Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 12

íèæå) ñóùåñòâóþò íàáîðû èçÇàìå÷àíèå 4.1.n > dim Hn−1 (M n )ïîäìíîãîîáðàçèé, òàêèå ÷òî íåðàâåíñòâî â òåîðåìå 4.1 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.4.2 Ïðèìåíåíèå ôóíêöèè Ìåáèóñà äëÿ êîíôèãóðàöèé ãèïåðïëîñêîñòåéÏóñòü A êîíå÷íûé íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâà V , ãäå V ýòî åâêëèäîâîïðîñòðàíñòâî Rd èëè ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî RPd . Ìíîæåñòâî ïåðåñå÷åíèé L(A)ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ íåïóñòûõ ïåðåñå÷åíèé ãèïåðïëîñêîñòåé èç A, âêëþ÷àÿ ñàìî ïðîñòðàíñòâî V . Íà ìíîæåñòâå ïåðåñå÷åíèé ââåäåì ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, îáðàòíûéâêëþ÷åíèþ, ò.å. u ≼ v ⇔ u ⊇ v . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ Ìåáèóñà µ : L(A) × L(A) → Z,åñëè u v ; 0,1,åñëè u = v ;µ(u, v) = ∑− u≼w≺v µ(u, w), åñëè u ≺ v .Çàìåòèì, ÷òî ýòèì îïðåäåëåíèåì ôóíêöèÿ Ìåáèóñà çàäàåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ïóñòü P îäíà èç ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà A.

×åðåç A′ îáîçíà÷èì íàáîð îñòàëüíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé èç A. ×åðåç A′′ îáîçíà÷èì íàáîð ïåðåñå÷åíèé ïëîñêîñòè P ñ ïëîñêîñòÿìèèç A′ , ò.å. A′′ åñòü íàáîð (d − 2) ìåðíûõ ïëîñêîñòåé â (d − 1) ìåðíîé ïëîñêîñòè P .Òðîéêîé íàáîðîâ íàçîâåì òðîéêó (A, A′ , A′′ ), ãäå A′ è A′′ îáîçíà÷åíû âûøå. Äëÿ ìíîæåñòâ ïåðåñå÷åíèé íàáîðîâ A, A′ è A′′ ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè Ìåáèóñàµ, µ′ è µ′′ . Ýëåìåíòû L(A) áóäåì íàçûâàòü ðåáðàìè.  äàëüíåéøåì äëÿ íàáîðîâ âïðîñòðàíñòâå V è ðåáåð v âìåñòî µ(V, v) áóäåì ïèñàòü µ(v).Ëåììà 4.3.è L(A′′ ), òîÏóñòü (A, A′ , A′′ ) òðîéêà íàáîðîâ. Åñëè ðåáðî v ïðèíàäëåæèò L(A′ )µ(v) = µ′ (v) − µ′′ (v).Åñëè ðåáðî v ïðèíàäëåæèò L(A′′ ) è íå ïðèíàäëåæèò L(A′ ), òîµ(v) = −µ′′ (v).55Åñëè ðåáðî v ïðèíàäëåæèò L(A′ ) è íå ïðèíàäëåæèò L(A′′ ), òîµ(v) = µ′ (v).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Ìåáèóñà èíäóêöèåé ïî êîðàçìåðíîñòè ðåáðà v , íà÷èíàÿ ñ íóëÿ.Ñëåäñòâèå 4.1.Äëÿ ëþáûõ ðåáåð u, v íàáîðà ãèïåðïëîñêîñòåé, òàêèõ ÷òî u ≼ v :sign(µ(u, v)) = (−1)dim(u)+dim(v)Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà u, èíäóêöèÿ ïî êîðàçìåðíîñòè v êàê ïîäïðîñòðàíñòâà â u.×åðåç f (A) îáîçíà÷èì ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ ê îáúåäèíåíèþ ãèïåðïëîñêîñòåé èç A. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì íàáîðà A íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí∑χA (t) =µ(v)tdim(v)v∈L(A)Çàìåòèì, ÷òî äëÿ òðîéêè íàáîðîâf (A) = f (A′ ) + f (A′′ )èχA (t) = χA′ (t) − χA′′ (t)Îòñþäà ñëåäóåòÇàñëàâñêèé, [37].

