Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 10

×èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ðàâíî ÷èñëó ïîäõîäÿùèõ ïàð ëîìàíûõ äëÿ íèõ.Ãèïîòåçà 3.3.44(ã) Åñëè çàìêíóòûì ïðîñòûì ãåîäåçè÷åñêèì γ1 è γ2 íà òåòðàýäðå T ñîîòâåòñòâóþò ãåîäåçè÷åñêèå γe1 è γe2 íà ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå, òî ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 ðàâíî ÷èñëó òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γe1 è γe2 .Ïóíêò (ã) ñëåäóåò èç (â), ò.ê. ïîäõîäÿùèå ïàðû äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 âçàèìíîîäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò ïàðàì äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γe1 è γe2 .3.5 Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà çàìêíóòûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõïîâåðõíîñòÿõÏóñòü M ñâÿçíàÿ ãëàäêàÿ äâóìåðíàÿ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü áåç êðàÿ ñ ìåòðèêîéïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû.

M ãîìåîìîðôíà ñôåðå ñ g > 2 ðó÷êàìè èëèñ k > 3 ëèñòàìè Ìåáèóñà (ïî òåîð. Ãàóññà). Íàçîâåì ïðîñòîé çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ â M ê îáúåäèíåíèþçàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ áóäåì íàçûâàòü îáëàñòÿìè, õîòÿ îíè ìîãóò áûòü íå ãîìåîìîðôíû äèñêó.Ïóñòü M ñâÿçíàÿ çàìêíóòàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé. Òîãäà ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû c1 , c2 è c3 , òàêèå ÷òî äëÿ ëþáûõäâóõ ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 íà M äëèíû T1 è T2(à)|π0 (M \ {γ1 ∪ γ2 })| 6 c1 T1 T2 + c2 (T12 + T22 ),Òåîðåìà 3.7.(á) åñëè îáå ãåîäåçè÷åñêèå íå ñàìîïåðåñåêàþòñÿ, òî|π0 (M \ {γ1 ∪ γ2 })| 6 c3 T1 T2 .Äîêàçàòåëüñòâî. (á) Ïóñòü γ1 è γ2 ïåðåñåêàþòñÿ â p òî÷êàõ è îáðàçóþò f îáëàñòåéíà Mg2 .

Ãðàíèöà ëþáîé îáëàñòè ñîäåðæèò îòðåçîê êàêîé-òî ãåîäåçè÷åñêîé, ïðè÷åìêàæäûé îòðåçîê ñîäåðæèòñÿ â ãðàíèöàõ íå áîëåå ÷åì äâóõ îáëàñòåé. Ïîýòîìó ÷èñëîîáëàñòåé f íå ïðåâîñõîäèò óäâîåííîãî ÷èñëà îòðåçêîâ èf 6 4pïðè p > 1èf 6 4 ïðèp = 0.(3.1)Ïðè p = 0 ãðàíèöàìè îáëàñòåé áóäóò ñàìè ãåîäåçè÷åñêèå. Îöåíèì òåïåðü ÷èñëîp òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðîñòûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ñ äëèíàìè T1 è T2 .Äèñêðåòíàÿ ãðóïïà G äâèæåíèé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ïîðîæäåíà ñäâèãàìè âäîëüïðÿìûõ Bi Bi+2g íà ðàññòîÿíèÿ ρ(Bi , Bi+2g ). Îáðàçû ìíîãîóãîëüíèêà A1 A2 . . .

A4g ïðèäåéñòâèè ãðóïïû G ïîêðûâàþò âñþ ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâàîáðàçîâ òî÷åê O è A1 , A2 , . . . , A4g ïðè äåéñòâèè ãðóïïû G ÷åðåç {Oi , i = 1, . . . , ∞} è{Ai , i = 1, . . . , ∞} ñîîòâåòñòâåííî.Äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà∪{Oi Ai , i = 1, . . . , ∞}ïîñòðîèì çàìêíóòûå ìíîãîóãîëüíûå ÿ÷åéêè Âîðîíîãî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ui è Viÿ÷åéêè, ñîäåðæàùèå òî÷êè Oi è Ai ñîîòâåòñòâåííî.

