Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 16
Описание файла
PDF-файл из архива "Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 16 страницы из PDF
Òîãäà ÷èñëî îáëàñòåé íàáîðîâ s(t) èçìåíÿåòñÿ â êàæäûé êðèòè÷åñêèé ìîìåíòâðåìåíè íå áîëåå, ÷åì íà îäèí. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå ÷èñëî îáëàñòåé f , òàêîå ÷òîn + 1 6 f 6 fmax , âñòðå÷àåòñÿ â íàáîðàõ äåôîðìàöèè s(t).Äëÿ äâóìåðíîé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ìîæíî ÿâíî ïîñòðîèòüíàáîð ïðÿìûõ, äåëÿùèé ïëîñêîñòü íà f îáëàñòåé, ãäåÇàìå÷àíèå 4.4.n+16f 61+n(n + 1).2Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì ÷èñëî f â âèäå ñóììûf =n+1+k(k − 1)+l2äëÿ öåëûõ ÷èñåë l, k , òàêèõ, ÷òî 1 6 k 6 n − 1 è 0 6 l 6 k .
Ðàñïîëîæèì k ïðÿìûõ p1 , . . . , pk òàê, ÷òî ëþáûå äâå èç íèõ ïåðåñåêàþòñÿ è íèêàêèå òðè èç íèõ íåïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ pk+1 òàê, ÷òî îíà ïåðåñåêàåò ðîâíî lèç ïðÿìûõ p1 , . . . , pk è íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè èõ ïîïàðíûõ ïåðåñå÷åíèé. Êàæäàÿèç îñòàëüíûõ ïðÿìûõ pk+2 , . . . , pn íå ïåðåñåêàåòñÿ íè ñ êàêîé ïðÿìîé ýòîãî íàáîðà.Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ïîëó÷èòñÿ n + 1 + k(k−1)+ l îáëàñòåé ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.25Çàêëþ÷åíèå.Ìíîæåñòâà ÷èñåë f ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ îïèñàíû â ðàáîòå â òîé èëè èíîéìåðå äëÿ ðÿäà êîíôèãóðàöèé ïîäìíîãîîáðàçèé.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ìíîæåñòâà Fóäàâàëîñü íàéòè ÿâíî èëè ïðàêòè÷åñêè ÿâíî, àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâ áûëñëåäóþùèé:• ââåñòè ïàðàìåòð m âûðîæäåíèÿ êîíôèãóðàöèè ïîäìíîãîîáðàçèé (íàïðèìåð,ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå);• ïåðåáðàòü âñå êîìáèíàòîðíûå òèïû êîíôèãóðàöèé ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ âûðîæäåíèÿ;74• ðåàëèçîâàòü ïî÷òè âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ÷èñëà f êîíôèãóðàöèÿìè ñî ñðåäíåé ñòåïåíüþ âûðîæäåíèÿ;• äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî f ñâÿçíûõ êîìïîíåíò íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ëàêóíå ìíîæåñòâà F (åñëè îíè åñòü).
Äëÿ ýòîãî íàéòè íèæíèå îöåíêè ÷èñëà f ÷åðåç m èn.Ñàìûì òðóäíûì è ÷àñòî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èñïîëüçóþùèì ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòûè òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèé ïóíêò, à èìåííî, íèæíèå îöåíêè. Ïîýòîìó ïîëó÷åíèåíîâûõ íèæíèõ îöåíîê ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå èíòåðåñíîé è ïåðñïåêòèâíîé çàäà÷åé,÷åì îïèñàíèå ìíîæåñòâ ÷èñåë ñâÿçíûõ êîìïîíåíò. Èìååò ñìûñë (à âåðîÿòíî, è ïðèëîæåíèÿ íàéäóòñÿ) ñòðîèòü íèæíèå îöåíêè äëÿ êîíôèãóðàöèé ñ ðàçëè÷íûìè ïàðàìåòðàìè âûðîæäåíèÿ, íàïðèìåð, ãîìîëîãè÷åñêîãî õàðàêòåðà.Ïðè èçó÷åíèè íàáîðîâ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïîâåðõíîñòÿõ ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé, âîçìîæíî, îêàæåòñÿ ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿÏóñòü S áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî ñâÿçíûõ çàìêíóòûõ êðèâûõ ïîñâÿçíîì êîìïàêòíîì äâóìåðíîì ìíîãîîáðàçèè M áåç êðàÿ.
Ïóñòü φ(L) êîëè÷åñòâî êðèâûõ èç S äëèíû íå áîëåå L. Ïóñòü fmin (M, n) ìèíèìàëüíîå âîçìîæíîå÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ â M ê îáúåäèíåíèþ n ðàçëè÷íûõ êðèâûõ èçS . Òîãäà ôóíêöèÿ fmin (M, n) ìîíîòîííî íå óáûâàåò è ïðè L > 0Ãèïîòåçà 5.1.fmin (M, φ(L)) > cM nLäëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû cM , çàâèñÿùåé îò M .Áëàãîäàðíîñòè. Ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ À.