(à) Äëÿ íàáîðà A ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîìïðîñòðàíñòâå RPdÒåîðåìà 4.2.f (A) = (−1)dχA (1) + χA (−1)=2∑|µ(v)|..dim(v).2,v∈L(A)(á) Äëÿ íàáîðà A ãèïåðïëîñêîñòåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rd∑f (A) = (−1)d χA (−1) =|µ(v)|v∈L(A)(â) Åñëè äëÿ íàáîðà A ãèïåðïëîñêîñòåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rd íå ñóùåñòâóåò ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé âñåì ãèïåðïëîñêîñòÿì, òî ÷èñëî îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé Rd \ A ðàâíîfe(A) = (−1)d χA (1)Îáúåäèíåíèå ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà A áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç A. Ïóñòü A è B äâà íàáîðà ðàçëè÷íûõ ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîì èëè àôôèííîì âåùåñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâàõ.

Åñëè ðåáðî v ∈ L(B) íå ïðèíàäëåæèò A, òî ÷åðåç Av îáîçíà÷èìíàáîð ïåðåñå÷åíèé ðåáðà v ñ ãèïåðïëîñêîñòÿìè èç A, ïðè÷åì ýòîò íàáîð åñòü íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé â v , ðàññìàòðèâàåìîì êàê ñàìîñòîÿòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîñòðîèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χAv (t).

Ôóíêöèþ Ìåáèóñàìíîæåñòâà L(B) îáîçíà÷èì ÷åðåç µB .56Ëåììà 4.4.χA∪B (t) =∑µB (v)χAv (t).v∈L(B),v ∈A/Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçûâàåòñÿ ïî èíäóêöèè ïî ÷èñëó ïëîñêîñòåé â B , èñïîëüçóåòñÿëåììà 4.3.Íèæíèå îöåíêè ÷èñëà îáëàñòåéÅñëè ïåðåñå÷åíèå âñåõ ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà A íåïóñòî, òî íàáîð íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíûì.  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåòðèâèàëüíûå íàáîðû ãèïåðïëîñêîñòåé. Äëÿ íàáîðîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rd ïîòðåáóåì òàêæå,÷òîáû ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ d ãèïåðïëîñêîñòåé áûëî íå ïóñòûì ìíîæåñòâîì.

Ãèïåðïëîñêîñòè íàáîðà A ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî V íà ìíîãîãðàííèêè (íå îáÿçàòåëüíîîãðàíè÷åííûå äëÿ åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà V ). ×åðåç fk (A) îáîçíà÷èì ÷èñëî âñåõk ìåðíûõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêîâ äëÿ ðàçáèåíèÿ íàáîðîì A (ãðàíü, ïðèíàäëåæàùàÿíåñêîëüêèì ìíîãîãðàííèêàì, ñ÷èòàåòñÿ îäèí ðàç).Ñëåäñòâèå 4.2.Äëÿ íàáîðîâ ãèïåðïëîñêîñòåé A è B â dìåðíîì ïðîñòðàíñòâå∑fd (A ∪ B) =|µB (v)|fdim(v) (Av ) .v∈L(B),v ∈A/Îáîçíà÷èì ÷åðåç m = m(A) ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà A,èìåþùèõ íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.Äëÿ íåòðèâèàëüíîãî íàáîðà n ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå RPdf > (n − m + 1)(m − d + 2)2d−2 .Ëåììà 4.5.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì m ãèïåðïëîñêîñòåé A1 , . . . , Am ñ íåïóñòûì ïåðåñå÷åíèåì Q. Ðàçìåðíîñòü Q ðàâíà íóëþ, à ãèïåðïëîñêîñòè A1 , .

. . , Am ïîëó÷àþòñÿ âçÿòèåì êîíóñà ñ öåíòðîì â Q íàä íåêîòîðûì íàáîðîì B èç m ãèïåðïëîñêîñòåé â (d − 1) ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå. Òàê êàê B íåòðèâèàëüíûé íàáîð, òî ïî èçâåñòíîé îöåíêå÷èñëà îáëàñòåé (ñì. [35])fd−1 (B) > (m − d + 2)2d−2Íà êàæäîé èç îñòàëüíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà ïëîñêîñòè A1 , . . . , Am âûñåêàþòêîíôèãóðàöèþ, ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíóþ B . Ïîýòîìó ïðè êàæäîì äîáàâëåíèè êãèïåðïëîñêîñòÿì A1 , . .

. , Am îñòàëüíûõ n − m ãèïåðïëîñêîñòåé îäíà çà îäíîé ÷èñëîîáëàñòåé áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ íå ìåíåå ÷åì íà (m − d + 2)2d−2 .Ïóñòü A íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé â åâêëèäîâîì èëè âåùåñòâåííîìïðîåêòèâíîì dìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ïóñòü ðåáðî v ïðèíàäëåæèò i ãèïåðïëîñêîñòÿì. Òîãäà|µ(v)| > i − d + dim(v) + 1.Ëåììà 4.6.57Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî êîðàçìåðíîñòè s = d − dim(v). Áàçà: äëÿ êîðàçìåðíîñòåé 0, 1 è 2 íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ïðåäïîëîæåíèå: íåðàâåíñòâîâûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ ðåáåð âñåõ íàáîðîâ ñ êîðàçìåðíîñòüþ íå áîëåå s − 1. Ïåðåõîä:âûáåðåì èç íàáîðà s = d − dim(v) ãèïåðïëîñêîñòåé A1 , . . .

