Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâàìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòíà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 514.174+515.164.22Øíóðíèêîâ Èãîðü Íèêîëàåâè÷Ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà êîìïîíåíòñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ ê íàáîðàìçàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿäèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:àêàäåìèê À.Ò. ÔîìåíêîÌîñêâà 2012Ñîäåðæàíèå12Ââåäåíèå2Êîíôèãóðàöèè ïñåâäîïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè82.12.22.331828Íàáîðû ïîãðóæåííûõ îêðóæíîñòåé íà äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ3131Î ÷èñëå ñâÿçíûõ êîìïîíåíò â íåêëåòî÷íûõ ðàçáèåíèÿõ ñôåð ñ ðó÷êàìèÌíîæåñòâî ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïîâåðõíîñòåé ñåìåéñòâàìèêðèâûõ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìíîæåñòâà ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ òîðîâ è áóòûëîê Êëåéíà . .Ðàçáèåíèÿ òåòðàýäðîâ íàáîðàìè çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ . . . . . . .Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà çàìêíóòûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõÍàáîðû ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè îäèí4.14.24.34.4593.13.23.33.43.54Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà íà ÷èñëà òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ôèêñèðîâàííîéêðàòíîñòè .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îöåíêè ÷èñëà îáëàñòåé äëÿ íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ ñ îãðàíè÷åííûìèâûðîæäåíèÿìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìíîæåñòâà ÷èñåë ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèé ê íàáîðàì n ïñåâäîïðÿìûõ . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ãîìîëîãè÷åñêàÿ îöåíêà ÷èñëà êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè . . . . . . . . . .Ïðèìåíåíèå ôóíêöèè Ìåáèóñà äëÿ êîíôèãóðàöèé ãèïåðïëîñêîñòåéÌíîæåñòâà ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâÐàçáèåíèÿ ïëîñêèõ dìåðíûõ òîðîâ è ïðîñòðàíñòâ Ëîáà÷åâñêîãî .

.Çàêëþ÷åíèå.3334394553....535559717411ÂâåäåíèåÐàáîòà îòíîñèòñÿ ê òåîðèè êîíôèãóðàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé àêòèâíî ðàçâèâàþùåìóñÿ íàïðàâëåíèþ, ñâÿçàííîìó ñ êîìáèíàòîðèêîé, àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèåé,òåîðèåé óçëîâ, àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèåé. Ïîä òåîðèåé êîíôèãóðàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé ìû èìååì â âèäó â ïåðâóþ î÷åðåäü ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ êîìáèíàòîðèêèè òîïîëîãèè êîíå÷íûõ íàáîðîâ ïëîñêîñòåé è èõ äîïîëíåíèé â àôôèííûõ è ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, à òàêæå îáîáùåíèÿ íà íàáîðû ïîäìíîãîîáðàçèé â äðóãèõìíîãîîáðàçèÿõ. Áàçîâûå ôàêòû òåîðèè ñì. â êíèãå Ï. Îðëèêà, Õ. Òåðàî [32] 1992 ã.,à ãåîìåòðè÷åñêèå àñïåêòû â îáçîðå Â. À. Âàñèëüåâà [3] 2001 ã. Ðÿä îáîáùåíèé äëÿïðîèçâîëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ñäåëàë Ï.

Äåøïàíä [16] â 2011 ã.Îáçîð îñíîâíûõ èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ.Êîìáèíàòîðèêà ÷èñëà îáëàñòåé. Ðàçáèåíèÿ âåùåñòâåííûõ àôôèííûõ è ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ íàáîðàìè ïîâåðõíîñòåé êîðàçìåðíîñòè îäèí èçó÷àë ß. Øòåéíåð[36] â 1826 ãîäó. Îí ðàññìàòðèâàë ðàçáèåíèÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà êîíå÷íûìèíàáîðàìè ïëîñêîñòåé è ñôåð, ïðè÷åì íàáîðû ñîñòîÿëè èç ñåìåéñòâ ïàðàëëåëüíûõïëîñêîñòåé è êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð, è ñåìåéñòâà íàõîäèëèñü â îáùåì ïîëîæåíèèîòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. ß. Øòåéíåð íàøåë ÷èñëî îáëàñòåé ïðîñòðàíñòâà äëÿ òàêèõ ðàçáèåíèé ñ óêàçàííûìè ÷èñëàìè ïîâåðõíîñòåé â ñåìåéñòâàõ.

