Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Рядомс точками приведены числа в кругах, обозначающие порядковые номера (по возрастанию) значений гамильтониана вэтих точках (точка с наименьшей энергией имеет номер 1, снаибольшей – номер 7).Задача состоит в определении атомов, содержащих седловыеточки. Для этого необходимо найти скелеты этих атомов, тоесть графы, образуемые седлами и соединяющими их сепаратрисами. Итак, рассмотрим для каждого седла, как расположены его сепаратрисы.

В силу симметрии в первый октантпопадают ровно по две из четырех сепаратрис каждого седла.Заметим, что на отрезках сторон треугольника, на которыеих делят седловые точки, гамильтониан изменяется монотонно. Действительно, в противном случае он имел бы на нихдополнительные критические точки, которые являлись быодновременно его критическими точками на сфере (а такиеточки все перечислены).

Это следует из того, что, в силу симметрии, на стороне треугольника градиент гамильтонианаможет быть направлен только вдоль этой стороны. Действительно, из-за четности H по L1 имеем∂H∂L1= 0 при L1 = 0 ианалогично для L2 , L3 . Поэтому если в точке на стороне треугольника компонента градиента вдоль этой стороны равнанулю, то в этой точке градиент целиком равен нулю.Пользуясь монотонностью, находим на сторонах треугольника точки со значениями гамильтониана, равными седловым значениям (помечены на рис.

2.1 соответствующими числами в кругах). Рассмотрим седло S2a. Все остальные седла, а также максимумы – вершины треугольника – имеют42бо́льшие значения гамильтониана, поэтому из монотонностизаключаем, что на всей границе треугольника нет точек с такой энергией. Поэтому сепаратрисы седла S2a не выходят запределы рассматриваемого криволинейного треугольника, азначит, могут только образовывать петлю, лежащую внутри треугольника.

Внутри этой петли должен лежать хотя быодин локальный минимум гамильтониана. Но такой минимум единствен – это точка S3. Далее, обратимся к седлу S2b.Поскольку на стороне S1b-S1c имеется две точки с такой жеэнергией, то для сепаратрис седла S2b имеется две возможности: либо они образуют петлю внутри треугольника, либокаждая из них выходит в одну из точек на сторонах. Однако первый случай невозможен, так как тогда внутри петлидолжна была бы быть точка локального минимума, отличнаяот S3, а такой точки не существует.

Итак, сеператрисы выходят на границу треугольника в точках на стороне S1b-S1c.По таким же соображениям сеператрисы седла S2c попадаютв ближайшие к нему точки с такой энергией на сторонах S1bS1c и S1a-S1c. Другие две точки с такой энергией соединеныдруг с другом регулярной линией уровня H.Итак, части сепаратрис, лежащие в первом октанте, имеютизображенный на рис. 2.1 вид. Отражая эту часть слоенияотносительно координатных плоскостей, получим расположение сепаратрис на сфере, рис. 2.1, вверху справа. Каждаясвязная компонента графа сепаратрис образует скелет, по которому однозначно определяется соответствующий плоскийатом, [8].

Области, ограниченные двумя граничными окружностями атомов, соответствуют ребрам, соединяющим этиатомы.Обозначения для атомов малой сложности будем брать из43соответствующей таблицы в [8]. Один из атомов, содержащий седла серии S2c, имеет сложность 4. Он изображен нарис. 2.2. Обозначим его I.Результат этих вычислений приведен на рис. 2.1 внизу. Слевапоказана бифуркационная диаграмма гамильтониана вместес числом окружностей в прообразе для значений энергии изкаждой камеры (цифры справа от оси).