, As , ïåðåñå÷åíèå êîòîðûõÿâëÿåòñÿ ðåáðîì v . Îñòàëüíûå ãèïåðïëîñêîñòè íàáîðà îáîçíà÷èì ÷åðåç As+1 , . . . , An .Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáîðîâ ãèïåðïëîñêîñòåé A0 , . . . , An−s , ãäåA0 = {A1 , . . . , As },èAi = Ai−1 ∪ As+i .Òàê êàê A0 íàáîð ñ íîðìàëüíûìè ïåðåñå÷åíèÿìè, òî µA0 (v) = (−1)s .

Åñëè v * As+i ,òî ïî ëåììå 4.3µAi (v) = µAi−1 (v).Åñëè v ⊆ As+i , òî ïî ëåììå 4.3µAi (v) = µAi−1 (v) − µAs+i ∩Ai−1 (v).Çàìåòèì, ÷òîsign(µAi−1 (v)) = (−1)d+dim(v) ,sign(µAs+i ∩Ai−1 (v)) = (−1)d−1+dim(v) .Ïîýòîìó â ñëó÷àå v ⊆ As+i èìååì|µAi (v)| > |µAi−1 (v)| + 1.Ïóñòü A íàáîð èç n ãèïåðïëîñêîñòåé â Rd è çàäàíî ÷èñëî 1 6 i 6 d,ïðè÷åì ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ i ãèïåðïëîñêîñòåé èç A íåïóñòî è íå ñóùåñòâóåò ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé âñåì ãèïåðïëîñêîñòÿì èç A. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè Ìåáèóñà ìíîæåñòâà ïåðåñå÷åíèé íàáîðà A èìååìÒåîðåìà 4.3.∑|µ(v)| > (m − d + 1)dim(v)=d−iCniiCm−d+i.Òî æå íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ íàáîðîâ A â âåùåñòâåííûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâàõ RPd , ïðè÷åì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íå ñóùåñòâîâàëî j ìåðíîé ïëîñêîñòè, ïðèíàäëåæàùåé âñåì ãèïåðïëîñêîñòÿì ïðè j > d − i + 1.(d−i)÷èñëî (d − i)ìåðíûõ ïëîñêîñòåé èç ìíîÄîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç ajæåñòâà ïåðåñå÷åíèé L(A), ïðèíàäëåæàùèõ j ãèïåðïëîñêîñòÿì, ãäå i 6 j 6 m−(d−i)((d − i) ìåðíàÿ ïëîñêîñòü íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü áîëåå ÷åì m − (d − i) ãèïåðïëîñêîñòÿì, ò.ê. íàéäóòñÿ åùå íå ìåíåå ÷åì d − i ãèïåðïëîñêîñòåé, ñ êîòîðûìè ó íååíåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå).Êàæäîìó ïîäíàáîðó èç i ãèïåðïëîñêîñòåé Ak1 , . . . , Aki èç A ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå âñå (d − i)ìåðíûå ïëîñêîñòè èç L(A), ëåæàùèå â íåïóñòîì ïåðåñå÷åíèè58Ak1 ∩ · · · ∩ Aki .

Ïðè ýòîì ïëîñêîñòü, ïðèíàäëåæàùàÿ j ãèïåðïëîñêîñòÿì, áóäåò ó÷òåíà Cji ðàç. Ïîýòîìó∑m−(d−i)Cni6∑m−(d−i)(d−i)aj Cjij=i6(d−i)aj(j − i + 1)j=iiCm−d+i.m−d+1Ïî ëåììå 4.6 èìååì |µ(v)| > (j − i + 1), ïîýòîìó∑m−(d−i)(d−i)aj(j − i + 1) 6j=i∑|µ(v)|,dim(v)=d−iîòêóäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.Íåðàâåíñòâî (4.3) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî äëÿ i = 1 è äëÿ íàáîðîâîáùåãî ïîëîæåíèÿ äëÿ ëþáîãî i.Çàìå÷àíèå 4.2.Ïóñòü A íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé â Rd , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì òåîðåìû 4.3. Ïóñòü Ac íàáîð êîìïëåêñèôèöèðîâàííûõ ïëîñêîñòåé â Cd .ÒîãäàCidim H i (Cd \ Ac ) > (m − d + 1) i n .Cm−d+iÑëåäñòâèå 4.3.Ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.3 è ôàêòà èç [31]:∑dim H i (Cd \ Ac ) =|µ(v)|dim(v)=d−iÏóñòü A íåòðèâèàëüíûé íàáîð ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîìïðîñòðàíñòâå RPd .

