïîýòîìó óñëîâèÿ èñ÷åçàíèÿ îáëàñòåé íåçàâèñèìû è îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ íà ïîâåðõíîñòè êîðàçìåðíîñòè íå ìåíåå äâóõ â Anm .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.10. Íåðàâåíñòâî f > n + 1 äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé ïîn. Äðóãîå íåðàâåíñòâî èç (4.10) äîêàçûâàåòñÿ ïî ïàðå èíäóêöèé ïî m è n. Âíåøíÿÿèíäóêöèÿ ïî m, áàçà m = 2, ïðåäïîëîæåíèå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ðàçìåðíîñòåé, ìåíüøèõ m, è ëþáîãî ÷èñëà n. Èíäóêöèÿ ïî n âíóòðåííÿÿ, áàçà n = 1,ïðåäïîëîæåíèå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ äàííîé ðàçìåðíîñòè m è ìåíüøåãî ÷èñëà ãèïåðïëîñêîñòåé.

Âûêëàäêè òàêèå æå êàê è â äîêàçàòåëüñòâå àíàëîãè÷íîéîöåíêè äëÿ ãèïåðïëîñêîñòåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå (ôîðìóëû Øëåôôëè).73Äîêàæåì, ÷òî ëþáîå öåëîå ÷èñëî f , óäîâëåòâîðÿþùåå (4.10) ìîæåò áûòü ÷èñëîì îáëàñòåé. Ðàññìîòðèì íàáîð èç n ãèïåðïëîñêîñòåé åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâàRm îáùåãî ïîëîæåíèÿ, â êîòîðîì âñå îãðàíè÷åííûå îáëàñòè èìåþò äîñòàòî÷íî ìàëûé äèàìåòð è ðàñïîëàãàëèñü â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå xm > 0.

Çàìåíèì òåïåðüãèïåðïëîñêîñòè åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà êàñàþùèåñÿ èõ ãèïåðïëîñêîñòè ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî. Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî äèàìåòðà îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåéïðè çàìåíå ãèïåðïëîñêîñòåé ÷èñëî îáëàñòåé (âñåõ, íå òîëüêî îãðàíè÷åííûõ) íå èçìåíèòñÿ è áóäåò ðàâíîfmax = 1 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnm .Âîçüìåì ïîñòðîåííûé íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé â Lm â êà÷åñòâå A1 , à íàáîð èç n íåïåðåñåêàþùèõñÿ ãèïåðïëîñêîñòåé â êà÷åñòâå A2 . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî êîðàçìåðíîñòè äâà íå äåëèò ïðîñòðàíñòâî Anm íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû, òî íàáîðû A1 è A2ìîæíî ñîåäèíèòü äåôîðìàöèåé s(t), íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èñêëþ÷èòåëüíûå íàáîðû.