Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетНа правах рукописиУДК 514.7Синицын Дмитрий ОлеговичПрименение методов интегральной геометриик задачам редукции гамильтоновых систем01.01.04 - геометрия и топологияДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Голо В.Л.Москва 2011Оглавление1Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах1.1 Уравнения Лагранжа первого рода для геодезических . . . .15151.2 Асимптотическое описание геодезических на деформированных сферах . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3 Угловой момент и связь с плюккеровыми координатами . . .171.4 Уравнения для углового момента . . . . . . . . . . . . . . . .181.5 Усреднение уравнений для момента . . .

. . . . . . . . . . .201.6 Формулировка редукции в терминах интегральной геометрии211.7 Гамильтонова структура редуцированной системы для углового момента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.8 Ограничение системы на многообразие Грассмана G(2, n) какна пуассоново подмногообразие so(n) . . . . . . . . . . . . .261.9 Связь траекторий момента в точной и редуцированной системах 282Топология решений редуцированной системы длянекоторых классов алгебраических поверхностей 302.1 Двумерные деформированные сферы . . . .

. . . . . . . . .302.2 Полиномиальность редуцированного гамильтониана для полиномиальных деформаций двумерной сферы . . . . . . . .2332.3 Топологическая классификация редуцированных систем длядвумерной сферы с деформацией четвертыми степенями координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.4 Трехмерные деформированные сферы . . . . . .

. . . . . . .552.5 Ультрагиперболическое уравнение Йона на гамильтониан редуцированной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.6 Деформации трехмерной сферы с осевой симметрией (поверхности вращения) . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .672.7 Многомерные эллипсоиды, близкие к сфере, и случайШоттки-Манакова в уравнениях Эйлера на алгебре Ли so(n)369Редукция уравнений динамики двухспиновой системы в магнитном поле713.1 Гамильтониан и уравнения динамики двухспиновой системы713.2 Редукция системы по циклической переменной .

. . . . . . .733ВведениеОсновная часть настоящей диссертации посвящена исследованию геодезических на деформированных сферах с помощью теории возмущений. Воснове лежит идея о связи этой задачи с преобразованиями интегральнойгеометрии, в терминах которых производится асимптотическая гамильтонова редукция к системе меньшей размерности. Факты интегральной геометрии определяют свойства этой системы.

Для содержательного классаполиномиальных деформаций двумерной сферы производится анализ топологии фазовых портретов редуцированной системы. В третьей главе рассматривается гамильтонова система, используемая для описания спиновыхсистем. С использованием симметрии системы производится ее редукция ксистеме меньшей размерности, допускающей более простое исследование.Изучение геодезических линий на поверхностях восходит к исследованиям И. Бернулли и Л. Эйлера, посвященных нахождению кратчайших линий, [11].

В дальнейшем эта проблема изучалась в многочисленных работахгеометров и механиков по нескольким направлениям исследования.Обширный ряд работ посвящен нахождению решений уравнений геодезических для конкретных видов поверхностей. Один из первых нетривиальных результатов был получен в классической работе Якоби, который нашелточное решение для геодезических на эллипсоиде методами аналитическоймеханики, [17]. Другими важными примерами являются поверхности вращения и метрики Лиувилля с интегралами первой и второй степени по импульсам, [8]. В работе В.Н. Колокольцова [26] были описаны все метрики насфере и торе, геодезический поток которых имеет дополнительный квадратичный по скоростям интеграл, не зависимый от интеграла энергии.

В ра4боте А.В. Болсинова, В.В. Козлова, А.Т. Фоменко [27] с помощью принципаМопертюи были найдены метрики на сфере, геодезические потоки которыхвозникают из интегрируемых случаев динамики твердого тела, среди которых имеются системы с интегралами степеней 3 и 4 по импульсам. Крометого, в рамках этого, аналитического, направления были установлены изоморфизмы некоторых из известных интегрируемых гамильтоновых системс точностью до замены переменных.

В частности, было установлено, чтозадача о геодезических на (n − 1)-мерном эллипсоиде эквивалентна случаюКлебша–Переломова для обобщения уравнений Кирхгофа на алгебре Лиe(n), [28], [29], [31].Другое направление исследований посвящено замкнутым геодезическим,[22]. Одной из первых работ в этом направлении была статья Пуанкаре[25], посвященная нахождению замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, гомеоморфных сфере. Развитие вариационного подхода к этимвопросам привело к оценкам числа замкнутых геодезических. Одним изважных результатов стала теорема Люстерника–Шнирельмана о существовании на поверхности, гомеоморфной сфере, трех замкнутых геодезических без самопересечений. Кроме того, были обнаружены классы римановых многообразий, на которых все геодезические являются замкнутыми безсамопересечений.

