Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 11

. . A4g ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì òî÷êè A2i è A1i+1 îïðåäåëÿþòîäíó òî÷êó íà ñôåðå ñ ðó÷êàìè Mg2 ïðè i = 1, . . . , k , ñì. ðèñ. 6. êà÷åñòâå γ2 âîçüìåì àíàëîãè÷íóþ çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ, ñîñòîÿùóþ èç kTîòðåçêîâ Bi1 Bi2 , i = 1, . . . , k . Âîçüìåì k > ρmin, ãäå ρmin ýòî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè îòðåçêîâ A1 A4g è A2g A2g+1 . Òîãäà äëèíû ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2áóäóò áîëüøå T .Çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ2 ìîæíî ïîëó÷èòü èç γ1 ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Âîçüìåì k îòðåçêîâ A1i A2i , i = 1, . . . , k è íà÷íåì èõ "ïîâîðà÷èâàòü"íà ìàëûå óãëû è"ñìåùàòü" íà ìàëûå ðàññòîÿíèÿ, òàê ÷òîáû òî÷êè A2i è A1i+1 îïðåäåëÿëè áû îäíóòî÷êó íà ñôåðå ñ ðó÷êàìè ïðè i = 1, . . . , k − 1. Òî÷êè A2j áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ ïî îòðåçêàì A2j A2j+1 , ïðè÷åì ïåðâîé òî÷êîé èç A2j , j = 1, . . . , k , êîòîðàÿ äîñòèãíåò òî÷êè48Ðèñ. 6: g = 2, k = 2A2j+1 , áóäåò òî÷êà A2k . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè φ îòðåçêè A1j A2j , j =1, .

. . , k îáðàçóþò çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ2 , ïðè÷åì Bi2 = φ(A2i ) ∈ (A2i A2i+1 ) ïðèi = 1, . . . , k − 1 è Bk2 = φ(A2k ). Òàê êàê òî÷êè Bi2 íàõîäÿòñÿ ñòðîãî ìåæäó òî÷êàìè A2iè A2i+1 ïðè i = 1, . . . , k − 1, òî èíòåðâàëû A1i A2i è Bj1 Bj2 íå ïåðåñåêàþòñÿ, è ïîýòîìóãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 îáðàçóþò îäíó îáëàñòü íà ñôåðå ñ g ðó÷êàìè Mg2 .(á) Âîçüìåì ïîñòðîåííóþ â äîêàçàòåëüñòâå ïóíêòà (à) ãåîäåçè÷åñêóþ γ1 , ñîñòîÿùóþ èç k + 1 îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè íà ñòîðîíàõ A1 A4g è A2g A2g+1 ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . A4g .

 êà÷åñòâå ãåîäåçè÷åñêîé γ2 âîçüìåì àíàëîãè÷íóþ çàìêíóòóþãåîäåçè÷åñêóþ, ñîñòîÿùóþ èç l+1 îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè íà ñòîðîíàõ Ag Ag+1è A3g A3g+1 ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . A4g , ñì. ðèñ. 7.Ðèñ. 7: g = 2, k = 2, l = 149Òîãäà çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 îáðàçóþò áîëåå ÷åì kl îáëàñòåé íà ñôåðåñ g ðó÷êàìè Mg2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç ρmax ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìèîòðåçêîâ A1 A4g è A2g A2g+1 ñîîòâåòñòâåííî.

Òîãäà äëÿ äëèí T1 è T2 ãåîäåçè÷åñêèõ γ1è γ2 èìååìT1 6 ρmax (k + 1),T2 6 ρmax (l + 1).Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè k > 2, l > 2 ãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 îáðàçóþò áîëåå ÷åì44T1 T2kl > (k + 1)(l + 1) > 299ρmaxîáëàñòåé íà ñôåðå ñ ðó÷êàìè Mg2 . Èòàê, êîíñòàíòà c0 = 9ρ24 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþmaxïóíêòà (á) òåîðåìû.(â) Ïðèâåäåì ïðèìåðû òàêèõ ãåîäåçè÷åñêèõ îòäåëüíî äëÿ ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî÷èñåë f . Ïóñòü f íå÷åòíî, f = 2k + 1. Ïîñòðîèì ãåîäåçè÷åñêóþ γ , ñèììåòðè÷íóþîòíîñèòåëüíî öåíòðà O ìíîãîóãîëüíèêà A1 . .