Ïóñòü m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ãèïåðïëîñêîñòåé, èìåþùèõîáùóþ òî÷êó. Òîãäà[ d2 ]∑Cnd−2jf > (m − d + 1).d−2jCm−2jj=0Òåîðåìà 4.4.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåì 4.2 è 4.3.4.3 Ìíîæåñòâà ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâÐàññìîòðèì êîíå÷íûé íàáîð A ãèïåðïëîñêîñòåé (ïðîåêòèâíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ êîðàçìåðíîñòè îäèí) â âåùåñòâåííîì ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå RPd . Íàïîìíèì, ÷òîòðèâèàëüíûì íàçûâàåòñÿ íàáîð, âñå ïëîñêîñòè êîòîðîãî ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó.Íàçîâåì ìèíèìàëüíûì9 íåòðèâèàëüíûé íàáîð n ãèïåðïëîñêîñòåé â RPd , â êîòîðîìn − d + 1 ãèïåðïëîñêîñòåé èìåþò îáùóþ d − 2ìåðíóþ ïëîñêîñòü, à îñòàëüíûå d − 1ãèïåðïëîñêîñòåé íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè.

Øåííîí [35] ïîëó÷èë íèæíèå òî÷íûå îöåíêè äëÿ ÷èñëà k ìåðíûõ ïëîñêîñòåé gk (A) è äëÿ ÷èñëà k ìåðíûõ êëåòîê9ïåðåâîä òåðìèíà near pencil59fk (A) â íåòðèâèàëüíûõ íàáîðàõ A, ñîñòîÿùèõ èç n ãèïåðïëîñêîñòåé â RPd è íàøåëíàáîðû, íà êîòîðûõ îíè äîñòèãàþòñÿ:k+1kgk (A) > Cd+1+ (n − d − 1)Cd−1,06k 6d−1k−1k+1fk (A) > n2k Cdk + 2k−1 Cd−1(d + 1 − n) − k2k Cd+1,06k6d(4.1)(4.2)×àñòíûé ñëó÷àé (4.2) äëÿ d = k áûë äîêàçàí ÌàêÌþëëåíîì:fd (A) > 2d−1 (n − d + 1)(4.3)Íåðàâåíñòâà (4.1) äëÿ 0 6 k < d è (4.2) äëÿ d > 2 è 0 < k 6 d îáðàùàþòñÿâ ðàâåíñòâà äëÿ ìèíèìàëüíûõ íàáîðîâ.

Ïðè k = 0 íåðàâåíñòâî (4.2) îáðàùàåòñÿ âðàâåíñòâî íå òîëüêî äëÿ ìèíèìàëüíûõ íàáîðîâ [10], [35], íî è, íàïðèìåð, äëÿ íàáîðà,â êîòîðîì a è n−a ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿò ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç äâå íåïåðåñåêàþùèåñÿïðÿìûå â RP3 ïðè ëþáîì 2 6 a 6 n − 2.(d)Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fn ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë fd (A) äëÿ íåòðèâèàëüíûõíàáîðîâ A èç n ðàçëè÷íûõ ãèïåðïëîñêîñòåé â âåùåñòâåííîì ïðîåêòèâíîì dìåðíîìïðîñòðàíñòâå.(d)Ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâ Fn ðàâíû (ñì. [34])max{n−1,d}11 + Cn−1+ .

. . + Cn−1.Ïóñòü d > 3 è n > 2d + 5. Òîãäà ïåðâûå ÷åòûðå ïî âîçðàñòàíèþ(d)ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Fn ñëåäóþùèå:Òåîðåìà 4.5.(n − d + 1)2d−1 ,3(n − d)2d−2 ,(3n − 3d + 1)2d−2 ,7(n − d)2d−3 .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî f ≤ 7(n − d)2d−3 ïðè m ≤ d + 1. Åñëè m = d, òî ãèïåðïëîñêîñòè íàáîðà íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè è ÷èñëî îáëàñòåé ìàêñèìàëüíîåâîçìîæíîå. Åñëè m = d + 1, òî ïî òåîðåìå 4.4 èìååìCnd+1n (n − 1) (n − 2) (n − 3)(n − d + 2)f>=...(n − d + 1) > 7 · 2d−3 (n − d)n−d3 d+1dd−14ò.ê. n > 2d + 5.Òåïåðü äîêàæåì òåîðåìó äëÿ d = 3, n > 11.