Ð. Áàê [11] â 1943 ã.íàøåë ìàêñèìàëüíûå âîçìîæíûå ÷èñëà k ìåðíûõ êëåòîê â ðàçáèåíèÿõ ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà RPd íàáîðàìè n ãèïåðïëîñêîñòåé. Ð. Øåííîí [35] â 1976 ã. äîêàçàëíèæíèå îöåíêè íà ÷èñëà k ìåðíûõ ïëîñêîñòåé ïåðåñå÷åíèÿ è k ìåðíûõ êëåòîêâ ðàçáèåíèÿõ ïðîñòðàíñòâà RPd íàáîðàìè n ãèïåðïëîñêîñòåé (òðåáîâàëîñü, ÷òîáûïåðåñå÷åíèå âñåõ n ãèïåðïëîñêîñòåé áûëî ïóñòûì ìíîæåñòâîì).Ôîðìóëà Çàñëàâñêîãî. Ò. Çàñëàâñêèé [37] â 1975 ã. îïðåäåëèë õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí íàáîðà ãèïåðïëîñêîñòåé àôôèííîãî èëè ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâàñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ìåáèóñà ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ïåðåñå÷åíèé; íàøåë ëèíåéíûå êîìáèíàöèè çíà÷åíèé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà â íåêîòîðûõòî÷êàõ, çàäàþùèå ÷èñëî âñåõ îáëàñòåé è ÷èñëî îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïðîñòðàíñòâà ãèïåðïëîñêîñòÿìè (äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé òðåáóåòñÿ, ÷òîáûïåðåñå÷åíèå âñåõ ãèïåðïëîñêîñòåé áûëî òî÷êîé èëè ïóñòûì ìíîæåñòâîì).

Ð. Ýðåíáåðã, Ì. Ðýääè, Ì. Ñëîóí [17] â 2009 ã. îïðåäåëèëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíè ïðåäúÿâèëè àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû äëÿ êëåòî÷íûõ ðàçáèåíèé ìíîãîìåðíîãî ïëîñêîãî òîðà íàáîðîì ïëîñêèõ ïîäòîðîâ êîðàçìåðíîñòè îäèí. Ï. Äåøïàíä [16] â 2011 ã.îáîáùèë ôîðìóëû Çàñëàâñêîãî äëÿ êîíôèãóðàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé (â îïðåäåëåíèèêîíôèãóðàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé òðåáîâàëîñü, ÷òîáû ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîãîîáðàçèéáûëî ëîêàëüíî ãîìåîìîðôíî ïåðåñå÷åíèþ ïëîñêîñòåé).Êîãîìîëîãèè äîïîëíåíèÿ â êîìïëåêñíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.

Ï. Îðëèê è Ë. Ñîëîìîí[31] â 1980 ã. âûðàçèëè êîëüöî öåëî÷èñëåííûõ êîãîìîëîãèé äîïîëíåíèÿ ê íàáîðó êîìïëåêñíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé ÷åðåç ÷. ó. ì. ïåðåñå÷åíèé ãèïåðïëîñêîñòåé (ïîñòðîåííàÿàëãåáðà áûëà íàçâàíà â èõ ÷åñòü). Îíè çàìåòèëè, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äëÿ íàáîðà âåùåñòâåííûõ ãèïåðïëîñêîñòåé ñîâïàäàåò ñ ìíîãî÷ëåíîì Ïóàíêàðåäëÿ êîìïëåêñèôèöèðîâàííîãî íàáîðà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî îáëàñòåé ðàçáèåíèÿ âåùåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà Rm íàáîðîì ãèïåðïëîñêîñòåé ðàâíî ñóììå ÷èñåë2Áåòòè äîïîëíåíèÿ â Cm ê îáúåäèíåíèþ êîìïëåêñèôèöèðîâàííûõ ãèïåðïëîñêîñòåé.Îáçîð Ñ. À. Þçâèíñêîãî [9] 2001 ã.

