Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этихусловиях соответствующий ей импульс является интегралом движения, иможно рассмотреть динамику системы при фиксированном его значении.Тем самым мы приходим к системе, в которой меньше на одну координату иодин импульс, чем в исходной задаче. Для реализации этой схемы введем внашей задаче канонические переменные. Таковыми будут цилиндрическиекоординаты xi , pi в пространстве каждого спина:ppS1I = (S I )2 − p21 cos x1 , S2I = (S I )2 − p21 sin x1 , S3I = p1 ,ppS1II = (S II )2 − p22 cos x2 , S2II = (S II )2 − p22 sin x2 , S3II = p2 .В этих переменных гамильтониан (3.1) записывается в виде:qqI22H = γ1 Hp1 + γ2 Hp2 + J (S ) − (p1 ) (S II )2 − (p2 )2 cos(x2 − x1 ) + Jp1 p2(здесь S I и S II играют роль параметров).
В соответствии с обсуждавшейся~ (вокругвыше симметрией задачи относительно вращений вокруг поля Hтретьей оси) углы x1 и x2 вошли в гамильтониан в виде разности x2 − x1 .Осуществим каноническую замену:u = x2 − x1 , v = x2 + x1 ,11pu = (p2 − p1 ), pv = (p2 + p1 ),22(3.3)Теорема 14. В канонических переменных (3.3) гамильтониан (3.1) запи-73сывается в виде:H = γ1 H(pv − pu ) + γ2 H(pv + pu )+pp+J (S I )2 − (pv − pu )2 (S II )2 − (pv + pu )2 cos u + J(pv − pu )(pv + pu ).(3.4)В нем переменная v является циклической, pv = const.
При фиксирова-нии значения pv гамильтониан (3.4) задает систему с одной степеньюсвободы в фазовых переменных u, pu .Ввиду малой размерности, полученная система значительно проще исходной, поэтому осуществленная редукция позволяет существенно упростить исследование траекторий движения в рассматриваемой задаче. Вчастности, система (3.4) допускает исследование методом построения фазового портрета. Типичный результат показан на рис. 3.1. Значения u =−π и π отождествляются, так как изменение u = ϕ2 − ϕ1 на 2π соответ-ствует аналогичному изменению одного из углов, каждый из которых определен по модулю 2π. На рисунке видны стационарные точки (центры) созначениями u = 0, π.74-Π- Π20Π2Π0.50.50.250.250.0.-0.25-0.5-0.5-0.75-0.75pu-0.25-1-1-Π- Π20Π2ΠuРис. 3.1: Фазовый портрет редуцированной системы.75Литература[1] Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем,Доклады АН СССР, 1986, т.287, No.5, с.1071-1075.[2] Фоменко А.Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Известия АН СССР.
Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307.[3] Фоменко А.Т., Цишанг Х., О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике, Доклады АН СССР, 1987, т.294,No.2, с.283-287.[4] Фоменко А.Т., Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функц. анализ и его приложения. 1988,т.22, вып.4, с.38-51.[5] Фоменко А.Т., Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1(265), с.145-173.[6] Фоменко А.Т., Цишанг Х., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенямисвободы, Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575.[7] Фоменко А.Т., Топологический инвариант, грубо классифицирующийинтегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях, Функц.
анализ и его приложения. 1991, т.25, вып.4, с.23-35.76[8] А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы.Геометрия, топология, классификация, тт. 1, 2. Ижевск: Издательскийдом «Удмуртский университет», 1999, 444 с. и 448 с.[9] А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геодезический поток эллипсоида траекторно эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела, Доклады РАН, 1994, т.339, No.3, с.293-296.[10] А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геометрия и топология интегрируемыхгеодезических потоков на поверхностях (Монография), Москва, УРСС,1999. В серии «Библиотека R&C Dynamics. Регулярная и хаотическаядинамика», т.
2.[11] D. J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley,Cambridge Mass., 1950.[12] B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko, Modern Geometry. Methods andApplications. Springer-Verlag, Part 1, 1984; Part 2, 1985; Part 3, 1990.[13] F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie, Berlin, Springer (1926).[14] Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Избранные задачи интегральной геометрии, Добросвет, М. 2000.[15] S. Helgason, The Radon Transform, Second edition, Birkhauser Boston,1999.[16] P. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley ClassicsLibrary, New York: John Wiley & Sons (1994).[17] C.G.J. Jacoby, Vorlesungen über Dynamik, Reiner, Berlin (1884).[18] H.
Poincaré, Les methodes nouvelles de la mécanique céleste, GauthierVillars, Paris (1899).[19] E.T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles andRigid Bodies, Ch. XIII, Cambridge University Press, Cambridge (1917).77[20] В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт, Математические аспектыклассической и небесной механики, изд. 2, УРСС, М., 2009.[21] В.И.
Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движенияв классической и небесной механике, УМН, 1963, т. 18, вып. 6 (114), стр.91–192.[22] В. Клингенберг, Лекции о замкнутых геодезических, М.: Мир, 1982.[23] А. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, М.: Мир, 1981.[24] Д.В. Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. МИАН СССР, 90, ред. И. Г.Петровский, 1967.[25] H. Poincaré, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, Trans. Amer.Math.
Soc. 6 (1905), 237-274.[26] Колокольцов В.Н., Геодезические потоки на двумерных многообразияхс дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом,Известия АН СССР. Сер. матем. 1982, т. 46, № 5, с. 994-1010.[27] А.В. Болсинов, В.В. Козлов, А.Т.
Фоменко, Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаевдинамики твердого тела, УМН, 1995, 50:3(303), 3–32.[28] V.V. Kozlov, Two integrable problems of classical mechanics, Vestnik MGU,Ser. math. mech., 1981, N4, P. 80-83.[29] A.V. Borisov, I.S. Mamaev, Nonlinear Poisson brackets and isomorphismsin dynamics, Reg. Chaot. Dynam., V 2, N 3/4, 1997, P.
72-89.[30] Борисов А.В., Мамаев И.С., Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,2003.[31] A.M. Perelomov, A note on geodesics on ellipsoid, Reg. Chaot. Dynam., V5, N 1, 2000, P. 89-94.78[32] G. Knieper, H. Weiss, C ∞ Genericity of Positive Topological Entropy forGeodesic Flows on S 2 .[33] V. Donnay, Geodesic flow on the two-sphere, Part I: positive measureentropy, Ergod. Th. & Dynam. Sys. 8 (1989) 531–553.[34] В.
В. Козлов, Топология вещественных алгебраических кривых и интегрируемость геодезических потоков на алгебраических поверхностях,Функц. анализ и его прил., 2008, т. 42, вып. 2, стр. 23–27.[35] V.V. Kozlov, Several problems on dynamical systems and mechanics,Nonlinearity, 21, (2008), T149–T155.[36] Б.
Риман, О движении жидкого однородного эллипсоида, в кн.: Сочинения, ОГИЗ, М., Л., 1948, 339–366.[37] А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин, Гамильтонова динамикажидких и газовых самогравитирующих эллипсоидов, Нелинейная динам., 2008, т. 4, № 4, стр. 363–407.[38] K. Pohlmeyer, Comm.Math.Phys. 46, 207 (1976).[39] J.A. Leggett, Rev.
Mod. Phys. 47,331 (1975).[40] V.L. Golo, Lett. Math, Phys. 5, 155 (1981).[41] F. Schottky, Über das analytische Problem der Rotation eines starrenKörpers in Raume von vier Dimensionen, Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad.Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227-232.[42] С.В. Манаков, Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10,вып. 4, стр. 93–94.[43] A.I. Bobenko, Euler equations on the algebras e(3) and so(4). Isomorphismof the integrable cases, Funktsional.
Anal. i Prilozhen., 20 (1986), 64–66.79[44] A.V. Bolsinov, Compatible Poisson brackets on Lie algebras and thecompleteness of families of functions in involution, Math. USSR-Izv., 38:1(1992), 69-90.[45] Г. Минковский, О телах постоянной ширины, Матем. сб., 1905, т. 25, №3, стр. 505–508.[46] P.G. Funk, Uber Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien,Mathematische Annalen, Band 74, 1913, p. 278-300.[47] J. Radon, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwertelängs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen derSächsische Akademie der Wissenschaften, (69): 262–277, 1917.[48] F.
John, The ultrahyperbolic differential equation with four independentvariables, Duke Mathematical Journal 4 (2): 300–322 (1938).[49] И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Геометрия однородных пространств, представления групп в однородных пространствах и связанные с ними вопросы интегральной геометрии, I, Труды Моск. матем. об-ва 8 (1959),321—390.[50] И.М. Гельфанд, Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений, УМН, 1960, т.
15, вып. 2(92), стр. 155–164.[51] Н.Я. Виленкин, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Интегральная геометрияи связанные с ней вопросы теории представлений / Обобщенные функции.— Вып. 5.— М.: Физматгиз, 1962.[52] E. B. Vinberg, Equivariant symplectic geometry of cotangent bundles,Mosc. Math. J., 2001, V 1, N 2, pp. 287-299.[53] Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Физматлит, Москва (2002).[54] Е.С.
Боровик, В.В. Еременко, А.С. Мильнер, Лекции по магнетизму,Физматлит, Москва (2005).80[55] Д.О. Синицын, Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах и преобразование Функа–Минковского, Матем. заметки, т. 90, вып. 3, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
