Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических, страница 14

Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî, ïðîèçâåäÿ çàìåíó n = m + 2 è qm =(dm + 1)(m − dm ) ê âèäó(m − (3dm + 2.5))2 >)1( 232dm + 56dm − 154(4.7)2mÒàê êàê m > dm +d+ 3 (ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà dm , ñì. ðàçäåë 2.3) è m > 69, dm > 11,22mòî íåðàâåíñòâî (4.7) äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ m = dm +d+ 3.  ýòîì ñëó÷àå îíî2èìååò âèä(d2m − 5dm + 1)2 > 32d2m + 56dm − 15è âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ÷èñëî (6dm + 1)2 îòäåëÿåò ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà îòïðàâîé ïðè dm > 11.Íàïîìíèì, ÷òîfmax (2, n) = 1 + Cn2è fmax (3, n) = n + Cn3 .Çàôèêñèðóåì ÷èñëî n êîíôèãóðàöèè ãèïåðïëîñêîñòåé â RP3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç fmax (i)è fmin (i) ÷èñëà3fmax (i) = n + Cn3 − Cn−i−1,fmin (i) = fmax (i) − (i + 1)∆n−i − i(4.8)äëÿ 2 6 i 6 n − 3.

Çàìåòèì, ÷òî fmax (i) ýòî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî îáëàñòåé, îáðàçîâàííûõ êîíôèãóðàöèÿìè n ïëîñêîñòåé â RP3 , â êîòîðûõ ñóùåñòâóåò òî÷êà, îáùàÿäëÿ i ïëîñêîñòåé.Ëåììà 4.11.fmax (i − 1) > fmin (i) ïðè 3 6 i 6 n − 4 è n > 7.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèÿìè ÷èñåë fmax (i − 1) è fmin (i), ïåðåïèøåìèñõîäíîå íåðàâåíñòâî â âèäå2(i + 1)∆n−i + i > Cn−i−1.Äëÿ i = n − 4 è i = n − 5 (∆4 = 1, ∆5 = 3) îíî âåðíî.

Ñ÷èòàåì äàëåå, ÷òî i 6 n − 6,ñäåëàåì çàìåíó n − i = m. Òåïåðü äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî äëÿ i = 3:24∆m + 3 > Cm−1⇔m2 + m(d2m − 7dm − 3) + 8(d2m + dm ) + 12 > 0.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ ïðè m > 6 è dm > 2.2åñòü ÷èñëîÅñëè dm > 2, òî ëþáîå öåëîå ÷èñëî ìåæäó qm è 1 + Cm2îáëàñòåé êîíôèãóðàöèè A ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ñî ñëåäóþùèì óñëîâèåì. Ëèáî íàéäåòñÿ òî÷êà Q3 , ïðèíàäëåæàùàÿ ðîâíî òðåì ïðÿìûì èç A2 , ëèáîíàéäóòñÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè Q2 è Q′2 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ðîâíîäâóì ïðÿìûì èç A2 è òàêèìè, ÷òî ïðÿìàÿ Q2 Q′2 íå ïðîõîäèò ÷åðåç äðóãèå òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ èç A2 è íå ïðèíàäëåæèò A2 .Ëåììà 4.12.662Äîêàçàòåëüñòâî.  [26] ëþáîå öåëîå ÷èñëî ìåæäó qm è 1 + Cmðåàëèçîâàëîñü ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×åðåç îäíó òî÷êó ïðîâåäåíî n − k ïðÿìûõ u1 , . .

. , un−k . Îñòàëüíûåk ïðÿìûõ íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, ïðè÷åì l èõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ëåæàò íà ïðÿìûõ u1 , . . . , un−k . Ïðè ýòîì èç dm > 2 ñëåäóåò, ÷òî2 6 k 6 n − 2. Åñëè l > 1, òî ëåììà äîêàçàíà, ò.ê. íàéäåíà òî÷êà Q3 . Åñëè l = 0,òî k ïðÿìûõ un−k+1 , . . . , un îáùåãî ïîëîæåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè òàê, ÷òî äâå òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ Q2 = u1 ∩un−k+1 , Q′2 = u2 ∩un−k+2 áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ëåììû.Íàïîìíèì, ÷òî ïðîåêòèâíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòåé i è j ïðîñòðàíñòâàRPn íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü i + j − n-ìåðíîå ïðîåêòèâíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðè i + j > n è ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðè i + j < n. Ñêàæåì, ÷òîïðîåêòèâíîå ïîäïðîñòðàíñòâî íàõîäèòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè îòíîñèòåëüíî êîíôèãóðàöèè ãèïåðïëîñêîñòåé, åñëè îíî íàõîäèòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè ñ ãèïåðïëîñêîñòÿìèè âñåìè ïåðåñå÷åíèÿìè ëþáîãî êîëè÷åñòâà ãèïåðïëîñêîñòåé.([37] ) Ïóñòü A3n íàáîð èç n ïëîñêîñòåé â RP3 , íàáîð A3n−1 ïîëó÷åíèç A3n óäàëåíèåì ïëîñêîñòè U .

Ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé èç A3n−1 ñ ïëîñêîñòüþ Uîáðàçóþò íàáîð A2 ïðÿìûõ íà U . ÒîãäàËåììà 4.13.f (A3n ) = f (A3n−1 ) + f (A2 ).Ïóñòü m ïëîñêîñòåé êîíôèãóðàöèè A3n ïðîõîäèò ÷åðåç îäíó òî÷êó èîáðàçóþò (áåç îñòàëüíûõ ïëîñêîñòåé èç A3n ) fm îáëàñòåé. Òîãäà)(n + 2m − 232.fm (1 + n − m) 6 f (An ) 6 fm (1 + n − m) + Cn−m3Ëåììà 4.14.Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî n − m, èñïîëüçóÿ ëåììó 4.13. Ïðàâîå íåðàâåíñòâîîáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè îñòàëüíûå n − m ïëîñêîñòåé íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè ñ m ïëîñêîñòÿìè.Ïóñòü 2 6 i 6 n − 4 è n > 9. Òîãäà ìíîæåñòâî Fn3 ñîäåðæèò âñåöåëûå ÷èñëà îòðåçêà [fmin (i), fmax (i)].Ëåììà 4.15.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëþáîå öåëîå ÷èñëî f , f ∈ [fmin (i), fmax (i)] ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå()22(4.9)f = (i + 1)fn−i + Ci n − (i + 1) − r,32. Ïîñòðîèì ïðèìåð íàáîðà ãèïåðïëîñêîñòåé,ãäå 0 6 r 6 i è qn−i 6 fn−i 6 1 + Cn−i3äåëÿùåãî RP íà f îáëàñòåé, ãäå f âèäà (4.9). Âîçüìåì íàáîð A2 , ñîñòîÿùèé èç n − iïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ ëåììû 4.12, äåëÿùèéïëîñêîñòü íà f (A2 ) = fn−i îáëàñòåé (ýòî ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì òîëüêî â ñëó÷àÿõ (â) è (ã)). Âëîæèì RP2 ⊂ RP3 , âûáåðåì òî÷êó O ∈/ RP2 è ïðîâåäåì ïëîñêîñòèU1 , .

. . , Un−i ÷åðåç òî÷êó O è ïðÿìûå èç A2 . Ïîëó÷èì íàáîð A3n−i , ñîñòîÿùèé èç n − iïëîñêîñòåé â RP3 . Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü U , íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O,â ïåðåñå÷åíèè ñ A3n−i îáðàçóåò êîíôèãóðàöèþ ïðÿìûõ íà U , ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíóþ A2 . Ïðîâåäåì ïëîñêîñòè Un−i+1 , . . . , Un â îáùåì ïîëîæåíèè ïî îòíîøåíèþ äðóã67ê äðóãó è ê íàáîðó A3n−i .

Îáîçíà÷èì ÷åðåç A2n−i+j êîíôèãóðàöèþ ïðÿìûõ Uk ∩Un−i+j ,ãäå 1 6 k < n − i + j íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè Un−i+j äëÿ 1 6 j 6 i. ×åðåç A3n−i+jîáîçíà÷èì íàáîð ïëîñêîñòåé U1 , . . . , Un−i+j â RP3 . Òîãäàf (A3n−i+j ) = f (A3n−i+j−1 ) + f (A2n−i+j ) ïðè1 6 j 6 i;f (A3n−i ) = fn−i .Çàìåòèì, ÷òî22f (A2n−i+j ) = fn−i + (n − i) + · · · + (n − i + j − 2) = fn−i + Cn−i+j−1− Cn−i.Ñëåäîâàòåëüíî,f (A3n )= fn−i +i∑f (A2n−i+j )= (i + 1)fn−i +j=1Ci2()2n − (i + 1) .3Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åí íàáîð A3n ïëîñêîñòåé ñ ÷èñëîì îáëàñòåé f (A3n ) âèäà (4.9)ïðè r = 0.Äëÿ r > 0 íàðóøèì îáùíîñòü ïîëîæåíèÿ ïëîñêîñòåé Un−i+1 , .