ïîñâÿùåí ñâîéñòâàì àëãåáð Îðëèêà-Ñîëîìîíà èíåêîòîðûì èõ ïðèëîæåíèÿì.Ãîìîòîïè÷åñêèå ñâîéñòâà äîïîëíåíèé ê íàáîðàì ïëîñêîñòåé. Ã. Ë. Ðûáíèêîâ [8]â 2011 ã. ïîñòðîèë äâå êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíûå êîíôèãóðàöèè ïðÿìûõ íà êîìïëåêñíîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, ó êîòîðûõ ôóíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû äîïîëíåíèéíå èçîìîðôíû.Íàáîðû ïñåâäîïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè. Ïîä íàáîðîì ïñåâäîïðÿìûõ1ìû èìååì â âèäó êîíå÷íûé íàáîð ãëàäêèõ çàìêíóòûõ íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ, ëþáûå äâå èç êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî â åäèíñòâåííîé òî÷êå. ×åðåç ti îáîçíà÷èì ÷èñëî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ i ïñåâäîïðÿìûì; ÷åðåç n îáîçíà÷èì÷èñëî ïñåâäîïðÿìûõ íàáîðà. Èñêëþ÷èì èç ðàññìîòðåíèÿ íàáîðû, â êîòîðûõ âñå nïñåâäîïðÿìûõ ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó. Èçâåñòíà ñåðèÿ ðåçóëüòàòîâ (ñì. îáçîðûÏ.

Áðàññ, Óèë. Ìîçåð, ß. Ïàõ [12] 2005 ã., Í. Íèëàêàíòàí [30] 2005 ã.), âåäóùèõ íà÷àëî îò ãèïîòåçû Ñèëüâåñòðà t2 ≥ 1. Ï. Ýðäåø è Ã.Á. Ïóðäè â [18] 1978 ã. ïîëó÷èëèíåðàâåíñòâîmax{t2 , t3 } > n − 1 ïðè n > 25;äîêàçàëè, ÷òî åñëè t2 < n−1, òî t3 > cn2 äëÿ íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé êîíñòàíòû c.6n ïðè n > 8. ÈçâåñòåíÄæ. Ñöèìà è Å.Ò. Ñîéåð â [14, 15] 1993 ã. äîêàçàëè, ÷òî t2 > 13[ ]n2ïðèìåð ñ t2 = 2 äëÿ ÷åòíûõ n > 6, è ãèïîòåçà Äèðàêà óòâåðæäàåò, ÷òî t2 > n2 .Ý. Ìåëüõèîð [27] 1940 ã.

ïîëó÷èë ëèíåéíîå ïî ti íåðàâåíñòâî, îáðàùåíèå êîòîðîãî âðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî âñå îáëàñòè ðàçáèåíèÿ òðåóãîëüíûå. Ô. Õèðöåáðóõ[23] 1986 ã., èçó÷àÿ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ îòíîøåíèÿ ÷èñåë ×åðíà äëÿ äâóìåðíûõêîìïëåêñíûõ ìíîãîîáðàçèé, äîêàçàë äëÿ íàáîðîâ êîìïëåêñíûõ ïðÿìûõ ëèíåéíîå ïîti è n íåðàâåíñòâî (íå ýêâèâàëåíòíîå íåðàâåíñòâó Ìåëüõèîðà; òðåáóþùåå, ÷òîáû íåáîëåå n − 3 ïðÿìûõ ïåðåñåêàëèñü â îäíîé òî÷êå).Ñâÿçü êîíôèãóðàöèé ãèïåðïëîñêîñòåé ñ ìíîãîãðàííèêàìè. Çîíîýäðîì â Rd íàçûâàåòñÿ âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, âñå ãèïåðãðàíè êîòîðîãî öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íû. À.