Ò. Ôîìåíêî çà ïîñòàíîâêè çàäà÷ è âíèìàíèå ê ðàáîòå. Ãëóáîêî áëàãîäàðåí Í. Ï. Äîëáèëèíó, Å. À. Êóäðÿâöåâîé è Â. Þ. Ïðîòàñîâó çà íåîäíîêðàòíûå îáñóæäåíèÿ çàäà÷ èïîëåçíûå ññûëêè íà ëèòåðàòóðó. Îñîáåííî ïîáëàãîäàðèòü õîòåëîñü áû Â. È. Àðíîëüäà, ïðèâëåêøåãî âíèìàíèå ê çàäà÷å è ïîïóëÿðèçèðîâàâøåãî åå â îòêðûòîé ëåêöèè2007 ã.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] À. Ä. Àëåêñàíäðîâ, Îäíà òåîðåìà î âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêàõ, Òð. Ôèç.ìàòåì. èí-òà èì. Â. À. Ñòåêëîâà, 4, c. 87. Ë.: èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1933.[2] Â.È. Àðíîëüä, Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü n ïðÿìûõ? Ìàòåì. ïðîñâåùåíèå ñåð. 3 (2008) 12, 95104.[3] Â.
À. Âàñèëüåâ, Òîïîëîãèÿ íàáîðîâ ïëîñêîñòåé è èõ äîïîëíåíèé.Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê (2001) Ò. 56. 2(338). C. 167 203.[4] Â.Â. Ïðàñîëîâ, È.Ô. Øàðûãèí. Çàäà÷è ïî ñòåðåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 198975[5] Â. Þ. Ïðîòàñîâ, Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ïîâåðõíîñòè ñèìïëåêñà. Ìàòåì.ñá. 198:2 (2007), 103 120.[6] Â.Þ. Ïðîòàñîâ, Î ÷èñëå çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ìíîãîãðàííèêå. Óñï. Ìàòåì. Í. 63:5, (2008) 197 198.[7] È.
Â. Ïòèöûíà, Êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ ìèíèìàëüíûõ ñåòåé íà òåòðàýäðàõ.Ìàòåì. ñá. 185, N 5 (1994), 119 138.[8] Ã. Ë. Ðûáíèêîâ, Î ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå äîïîëíåíèÿ ê êîìïëåêñíîé êîíôèãóðàöèè ãèïåðïëîñêîñòåé, Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèë., 45:2 (2011), 71 85.[9] Ñ. À. Þçâèíñêèé, Àëãåáðû ÎðëèêàÑîëîìîíà â àëãåáðå è òîïîëîãèè.Óñï. Ìàòåì. Í., 56:2(338) (2001), 87 166.[10] J.G. Bastereld, L.M.
Kelly, A characterization of sets of n points which determinen hyperplanes. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968) 585588.[11] R.C. Buck, Partition of space // Amer. Math. Monthly105N 5, (1943) 541 544.[12] P. Brass, W. Mozer, J. Pach, Incidence and Arrangement Problems.
In ResearchProblems in Discrete Geometry, Springer 2005. Chapter 7, pp. 289324.[13] R. Cordovil, Sur l'évaluation t(M ; 2, 0) du polynôme de Tutte d'un matroide et uneconjecture de B. Grünbaum rélative aux arrangements du droites du plan. EuropeanJ. Combin. (1980) 1, 317-322.[14] J. Csima, E.T. Sawyer, There exist(1993) 9, 187-202.6n13ordinary points. Discrete Comput. Geom.[15] J. Csima, E.T. Sawyer, The 6ntheorem revisited.
In: Graph Theory, Combinatirics,13Algorithms and Applications Vol. 1. Wiley, New York, 1995, pp. 235-249.[16] P. Deshpande, Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement.Electronic Thesis and Dissertation Repository, Paper 154 (2011).[17] R. Ehrenborg, M. Readdy, M. Slone, Ane and toric hyperplane arrangements.Discr.
Comp. Geom. 41:4 (2009), 481 512.[18] P. Erdos, G. B. Purdy, Some combinatorial problems in the plane. J. CombinatorialTheory Ser. A (1978) 25, 205-210.Green,T.Tao,Onsets[19] B.http://arxiv.org/abs/1208.4714, 2012.deningfewordinarylines.[20] B. Grünbaum, Convex polytopes, Interscience, London, 1967.[21] B.
Grünbaum, Arrangements and Spreads. AMS, Providence, Rhode Island, 1972.[22] B. Grünbaum, A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane.Ars Mathematica Contemporanea 2, (2009), 1 25.76[23] F. Hirzebruch, Singularities of algebraic surfaces and characteristic numbers.Contemporary Math. (1986) 58, 141-155.[24] H. Huber, Zur analytischen Theorie hyperbolischerBewegungsgruppen, Math. Ann. 138 (1959), 1 26.Raumformenund[25] N.