. . , Un (ñæèìàÿ îáëàñòè â òî÷êè). Ïðè ýòîì ïëîñêîñòè Un−i+1 , . . . , Un áóäóò "ïî÷òè" îáùåãî ïîëîæåíèÿ,òàêèå ÷òî22f (A2n−i+j ) = fn−i + Cn−i+j−1− Cn−i− aj ,∑iãäå aj íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà è j=1 aj = r. Åñëè óäàñòñÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòè Un−i+1 , . . . , Un òàêèì îáðàçîì, òî ïîëó÷èòñÿ íàáîð èç n ïëîñêîñòåé ñ òðåáóåìûìâ (4.9) ÷èñëîì îáëàñòåé äëÿ ëþáîãî 0 6 r 6 i. Ðàññìîòðèì ÷åòûðå ñëó÷àÿ.Ñëó÷àé (à): 0 < r 6 i − 1.

Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü Un−i+1 ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íîíå ÷åðåç òî÷êó O. Òîãäàf (A2n−i+1 ) = fn−i > n − i.Ñëåäîâàòåëüíî ïî òåîðåìå Ñèëüâåñòðà-Ãàëëàè íàéäåòñÿ òî÷êà P1 , ïðèíàäëåæàùàÿðîâíî äâóì ïðÿìûì èç êîíôèãóðàöèè A2n−i+1 . Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü Un−i+2 ÷åðåç òî÷êó P1 òàê, ÷òîáû ïðÿìàÿ Un−i+1 ∩ Un−i+2 íå ïðîõîäèëà áû ÷åðåç äðóãèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êîíôèãóðàöèè A2n−i+1 . Òîãäà a1 = 1, ò.å. çà ñ÷åò òî÷êè P1 ïðîïàëà îäíà îáëàñòü.Ïðîäåëàåì òî æå ñàìîå ñ ïëîñêîñòÿìè Un−i+3 , . . .

, Un−i+r+1 . À èìåííî, âûáåðåì òî÷êóPj , ïðèíàäëåæàùóþ ðîâíî äâóì ïðÿìûì èç A2n−i+j è ïðîâåäåì ïëîñêîñòü Un−i+j+1÷åðåç òî÷êó Pj òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòü Un−i+j+1 íå ïðîõîäèëà áû ÷åðåç äðóãèå òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ êîíôèãóðàöèé A2n−i+1 , . . . , A2n−i+j . Èíäåêñ j ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿîò 1 äî r. Òî÷êè Pj ñóùåñòâóþò ïî òåîðåìå Ñèëüâåñòðà-Ãàëëàè. Ìíîæåñòâî òî÷åêïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ êîíôèãóðàöèé A2n−i+1 , .

. . , A2n−i+j êîíå÷íî, ñëåäîâàòåëüíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü Un−i+j+1 ìîæíî. Îñòàëüíûå ïëîñêîñòè Un−i+r+2 , . . . , Un ïðîâåäåì âîáùåì ïîëîæåíèè. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîa2 = a3 = . . . = ar+1 = 1,a1 = ar+2 = . . . = ai = 0.Ñëó÷àé (á): r = i > 4. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòè Un−i+1 è Un−i+2 òàê æå, êàê â ñëó÷àå(à). Ïëîñêîñòü Un−i+3 ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó P1 òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòü Un−i+3 íå ñîäåðæàëà áû äðóãèõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ êîíôèãóðàöèé A2n−i+1 è A2n−i+2 . Ïðîâåäåì ïëîñêîñòè Un−i+4 , . . .

, Un−i+r−1 àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ (à). Îñòàëüíûå ïëîñêîñòèUn−i+r , . . . , Un áóäóò â îáùåì ïîëîæåíèè. Òîãäà ïîëó÷èìa3 = 3,a2 = a4 = . . . = ar−1 = 1,68a1 = ar = . . . = ai = 0.Ñëó÷àé (â): r = i = 2. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü Un−1 ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íå ÷åðåçòî÷êó O è ïîëó÷èì êîíôèãóðàöèþ ïðÿìûõ A2n−1 , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ ëåììû4.12. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ëèáî òî÷êà Q3 , ëèáî òî÷êè Q2 è Q′2 . Òîãäà ïðîâåäåìïëîñêîñòü Un ÷åðåç òî÷êó Q3 èëè ÷åðåç ïðÿìóþ Q2 Q′2 ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òîáûïëîñêîñòü Un íå ïðîõîäèëà áû ÷åðåç äðóãèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ èç A2n−1 .Ïîëó÷èì a1 = 0, a2 = 2.Ñëó÷àé (ã): r = i = 3. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòè Un−2 è Un−1 òàê æå, êàê áûëè ïðîâåäåíû ïëîñêîñòè Un−1 è Un â ñëó÷àå (â).