Ä. Àëåêñàíäðîâ [1] â 1933 ã. çàìåòèë, ÷òî çîíîýäð ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íûì ìíîãîãðàííèêîì. Èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ñâÿçü íàáîðîâ ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâàõ (ò.å. íàáîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâ àôôèííûõ ïðîñòðàíñòâ êîðàçìåðíîñòè îäèí) ñ çîíîýäðàìè, (ñì. Á. Ãðþíáàóì [20], 1967 ã.). Äëÿêàæäîãî ïîäïðîñòðàíñòâà pi êîíå÷íîãî íàáîðà ïîäïðîñòðàíñòâ â Rn+1 âîçüìåì åäèíè÷íûé îòðåçîê, ïåðïåíäèêóëÿðíûé pi , ïîñëå ÷åãî âîçüìåì ñóììó Ìèíêîâñêîãî3 ýòèõîòðåçêîâ. Íàïðèìåð, äëÿ íàáîðîâ ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ïðÿìûå ñîîòâåòñòâóþò ïîÿñêàì çîíîýäðà, îáëàñòè ïëîñêîñòè RP2 ïàðàì ïðîòèâîïîëîæíûõâåðøèí çîíîýäðà, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ ïàðàì ïðîòèâîïîëîæíûõ ãðàíåé çîíîýäðà; òðåì íå êîëëèíåàðíûì ïðÿìûì íà ïëîñêîñòè RP2 ñîîòâåòñòâóåò êóá.Ïðèìåð íåñïðÿìëÿåìîãî íàáîðà ïñåâäîïðÿìûõ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Äåçàðãàî êîëëèíåàðíîñòè òðåõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí äâóõ ïåðñïåêòèâíûõ òðåóãîëüíèêîâ.2 Èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷èëè Á.

Ãðèí, Ò. Òàî [19] â 2012 ã., èñïîëüçîâàâ ìåòîäû àääèòèâíîéêîìáèíàòîðèêè.  ÷àñòíîñòè, çàÿâëåíî î äîêàçàòåëüñòâå ãèïîòåçû Äèðàêà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõn.3 íàïîìíèì, ÷òî ñóììà Ìèíêîâñêîãî äâóõ òåë A è B , ðàñïîëîæåííûõ â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå,ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ òî÷åê a + b, ãäå a ∈ A è b ∈ B .13Íèæíèå îöåíêè ÷èñëà îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè. Á. Ãðþíáàóì [21] â 1972 ã. âïåðâûå ïîñòàâèë âîïðîñ îá îïèñàíèè ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ÷èñåëf îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ âåùåñòâåííîé äâóìåðíîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè íàáîðàìèèç n ïðîåêòèâíûõ ïðÿìûõ è äîêàçàë, ÷òîf > 3n − 6 ïðè m 6 n − 2,ãäå m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå. Òåì ñàìûì,÷èñëî îáëàñòåé íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü èíòåðâàëó (2n − 2; 3n − 6). Òàêæå Á.

Ãðþíáàóì ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè n ≥ 9 ÷èñëî îáëàñòåé íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â èíòåðâàëå(3n − 5, 4n − 12). Ýòó ãèïîòåçó íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà äîêàçàëè Ð. Êîðäîâèë [13]â 1980 ã., Äæ. Á. Ïóðäè [33] â 1980 ã. äëÿ n > 40 è Í. Ìàðòèíîâ [25] â 1990 ã. Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ãèïîòåçû Á. Ãðþíáàóìà Äæ.

Á. Ïóðäè ïîòðåáîâàëîñü äîêàçàòü, ÷òîåñëè äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî ÷èñëà km6n−kè n > 4k 2 + k + 1,òî f > (k + 1)(n − k).Ïîçæå Í. Ìàðòèíîâ [26] â 1993 ã. ïîëíîñòüþ îïèñàë âñå ÷èñëà îòðåçêà[2n − 2,n(n − 1)+ 1],2êîòîðûå ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå ÷èñëà îáëàñòåé. Â. È. Àðíîëüä [2] â 2008 ã.,íå çíàÿ î ðàáîòå Í. Ìàðòèíîâà, ïîñòàâèë çàäà÷ó îá îïèñàíèè âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåëîáëàñòåé ñ íóëÿ. Îí íàçâàë ëàêóíàìè öåëûå ÷èñëà, ïðèíàäëåæàùèå èíòåðâàëàì(ai , bi ), ãäå2ai = i(n − i + 1) + Ci−1, bi = (i + 1)(n − i).Â. È. Àðíîëüä äîêàçàë, ÷òî ÷èñëî îáëàñòåé íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ëàêóíå íîìåði äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n (äëÿ n & i2 ), îäíàêî â åãî ðàáîòå [2] îñòàëñÿ íåâûÿñíåííûì âîïðîñ, åñòü ëè â ëàêóíå íîìåð i ðåàëèçóåìûå çíà÷åíèÿ ÷èñëà îáëàñòåé ïðèi2. n .