Martinov, On conjecture 2.4 of Grunbaum. Mathematics and Educationin Mathematics (Proc. 19th Spring Conference of the Union of BulgarianMathematicians, Sunny Beach, April 1990). Bulgarian Academy of Science, Soa,1990, pp. 112117.[26] N. Martinov, Classication of arrangements by the number of their cells. Discreteand Comput.
Geometry (1993) 9, 1, 3946.[27] E. Melchior, Über Vielseite der Projektiven Ebene. Deutsche Mathematik (1940) 5,461-475.[28] M. Mirzakhani, Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolicsurfaces. Ann. of Math. 168:2 (2008), 97 125.[29] Y. Miyaoka, The maximal number of quotient singularities on surfaces with givennumerical invariants.
Math. Ann. (1984) 268, 159171.[30] N. Nilakantan, Extremal Problems Related to the Sylvester-Gallai Theorem.In Combinatorial and Computational Geometry, ed. by J.E. Goodman, J.Pach,E. Welzl, Cambridge University Press, 2005. pp. 479494.[31] P. Orlic, L. Solomon, Combinatorics and topology of complements of hyperplanes.Inventiones Math. 56:2 (1980), 167 189.[32] P. Orlic, H. Terao, Arrangements of Hyperplanes. Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1992.
329 pp.[33] G.B. Purdy, On the number of regions determined by n lines in the projective plane.Geom. dedic. (1980) 9, 107-109.[34] L. Schlai, Theorie der vielfachen Kontinuitat. Denkschr. Schweiz. naturf. Ges.(1901) 1 237.38,[35] R.W. Shannon, A lower bound on the number of cells in arrangements of hyperplanes.Jour. of combinatorial theory (A), 20, (1976) 327335.ber die Theilung der Ebene und des Raumes. J. Reine[36] J. Steiner, Einige Gesetze uAngew. Math. 1 (1826), 349 364.[37] T.
Zaslavsky, Facing up to arrangements: Face count formulas for partitions of spaceby hyperplanes. Mem. Amer. Math. Soc. 154:1 (1975).Ïóáëèêàöèè àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè.77[38] È.Í. Øíóðíèêîâ, Íà ñêîëüêî îáëàñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü n ïðÿìûõ, ñðåäè êîòîðûõ íå áîëåå n − k êîëëèíåàðíûõ? Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà, ñåð. 1 (2010) 5,32-36.[39] È. Í. Øíóðíèêîâ, Î ÷èñëå îáëàñòåé, îáðàçîâàííûõ íàáîðàìè çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïëîñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ìàòåì.
Çàì. 90:4 (2011), 636 640.[40] È. Í. Øíóðíèêîâ, Êîíôèãóðàöèè ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè 1.Ìàòåì.ñá. (2012) 203:9, 133 160.[41] Øíóðíèêîâ È.Í. Î ÷èñëå êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèé ê îáúåäèíåíèÿìçàìêíóòûõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ, 347  2012, ñ. 1 28.[42] Øíóðíèêîâ È.Í., ×èñëî îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïëîñêîñòè ïðÿìûìè íå îáùåãîïîëîæåíèÿ.
Ñáîðíèê òåçèñîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Ãåîìåòðèÿ â ¾öåëîì¿, òîïîëîãèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ, Õàðüêîâ, 2009 ã., ñ. 47.[43] Øíóðíèêîâ È.Í., Êëàññèôèêàöèÿ êîíôèãóðàöèé ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ïî ÷èñëó îáëàñòåé. Òåçèñû äîêëàäîâ Âîðîíåæñêîé çèìíåé ìàòåìàòè÷åñêîéøêîëû Ñ.Ã. Êðåéíà 2010, Âîðîíåæ, 2010 ã., ñ. 160 161.[44] Øíóðíèêîâ È.Í., Î ÷èñëå îáëàñòåé ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà, ðàçäåëåííîãî nïëîñêîñòÿìè.
Òåçèñû äîêëàäîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Þáèëåéíûé ñèìïîçèóì À.Ç. Ïåòðîâà ïî îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ãðàâèòàöèè, Êàçàíü,2010 ã., c. 125 126.[45] Øíóðíèêîâ È.Í., Î ÷èñëå îáëàñòåé, îáðàçîâàííûõ íàáîðîì çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïëîñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ. Òåçèñû äîêëàäîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ñìåæíûå âîïðîñû, ïîñâÿùåííîé 110-îéãîäîâùèíå È.Ã. Ïåòðîâñêîãî, Ìîñêâà, 2011 ã., ñ. 396-397.[46] Øíóðíèêîâ È.Í., Î ÷èñëå îáëàñòåé äîïîëíåíèé â êîíôèãóðàöèÿõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Òåçèñû äîêëàäîâ ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè Äèñêðåòíàÿ ãåîìåòðèÿ,ïîñâÿùåííîé 100ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ À.Ä.
Àëåêñàíäðîâà, ßðîñëàâëü, 2012ã., ñ. 85 86.78.