Ïëîñêîñòü Un ïðîâåäåì àíàëîãè÷íî ïëîñêîñòÿìUn−i+j+1 äëÿ 1 < j 6 r èç ñëó÷àÿ (à). Òîãäà a1 = 0, a2 = 2, a3 = 1.Èòàê, ðàçîáðàíû âñå ñëó÷àè è ïîñòðîåíû ïðèìåðû íàáîðîâ ïëîñêîñòåé ñ ÷èñëîìîáëàñòåé òèïà (4.9). Òàêèå íàáîðû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííû.Åñëè âñå ïðîåêòèâíûå ïëîñêîñòè íàáîðà A3n ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíóîáùóþ òî÷êó P , òî f (A3n ) ∈ Fn2 . Åñëè âñå êðîìå îäíîé ïðîåêòèâíûå ïëîñêîñòèíàáîðà A3n ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó îáùóþ òî÷êó P è îáðàçóþò fn−1 îáëàñòåé, òîf (A3n ) = 2fn−1 .Ëåììà 4.16.Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîåêòèâíóþ ïëîñêîñòüU , íå ñîäåðæàùóþ òî÷êó P . Ïóñòü ïëîñêîñòè íàáîðà A3n ïåðåñåêàþòñÿ ñ ïëîñêîñòüþU ïî ïðÿìûìu1 , . . . , un è A2n = {u1 , . . . , un }. Êàæäîé òî÷êå X , íå ëåæàùåé íà ïëîñêî∪∩ñòÿõ i Ui ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó Y = P X Uïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé P X ñ ïëîñêîñòüþ U . Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâèè òðåõìåðíûì îáëàñòÿì, îáðàçîâàííûì ïëîñêîñòÿìè U1 , .

. . , Un áóäóò âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâîâàòü äâóìåðíûå îáëàñòè, îáðàçîâàííûå ïðÿìûìè u1 , . . . , un íà ïëîñêîñòè U . Ïîýòîìóf (A3n ) = f (A2n ), ò.å. f (A3n ) ∈ Fn2 . Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ëåììû 4.14.Åñëè íå ñóùåñòâóåò òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé íå ìåíåå ÷åì m + 1ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè èç íàáîðà A3n , ñîñòîÿùåãî èç n ïëîñêîñòåé è m < n, òîËåììà 4.17.f (A3n ) > 2n2 − n + 2(m − 1).m+2Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëþáàÿ ïðÿìàÿ ïðèíàäëåæèò íå áîëåå ÷åì m−1 ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè èç A3n . Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü U îáùåãî ïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî A3n . Ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé èç A3n ñ ïëîñêîñòüþ U îáúåäèíèì â íàáîð A2n , ñîñòîÿùèé èç nïðÿìûõ è ðàçáèâàþùèé ïëîñêîñòü U íà f (A2n ) îáëàñòåé. Êàæäîé äâóìåðíîé îáëàñòèh ⊂ U∩ñîîòâåòñòâóåò òðåõìåðíàÿ îáëàñòü â H ⊂ RP3 , îáðàçîâàííàÿ A3n , òàêàÿ ÷òîh = H U .

Ïîýòîìó f (A2n ) 6 f (A3n ). Äëÿ íàáîðà A2n íà ïëîñêîñòè U íå ñóùåñòâóåòòî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé õîòÿ áû m ïðÿìûì èç A2n . Îñòàëîñü ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâîïóíêòà (à) òåîðåìû 2.3:Åñëè íå ñóùåñòâóåò òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé íå ìåíåå ÷åì m ïðîåêòèâíûì ïðÿìûìèç íàáîðà A2n ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè è m 6 n, òî( 2)n − n + 2(m − 1)2f (An ) > 2.m+2ñîäåðæèò âñåÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.7. Ñîãëàñíî ëåììå 4.15 ìíîæåñòâîöåëûå ÷èñëà ìåæäó fmin (i) è fmax (i) äëÿ âñåõ 2 6 i 6 n − 4. Èç ëåììû 4.11 âûòåêàåò,Fn369÷òî îòðåçêè [fmin (i), fmax (i)] ïîêðûâàþò âñå öåëûå ÷èñëà îò fmin (2) äî fmax (n − 4).Ïîñêîëüêófmax (n − 4) = n + Cn3 − 1,à fmin (2) = 3qn−2 + n − 4 6 Cn2 + 2ïðè n > 71 ïî ëåììå 4.10, òî ìíîæåñòâî Fn3 ñîäåðæèò (ïðè n > 71) âñå öåëûå ÷èñëàìåæäó 1 + Cn2 è n + Cn3 (âêëþ÷èòåëüíî).