Äîêàæåì, ÷òî ÿ÷åéêà òî÷êèO ñîâïàäàåò ñ ìíîãîóãîëüíèêîì B1 B2 . . . B4g . Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê OA1 B1 . Òàê45πêàê ∠A1 OB1 = 4g= ∠B1 A1 O, òî îòðåçêè OB1 è A1 B1 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ñðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó OA1 . Àíàëîãè÷íî îòðåçêè OB4g è A1 B4gñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ñðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó OA1 . Ñëåäîâàòåëüíî, B1 B4g ñðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê OA1 . Àíàëîãè÷íî, ïðÿìûå Bi−1 Bi ðàâíîóäàëåíû îò òî÷åê O è Ai äëÿ i = 2, .

. . , 4g. Ïîýòîìó ìíîãîóãîëüíèê B1 B2 . . . B4g ýòî ÿ÷åéêà òî÷êè O.Çàìåòèì, ÷òî △OB1 B4g = △A1 B1 B4g è, ñëåäîâàòåëüíî, ∠OB1 B4g = 45◦ . Òîãäà ∠Bi−1 Bi Bi+1 = 90◦ äëÿ i = 1, . . . 4g . Èç ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ △OB1 B4g è△A1 B1 B4g ñëåäóåò, ÷òî ÿ÷åéêè òî÷åê O è A1 ñóòü ðàâíûå 4g óãîëüíèêè, âñå óãëûêîòîðûõ ðàâíû 90◦ , à äëèíû âñåõ ñòîðîí ðàâíû ρ(B1 , B2 ).

Òàêèì îáðàçîì, ÿ÷åéêàUi òî÷êè Oi ýòî 4g óãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñòîðîíàìè ÿ÷ååêVj1 . . . Vj4g òî÷åê Aj1 , . . . , Aj4g äëÿ íåêîòîðûõ èíäåêñîâ j1 , . . . j4g . Ðàññìîòðèì ïðÿìûål1 è l2 íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, òàêèå ÷òî γ1 = ϕ(l1 ) è γ2 = ϕ(l2 ). Ïðÿìûì l1 è l2ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâå áåñêîíå÷íûå â îáå ñòîðîíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿ÷ååêÂîðîíîãî, ñ êîòîðûìè îíè èìåþò îáùèå òî÷êè, ó÷èòûâàÿ ñëåäóþùåå: åñëè ïðÿìàÿïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó Q êàêîé-òî ÿ÷åéêè, òî èç ÷åòûðåõ ÿ÷ååê, ñîäåðæàùèõ òî÷êó Q, â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âêëþ÷èì òðè ÿ÷åéêè â òàêîì ïîðÿäêå, ÷òîáû ÿ÷åéêè Ui÷åðåäîâàëèñü ñ ÿ÷åéêàìè Vj ; à åñëè ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ïî ñòîðîíå ÿ÷ååê Ui è Vj , òî âïîñëåäîâàòåëüíîñòü âêëþ÷èì Ui .

Òîãäà ïîëó÷àòñÿ äâå áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Π1 è Π2 , â êîòîðûõ ÿ÷åéêè Ui ÷åðåäóþòñÿ ñ ÿ÷åéêàìè Vj .Âûáåðåì îòðåçêè [X1 X2 ] è [Y1 Y2 ] íà ïðÿìûõ l1 è l2 äëèíîé T1 è T2 ñîîòâåòñòâåííî, òàê ÷òîáû òî÷êè X1 è Y1 ïðèíàäëåæàëè ÿ÷åéêàì Uiα è Uiβ . Òàê êàê äëèíûãåîäåçè÷åñêèõ ðàâíû äëèíàì îòðåçêîâ [X1 X2 ] è [Y1 Y2 ], òî òî÷êè ϕ(X1 ) = ϕ(X2 ) èϕ(Y1 ) = ϕ(Y2 ). Ïîýòîìó òî÷êè X2 è Y2 ïðèíàäëåæàò ÿ÷åéêàì Uiδ è Uiϵ äëÿ íåêîòîðûõ èíäåêñîâ iδ è iϵ . Ïåðåñå÷åíèå îòðåçêà [X1 X2 ] ñ ïðîèçâîëüíîé ÿ÷åéêîé Âîðîíîãîåñòü èëè îòðåçîê, èëè òî÷êà, èëè ïóñòîå ìíîæåñòâî.

Îáîçíà÷èì íåïóñòûå ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà [X1 X2 ] ñ ÿ÷åéêàìè Uik ∈ Π1 ÷åðåç [E2k−1 E2k ] äëÿ k = 1, . . . , κ â ïîðÿäêåñëåäîâàíèÿ ÿ÷ååê â Π1 . Àíàëîãè÷íî, îáîçíà÷èì íåïóñòûå ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà [Y1 Y2 ]ñ ÿ÷åéêàìè Ujl ∈ Π2 ÷åðåç [F2l−1 F2l ] äëÿ l = 1, . . . , λ â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ÿ÷ååê âΠ2 .  ñèëó âûáîðà òî÷åê X1 , X2 , Y1 , Y2 èìååìE1 = X1 , F1 = Y1 , E2κ = X2 , F2λ = Y2 .Îöåíèì ÷èñëà κ è λ ÷åðåç T1 è T2 .