. A4g , ñì. ðèñ. 8.Ðèñ. 8: g = 2, k = 1, f = 3Âûïóñòèì ëó÷ l1 èç âåðøèíû A2g+2 ìíîãîóãîëüíèêà A1 . . . A4g äîñòàòî÷íî áëèçêîê öåíòðó O. Òîãäà ëó÷ l1 ïåðåñå÷åò ñòîðîíó A1 A2 â òî÷êå B1 îêîëî âåðøèíû A2 èïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ ñòîðîí (êàæäóþ ïî îäíîìó ðàçó) l1 âûéäåò èçñòîðîíû A2g+2 A2g+3 â òî÷êå C1 îêîëî âåðøèíû A2g+2 . Ïðè ýòîì óãîë ìåæäó ëó÷îìl1 è ñòîðîíîé A2g+2 A2g+3 â òî÷êå C1 ìåíüøå ÷åì òàêîé æå óãîë â òî÷êå A2g+2 . Ïóñòüòåïåðü ëó÷ l1 , âûøåäøèé èç òî÷êè C1 , îïÿòü ïðîéäåò áëèçêî ê öåíòðó O ìíîãîóãîëüíèêà è ïåðåñå÷åò ñòîðîíó A1 A2 â òî÷êå B2 , ëåæàùåé íà îòðåçêå A1 B1 .

Ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà, ëó÷ l1 âûéäåò èç ñòîðîíû A2g+2 A2g+3â òî÷êå C2 . Ïðè ýòîì òî÷êà C2 ëåæèò íà îòðåçêå C1 A2g+3 áëèçêî ê òî÷êå C1 . Óãîëìåæäó ëó÷îì l1 è ñòîðîíîé A2g+2 A2g+3 â òî÷êå C2 ìåíüøå ÷åì òàêîé æå óãîë â òî÷êå1 . Ïóñòü ëó÷ l1 àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïåðåñåêàåò ñòîðîíó A1 A2 â òî÷êàõ B3 , . . .

, Bkè âûõîäèò èç ñòîðîíû A2g+2 A2g+3 â òî÷êàõ C3 , . . . , Ck . Òåïåðü âûáåðåì íà÷àëüíîåíàïðàâëåíèå ëó÷à l1 òàê, ÷òî ïîñëå âûõîäà èç òî÷êè Ck ëó÷ ïîïàäàåò â âåðøèíó A1 .50Òàêîå íàïðàâëåíèå ëó÷à ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó ïðè íåïðåðûâíîì óìåíüøåíèè óãëàπìåæäó ëó÷îì l1 è ñòîðîíîé A2g+2 A2g+3 â íà÷àëüíîé òî÷êå A2g+2 îò çíà÷åíèÿ 4gòî÷êàBk+1 áóäåò íåïðåðûâíî äâèãàòüñÿ ïî ñòîðîíå A1 A2 è ïðè íåêîòîðîì óãëå ïîïàäåò ââåðøèíó A1 .Ïóñòü ëó÷ l2 áóäåò ñèììåòðè÷åí ëó÷ó l1 îòíîñèòåëüíî öåíòðà O ìíîãîóãîëüíèêàA1 .

. . A4g . Òî åñòü ëó÷ l2 èäåò èç òî÷êè A2 , ïåðåñåêàåò ñòîðîíó A2g+1 A2g+2 â òî÷êàõD1 , . . . , Dk , âûõîäèò èç ñòîðîíû A2 A3 â òî÷êàõ E1 , . . . , Ek è ïîñëå âûõîäà èç òî÷êèEk ïîïàäàåò â âåðøèíó A2g+1 .  ñèëó ñèììåòðèè óãîë ìåæäó ëó÷îì l1 è ñòîðîíîéA2g+1 A2g+2 â òî÷êå A2g+2 ðàâåí óãëó ìåæäó ëó÷îì l2 è ñòîðîíîé A1 A2 â òî÷êå A2 .Êðîìå òîãî, óãîë ìåæäó ëó÷îì l1 è ñòîðîíîé A1 A2 â âåðøèíå A1 ðàâåí óãëó ìåæäóëó÷îì l2 è ñòîðîíîé A2g+1 A2g+2 â òî÷êå A2g+1 . Ïîýòîìó óêàçàííûå îòðåçêè ëó÷åé l1è l2 çàäàþò çàìêíóòóþ ãëàäêóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ , êîòîðàÿ îáðàçóåò 2k + 1 îáëàñòåéíà ñôåðå ñ ðó÷êàìè Mg2 ïðè k > 1.Îäíó îáëàñòü îáðàçóåò çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîâïàäàþùàÿ ñî ñòîðîíîé A1 A2ìíîãîóãîëüíèêà.Òåïåðü ïîñòðîèì àíàëîãè÷íûé ïðèìåð çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé γ , îáðàçóþùåéf = 2k îáëàñòè íà ñôåðå ñ ðó÷êàìè Mg2 ïðè k > 1.

Ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êè O, A1 è A2g+1 è ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O. Íàçîâåì ëó÷àìè l1 è l2îòðåçêè∪ γ ìåæäó òî÷êàìè O è A1 è ìåæäó òî÷êàìè O è A2g+1 ñîîòâåòñòâåííî, òîãäàγ = l1 l2 . Ïóñòü ëó÷è l1 è l2 èäóò èç öåíòðà O ìíîãîóãîëüíèêà â ïðîòèâîïîëîæíûõíàïðàâëåíèÿõ áëèçêî ê âåðøèíàì A2 è A2g+2 ñîîòâåòñòâåííî. Ëó÷ l1 ïåðåñåêàåò ñòîðîíó A1 A2 â òî÷êàõ B1 , . . . , Bk , âûõîäèò èç ñòîðîíû A2g+2 A2g+3 â òî÷êàõ C1 , . . . , Ckè ïîñëå òî÷êè Ck ïîïàäàåò â âåðøèíó A1 , ñì. ðèñ.

9.Ðèñ. 9: g = 2, k = 1, f = 2Ïóñòü ëó÷ l2 àíàëîãè÷íî ïåðåñåêàåò ñòîðîíó A2g+1 A2g+2 â òî÷êàõ D1 , . . . , Dk , âûõîäèò èç ñòîðîíû A2 A3 â òî÷êàõ E1 , . . . , Ek è ïîñëå òî÷êè Ek ïîïàäàåò â âåðøèíóA2g+1 .  ñèëó ñèììåòðèè óãîë ìåæäó ëó÷îì l1 è ñòîðîíîé A1 A2 â âåðøèíå A1 ðàâåíóãëó ìåæäó ëó÷îì l2 è ñòîðîíîé A2g+1 A2g+2 â òî÷êå A2g+1 . Ïîýòîìó óêàçàííûå îòðåçêè ëó÷åé l1 è l2 çàäàþò çàìêíóòóþ ãëàäêóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ , êîòîðàÿ îáðàçóåò512k îáëàñòåé íà ñôåðå ñ ðó÷êàìè Mg2 ïðè k > 1.Çàìå÷àíèå 3.4. Ïîñòðîåííûå ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïóíêòà (á) òåîðåìû ïðîñòûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.Äëÿ äàííûõ g > 2 è Mg2 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà T0 > 0, òàêàÿ÷òî ëþáûå äâå çàìêíóòûå ïðîñòûå ãåîäåçè÷åñêèå, äëèíû êîòîðûõ íå ìåíüøå T0 ,èìåþò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó.Ãèïîòåçà 3.4.524Íàáîðû ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè îäèíÏóñòü M ñâÿçíîå ãëàäêîå âåùåñòâåííîå dìåðíîå ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ.

Êîíôèãóðàöèåé ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè îäèí áóäåì íàçûâàòüêîíå÷íûé íàáîð A1 , . . . , An çàìêíóòûõ ïîäìíîãîîáðàçèé êîðàçìåðíîñòè îäèí â M ,ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîòîðîãî ïåðåñåêàþòñÿ ïîïàðíî òðàíñâåðñàëüíî.Îïðåäåëåíèå 4.1.4.1 Ãîìîëîãè÷åñêàÿ îöåíêà ÷èñëà êîìïîíåíò ñâÿçíîñòèÏóñòü M n ñâÿçíîå nìåðíîå ãëàäêîå êîìïàêòíîå ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ, Ai ⊂ M n ðàçëè÷íûå ñâÿçíûå (n − 1)ìåðíûå çàìêíóòûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ â M n , 1 6 i 6 k .Âîçüìåì îáúåäèíåíèåk∪A=Ai .i=1Îáîçíà÷èì ÷èñëî |π0 (M \ A)| ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ â M n ê A ÷åðåç f .Âîçüìåì ðåãóëÿðíóþ îòêðûòóþ îêðåñòíîñòü U A ìíîæåñòâà A â M n .