Их свойства исследуются в многочисленных работах, [23].Большой интерес также привлекают вопросы о проявлениях хаотическойдинамики в системах, описывающих геодезические. В ряде исследованийрассматриваются различные свойства нерегулярной динамики, такие какэргодичность, лиувиллева энтропия, топологическая энтропия и другие.Например, в работе G. Knieper, H. Weiss [32] доказано, что существует отрытое и плотное в C ∞ -топологии множество метрик положительной кривизнына двумерной сфере, геодезический поток которых имеет положительнуютопологическую энтропию. V. Donnay в работе [33] построил пример метрики на сфере, имеющей эргодический геодезический поток.

МонографияД.В. Аносова [24] посвящена свойствам геодезических потоков на замкну5тых римановых многообразиях отрицательной кривизны, в том числе эргодичности.Еще одно направление исследований возникло из применения к системам,задающим геодезические, топологических методов исследования гамильтоновых систем. Систематическая теория классификации гамильтоновыхсистем с точностью до естественных топологических изоморфизмов быларазвита А.Т. Фоменко. В работах [1]-[7] были построены инварианты интегрируемых систем с двумя степенями свободы с точностью до лиувиллевойэквивалентности, т.е. до гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего слои лиувиллева слоения одной системы в слои другой.

В результатеприменения этой теории была осуществлена топологическая классификация многочисленных интегрируемых гамильтоновых систем, в том числегеодезических потоков, [8], [9], [10]. Были обнаружены новые изоморфизмыгамильтоновых систем – в смысле топологической классификации. Например, было показано, что задача о геодезических на двумерном эллипсоидетопологически траекторно эквивалентна случаю Эйлера в динамике твердого тела, [9], [27].Помимо интегрируемых случаев, представляет интерес также изучениесистем, являющихся слабыми возмущениями известных точно решаемыхзадач.

Это объясняется, с одной стороны, распространенностью таких ситуаций в приложениях, когда одни эффекты оказывают малое влияние насистему по сравнению с другими, и с другой стороны, дополнительнымивозможностями для исследования, имеющимися применительно к возмущениям решенных задач. Этот подход, основанный на теории возмущений,является классическим в аналитической механике, и применялся со временЛагранжа и Лапласа, [20].На современном этапе возникает возможность совместить стандартныеметоды теории возмущений с топологическим анализом гамильтоновых систем. Одним из первых шагов в этом направлении стала та самая работаПуанкаре [25] о замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, го6меоморфных сфере.

В ней Пуанкаре рассматривает геодезические на поверхности, являющейся слабым возмущением другой поверхности с известными геодезическими – стандартной двумерной сферы. Комбинируя методусреднения теории возмущений с топологическими соображениями, Пуанкаре получает следствия о числе замкнутых геодезических.В настоящей работе мы следуем методу Пуанкаре и рассматриваем геодезические на поверхности, являющейся возмущением стандартной (n − 1)-мерной сферы в n-мерном евклидовом пространстве и заданной уравнени-ем:ϕ ≡ x21 + x22 + . . . + x2n − 1 + ε ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0.C помощью стандартного метода усреднения строится асимптотическая редукция системы, описывающей геодезические на этой поверхности, к системе, имеющей меньшее число степеней свободы. Эта, редуцированная, система более проста для исследования и несет в себе информацию о решениях исходной системы для геодезических.

Редуцированная система являетсягамильтоновой, и в ряде случаев интегрируема и допускает исследованиеметодами теории топологической классификации гамильтоновых систем.Таким образом, с помощью асимптотической гамильтоновой редукции мыполучаем возможность делать выводы о всей совокупности геодезическихна поверхности, не обязательно замкнутых.Проблема редукции изучалась в небесной механике главным образом всвязи с задачей трех тел, [19]. В 20-м веке интерес к ней снова возрос всвязи с киральной теорией поля. Важно, что киральная модель обычно основана на группе Ли симметрии G, которая составляет структурную основуее уравнений E. Это обстоятельство было использовано Полмайером, который указал метод построения меньшей системы R уравнений, следующихиз E и описывающих движение динамических переменных, являющихсяинвариантами группы симметрии G, [38].

Полмайер выполнил редукциюкиральной модели n-поля, в которой полевая переменная принимает значения на двумерной сфере, к уравнению синус-Гордон. Таким образом, метод7Полмайера требует богатой симметрии задачи. В этом отношении широкоеполе для применения редукции Полмайера представляют уравнения Леггетта спиновой динамики в сверхтекучем 3 He, имеющие группу симметрииSO(3)×SU (2)×U (1) (подробности см. в [39]). Редукция уравнений Леггеттаособенно интересна тем, что она проливает свет на роль, играемую гамильтоновой структурой.

Фактически Полмайер показал, что редукция тесносвязана с алгеброй Пуассона задачи. Однако часто явная форма этой связинеочевидна. Для уравнений Леггетта редукция сводится к нахождению подалгебры пуассоновой алгебры, образованной скобками Пуассона исходныхдинамических переменных – спина и параметра порядка (см.