ß÷åéêà Âîðîíîãî Ui èìååò ïî îäíîé îáùåéòî÷êå ñ 4g ÿ÷åéêàìè Us ïðè s ̸= i. Ðàññìîòðèì()∩ri = min ρ(Z1 , Z2 ) | Z1 ∈ Ui , Z2 ∈ Uj , Ui Uj = ∅jìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå îò ÿ÷åéêè Ui äî òåõ ÿ÷ååê Uj , ñ êîòîðûìè ÿ÷åéêà Ui íåèìååò îáùèõ òî÷åê. Òàê êàê ãðóïïà G ñîñòîèò èç èçîìåòðèé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî,òî ÷èñëî ri íå çàâèñèò îò i, ò.å. r = ri êîíñòàíòà (ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå g ).Ðàññìîòðèì òðè îòðåçêà (âîçìîæíî, âûðîæäàþùèåñÿ â òî÷êè)[E2k−1 E2k ] ⊂ Uik ,[E2k+1 E2k+2 ] ⊂ Uik+1 ,[E2k+3 E2k+4 ] ⊂ Uik+2 ,ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó [X1 X2 ]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÿ÷åéêè Uik è Uik+2 èìåþò îáùóþ òî÷êó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÿ÷åéêè Uik è Uik+2 íàõîäÿòñÿ â 4g óãîëüíèêàõ D1 è46D2 , èìåþùèõ îáùóþ ñòîðîíó è ïîëó÷åííûõ èç èñõîäíîãî 4g óãîëüíèêà A1 A2 .

. . A4gíåêîòîðûìè äâèæåíèÿìèèç ãðóïïû G. Òîãäà è îòðåçîê [E2k−1 E2k+4 ] íàõîäèòñÿ â îáú∪åäèíåíèè D1 D∪âî âíóòðåííîñòè2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê [E2k+1 E2k+2 ] íàõîäèòñÿ∪îáúåäèíåíèÿ D1 D2 . Îäíàêî âíóòðåííîñòü îáúåäèíåíèÿ D1 D2 èìååò îáùèå òî÷êè ñ ÿ÷åéêàìè Ui òîëüêî ïðè i = ik è i = ik+2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî îòðåçîê[E2k+1 E2k+2 ] ⊂ Uik+1 . Èòàê, ÿ÷åéêè Uik è Uik+2 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, ñëåäîâàòåëüíîρ(E2k , E2k+3 ) ≥ r ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà r. Ïîýòîìó ρ(E2k−1 , E2k+3 ) ≥ r, ò.å.

ñóììàäëèí äâóõ ñîñåäíèõ îòðåçêîâ [E2k−1 E2k ]; [E2k+1 E2k+2 ] è äâóõ èíòåðâàëîâ (E2k E2k+1 );(E2k+2 E2k+3 ) íå ìåíüøå r. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîκ<2T1+ 2.rÀíàëîãè÷íî äëÿ γ2 èìååì λ < 2Tr 2 + 2.Òåïåðü îöåíèì ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ γ1 è γ2 . Êàæäàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ íàõîäèòñÿ èëè íà ïàðå îòðåçêîâ[E2k−1 E2k ]èäëÿ[F2l−1 F2l ]k = 1, . . . , κ;l = 1, . . . , λ,èëè íà ïàðå èíòåðâàëîâ(E2k E2k+1 ) è (F2l F2l+1 ) äëÿ k = 1, . . . , κ − 1;l = 1, . . . , λ − 1.Îòðåçêè [E2k−1 E2k ] è [F2l−1 F2l ] íàõîäÿòñÿ â ÿ÷åéêàõ Uik è Ujl , ïîýòîìó ϕ-îáðàçûîòðåçêîâ [E2k−1 E2k ] è [F2l−1 F2l ] èìåþò íå áîëåå äâóõ îáùèõ òî÷åê. Äâå îáùèå òî÷êè âîçìîæíû, íàïðèìåð, êîãäà îòðåçêè [E2k−1 E2k ] è [F2l−1 F2l ] ïåðåñåêàþòñÿ âíóòðèÿ÷åéêè, ñîäåðæàùåé òî÷êó O, è, êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ E2k = Bg+1 , F2l = B1 .