ÏóñòünM \ UA ∼=nf⊔Nj ,j=1ãäå Nj êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ â ìíîãîîáðàçèè M n ê îêðåñòíîñòè U A.Åñëè M n è âñå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Ai îðèåíòèðóåìû, òî â êà÷åñòâå ãðóïïû êîýôôèöèåíòîâ áóäåì áðàòü ãðóïïó G = Z. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç Ai èëè M n íåîðèåíòèðóåìî,òî G = Z2 .Åñëè çàìêíóòûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Ai ⊂ M n , i = 1, . . . , k ðàçìåðíîñòèn − 1 ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî, òîËåììà 4.1.dim(Hn−1 (U A, G)) = dim(Hn−1 (A, G)) > kÄîêàçàòåëüñòâî. Ðåãóëÿðíàÿ îêðåñòíîñòü U A ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà A, ïîýòîìó âñå ãðóïïû ãîìîëîãèé ó ìíîæåñòâ A è U A ñîâïàäàþò.

Äîêàæåì èíäóêöèåé ïîk, ÷òî()dim Hn−1 ∪ki=1 Ai , G > k.Äëÿ k = 1 ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. äëÿ ñâÿçíîãî çàìêíóòîãî (n − 1)ìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿHn−1 (A1 , G) ∼= G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ k − 1 ïîäìíîãîîáðàçèéè äîêàæåì åãî äëÿ k ïîäìíîãîîáðàçèé. Ïóñòü′A =k−1∪Ai .i=1Òîãäà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèèdim Hn−1 (A′ , G) > k − 1.53Çàïèøåì äëÿ ïàðû A′ , Ak òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ìàéåðà Âüåòîðèñà:−→ Hn−1 (A′ ∩ Ak ) −→ Hn−1 (A′ ) ⊕ Hn−1 (Ak ) −→ Hn−1 (A′ ∪ Ak ) −→Òàê êàê ëþáûå äâà ïîäìíîãîîáðàçèÿ Ai è Aj ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî, òî A′ ∩Akñóòü êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå íå áîëåå ÷åì (n − 2) ìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé â M n .Îòêóäà Hn−1 (A′ ∩ Ak ) = 0 è îòîáðàæåíèåHn−1 (A′ ) ⊕ Hn−1 (Ak ) −→ Hn−1 (A′ ∪ Ak )ìîíîìîðôíî.

Ñëåäîâàòåëüíî,dim Hn−1 (A′ ∪ Ak ) > dim Hn−1 (A′ ) + dim Hn−1 (Ak ) > k.Ëåììà 4.2.Hn (M n , U A, G) ∼= Gf .Äîêàçàòåëüñòâî.e n (M n /U A, G) =Hn (M n , U A, G) = H()()e n ⊔f Nj / ⊔f ∂Nj , G = He n ∨f Nj /∂Nj , G ==Hj=1j=1j=1=f⊕e n (Nj /∂Nj , G) = Gf ,Hj=1e n ãðóïïà ïðèâåäåííûõ ãîìîëîãèé, ∂Nj ãäå n > 1, ∨ áóêåò ïðîñòðàíñòâ, Hãðàíèöà Nj .Ïóñòü A1 , . . .

, Ak ñâÿçíûå çàìêíóòûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîðàçìåðíîñòè îäèí â ñâÿçíîì çàìêíóòîì ìíîãîîáðàçèè M n . Åñëè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Ai ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî è A = ∪i Ai , òîÒåîðåìà 4.1.|π0 (M n \ A)| > k + 1 − dim Hn−1 (M n , G).Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âêëþ÷åíèÿ i : U A → M n çàïèøåì òî÷íóþ ãîìîëîãè÷åñêóþïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðû ñ êîýôôèöèåíòàìè â G:Hn (U A) −→ Hn (M n ) −→ Hn (M n , U A) −→ Hn−1 (U A) −→ Hn−1 (M n ) −→Çàìåòèì, ÷òîHn (U A) = Hn (A) = 0,Hn (Mn ) = G.Èç òî÷íîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ÷ëåíå Hn (M n ) ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèåHn (M n ) −→ Hn (M n , U A)åñòü ìîíîìîðôèçì.

Ïî ëåììå 4.2Hn (M n , U A, G) ∼= Gf54Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîdim Hn−1 (U A) 6 dim Im∂∗ + dim Imi∗ ,ãäå ãîìîìîðôèçìû∂∗ : Hn (M n , U A) −→ Hn−1 (U A),i∗ : Hn−1 (U A) −→ Hn−1 (M n ).Çàìåòèì, ÷òîdim Imi∗ 6 dim Hn−1 (M n ),dim Im∂∗ 6 f − 1.Ïî ëåììå 4.1 dim Hn−1 (U A) > k , îòêóäà k 6 f − 1 + dim Hn−1 (M n ).Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé ñôåð ñ g > 0ðó÷êàìè, áóòûëêè Êëåéíà è ìíîãîìåðíûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, ñôåð è òîðîâ(ïðèìåðû äëÿ òîðîâ ñì.