i2 è i > 3.2Âåñüìà ëþáîïûòíî ñðàâíèòü ìíîæåñòâà ïàð ÷èñåë (n, f ), ðåàëèçóåìûõ íàáîðàìèïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, ñ òåìè æå ìíîæåñòâàìè, ðåàëèçóåìûìè íàáîðàìèïñåâäîïðÿìûõ. Àïðèîðè áûëî íåèçâåñòíî, ñîâïàäàþò ëè ýòè ìíîæåñòâà, ïîñêîëüêóñóùåñòâóþò ïðèìåðû íåñïðÿìëÿåìûõ íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ. Îäíàêî Í. Ìàðòèíîâçàìåòèë, ÷òî ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó åãî ðàññóæäåíèÿ [26] äëÿ íàáîðîâïðÿìûõ äîñëîâíî ïåðåíîñÿòñÿ íà íàáîðû ïñåâäîïðÿìûõ.Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå. Ïòèöûíà [7] â 1994 ã.

èçó÷àëà çàìêíóòûå ëîêàëüíîìèíèìàëüíûå ñåòè íà ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ (ãðàíè ðàâíûå îñòðîóãîëüíûåòðåóãîëüíèêè, àâòîðñêèé òåðìèí êâàçèïðàâèëüíûå).Â. Þ. Ïðîòàñîâ [5, 6] â 2007 2008 ãã. èññëåäîâàë ïðîñòûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà òåòðàýäðàõ (â îñíîâíîì, íåðàâíîãðàííûõ); äîêàçàë, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðîñòîé çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé íà ïðîèçâîëüíîì òåòðàýäðå ñóùåñòâóåò êîìáèíàòîðíîýêâèâàëåíòíàÿ åé (ò.å.

ïåðåñåêàþùàÿ ðåáðà â òîì æå ïîðÿäêå) çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå. Îòíåñÿ â îäèí êëàññ çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå,ïàðàëëåëüíûå äàííîé, Â. Þ. Ïðîòàñîâ äîêàçàë êîíå÷íîñòü ÷èñëà êëàññîâ çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà íåðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ è íàøåë âåðõíèå îöåíêè; ïîëó÷èë íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå è íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òîáû4íà íåðàâíîãðàííîì òåòðàýäðå ñóùåñòâîâàëà õîòÿ áû îäíà çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ; äîêàçàë, ÷òî åäèíñòâåííûå òðåõìåðíûå ìíîãîãðàííèêè, íà ïîâåðõíîñòèêîòîðûõ åñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êëàññîâ çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, ñóòüðàâíîãðàííûå òåòðàýäðû.Àâòîð íå ïðåòåíäóåò íà äîñòàòî÷íî ïîëíûé îáçîð ëèòåðàòóðû, óïîìÿíóòû òîëüêîíåêîòîðûå ðàáîòû, íàèáîëåå ñâÿçàííûå ñ òåìîé è ðåçóëüòàòàìè äèññåðòàöèè.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.Ïóñòü M d ñâÿçíîå çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå, A îáúåäèíåíèå n ñâÿçíûõ çàìêíóòûõ ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè îäèí. Ïóñòü f ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ M d \ A.

Òðåáóåòñÿ íàéòè èëè îïèñàòü ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë f äëÿ äàííûõ M d è n. Ïðè ýòîì åñòåñòâåííî èñêàòü ìíîæåñòâà ÷èñåë f ,íàêëàäûâàÿ íåêîòîðûå óñëîâèÿ íà òèï ïîäìíîãîîáðàçèé èëè íà èõ íàáîðû. Íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàòü íàáîðû çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõñ ìåòðèêîé ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû, íàáîðû ïëîñêîñòåé êîðàçìåðíîñòè îäèíâ àôôèííûõ èëè ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè.Äëÿ íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ íà âåùåñòâåííîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè RP2 íàéäåíî è äîêàçàíî íåðàâåíñòâî)∑(31t2 + t3 > 8 +2i − 7ti22i>41.ïðè óñëîâèè tn = tn−1 = tn−2 = 0, ãäå ti ýòî ÷èñëî òî÷åê, êàæäàÿ èç êîòîðûõïðèíàäëåæèò ðîâíî i ïñåâäîïðÿìûì.