Òîãäà ϕ(E2k ) = ϕ(F2l ). Àíàëîãè÷íî, ϕ-îáðàçû èíòåðâàëîâ (E2k E2k+1 ) è (F2l F2l+1 ) èìåþòíå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè. Ñëåäîâàòåëüíî,p ≤ 2κλ + (κ − 1)(λ − 1) < 3κλ <12(T1 + r)(T2 + r).r2Îáîçíà÷èì ÷åðåç t ìèíèìóì äëèí ïðîñòûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà Mg2 . Òîãäà(r)Ti äëÿ i = 1, 2,Ti + r ≤ 1 +tè ïîýòîìó12 (r )2p< 2 1+T1 T2 .rt()2Ó÷èòûâàÿ (3.1) è 36 1t + 1r T1 T2 ≥ 36 > 4 ≥ f äëÿ p = 0, ïîëó÷àåì(f ≤ 361 1+t r)2T1 T2 .()2Èòàê, êîíñòàíòà c = 36 1t + 1r óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïóíêòà (á) òåîðåìû.(à) Àíàëîãè÷íî ïóíêòó (á).47Ñóùåñòâóåò ñâÿçíàÿ äâóìåðíàÿ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü M ðîäà g >2 ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ êàæäîå èç ñëåäóþùèõóòâåðæäåíèé.(à) äëÿ ëþáîãî ÷èñëà T > 0 íàéäóòñÿ äâå ïðîñòûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå ñäëèíàìè T1 > T è T2 > T , îáðàçóþùèå îäíó îáëàñòü íà M .(á) Ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c0 > 0, òàêàÿ ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà T > 0 íàéäóòñÿäâå ðàçëè÷íûå ïðîñòûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà M ñ äëèíàìè T1 > T è T2 > T ,îáðàçóþùèå íå ìåíåå ÷åì c0 T1 T2 îáëàñòåé íà M .(â) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà f ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ,îáðàçóþùàÿ f îáëàñòåé íà M .Òåîðåìà 3.8.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòü Mg2 ðîäà g > 2 ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé ñëåäóþùåãî âèäà. Îòîæäåñòâèì ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ó 4g óãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ðàâíûìè ñòîðîíàìè è ñ óãëàìè, ðàâπíûìè 2g. Ïðè îòîæäåñòâëåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìíîãîîáðàçèå, ãîìåîìîðôíîå Mg2 . Îáîçíà÷èì âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà ÷åðåç A1 , A2 , .

. . , A4g . Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ãðóïïóG äâèæåíèé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî L2 , èçîìîðôíóþ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå Mg2è ïîðîæäåííóþ ñäâèãàìè ïëîñêîñòè L2 âäîëü 2g ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà A1 A2 . . . A4g , íà ðàññòîÿíèå ìåæäóýòèìè ñåðåäèíàìè. Òàê êàê äåéñòâèå ãðóïïû G íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê, òî ôàêòîðïðîñòðàíñòâî L2 /G ≈ Mg2 íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîéãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ èíäóöèðîâàííîé ìåòðèêîé ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ : L2 → Mg2 ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå ôàêòîðèçàöèè(ϕ óíèâåðñàëüíîå íàêðûòèå).Ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî L2 ïîêðûâàåòñÿ îáðàçàìè ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . A4g ïðèäåéñòâèè äèñêðåòíîé ãðóïïû äâèæåíèé G. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ⊂ L2 ìíîæåñòâî îáðàçîâ âåðøèí ìíîãîóãîëüíèêà A1 .

. . A4g , ñåðåäèí åãî ñòîðîí è öåíòðà O ïðè äåéñòâèèãðóïïû G.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bi ñåðåäèíû ñòîðîí Ai Ai+1 ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . A4g äëÿ i =1, . . . , 4g . ×åðåç ρ(X, Y ) îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè X è Y íà ïëîñêîñòèËîáà÷åâñêîãî.(a)  êà÷åñòâå γ1 âîçüìåì çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ, ñîñòîÿùóþ èç k+1 îòðåçêîâ:A11 A21 , A12 A22 , A13 A23 , . . . , A1k+1 A2k+1 ,ãäå A11 = A1 , A2k+1 = A2g+1 , à òî÷êè A2i è A1i ðàñïîëîæåíû íà ñòîðîíàõ A2g A2g+1 èA1 A4g ìíîãîóãîëüíèêà A1 .