Справа изображена молекула, соответствующая лиувиллеву слоению в этомслучае.I.1.a.ii. ES1c < ES2c .Случай аналогичен предыдущему. На рис. 2.3 слева изображена бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числом окружностей в прообразе для значенийэнергии из каждой камеры (цифры справа от оси). Единственное отличие состоит в том, что нижний уровень локальных максимумов ES1c лежит ниже верхнего седлового уровняES2c . Молекула этого случая совпадает с предыдущей.I.1.b. Меньшие два из параметров εi совпадают.Допустим для определенности, что ε1 = ε2 < ε3 . В этом случаедва нижних седловых уровня совпадают: ES2a = ES2b . Энергия локальных минимумов ES3 меньше всех седловых энергий. Большие две энергии локальных максимумов совпадают:ES1c < ES1b = ES1a .

Они же находятся выше всех седловыхуровней.Для энергии меньшего из локальных максимумов ES1c есть двевозможности: она может находиться либо выше всех седловыхуровней, либо между седловыми уровнями ES2b и ES2c .I.1.b.i. ES1c > ES2c .Как и ранее, рассмотрим часть слоения Лиувилля, расположенную в первом октанте, рис. 2.4 вверху слева.44Значение гамильтониана в седлах S2a и S2b ниже, чем навсей остальной границе криволинейного треугольника.

Поэтому сепаратрисы этих седел остаются внутри него, и возможны два случая: 1) сепаратрисы каждого седла образуютпетлю; 2) сепаратрисы идут из одного седла в другое. Но впервом случае в каждой петле должен был бы находитьсясвой локальный минимум, а таковой является только точкаS3. Итак, сепаратрисы соединяют седла S2a и S2b, и междуними находится локальный минимум S3. Сепаратрисы седлаS2c, аналогично предыдущему случаю, попадают в ближайшие к нему точки с такой энергией на сторонах S1b-S1c иS1a-S1c. Другие две точки с такой энергией соединены другс другом регулярной линией уровня гамильтониана.С помощью отражений относительно координатных плоскостей получаем весь граф сепаратрис на сфере, рис.

2.4 вверхусправа. Определяя по каждой его связной компоненте соответствующий плоский атом и соединяя ребрами атомы, ограничивающие одну и ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.4 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числом окружностей в прообразе для значенийэнергии из каждой камеры (цифры справа от оси). Справаизображена молекула, соответствующая слоению Лиувилля.I.1.b.ii. ES1c < ES2c .

Случай аналогичен предыдущему и иллюстрируется на рис. 2.5.I.1.c. Бо́льшие два из параметров εi совпадают.Допустим для определенности, что ε1 < ε2 = ε3 . В этом случаедва верхних седловых уровня совпадают: ES2a < ES2b = ES2c .Энергия локальных минимумов ES3 меньше всех седловых энергий. Меньшие две энергии локальных максимумов совпадают:45ES1c = ES1b < ES1a . Все энергии локальных максимумов находятся выше всех седловых уровней.Первый октант показан рис. 2.6 вверху слева. Седло S2a не имеет точек с такой же энергией на границе криволинейного треугольника, поэтому его сепаратрисы образуют петлю, котораядолжна содержать (единственный) локальный минимум S3.Для седел S2b и S2c имеются две точки на стороне S1b-S1c с такой же энергией.

Поэтому возможны 3 случая: 1) сепаратрисыобоих седел замыкаются на себя, а точки на стороне соединены регулярной линией уровня; 2) сепаратрисы одного из седелзамыкаются на себя, а другого – попадают в точки на стороне;3) сепаратрисы седел соединяют их друг с другом; 4) одна сепаратриса этих седел общая, а две другие попадают в точки настороне.

Однако в обоих случаях 1 и 2 требуется наличие отличного от S3 локального минимума в петле, а в случае 3 – в области между двумя сепаратрисами, а на самом деле локальныйминимум единствен. Поэтому возможно только расположениесепаратрис 4, которое и изображено на рис. 2.6.С помощью отражений относительно координатных плоскостейполучаем весь граф сепаратрис на сфере, рис.

2.6 вверху справа.Определяя по каждой его связной компоненте соответствующийплоский атом и соединяя ребрами атомы, ограничивающие однуи ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.6 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числом окружностейв прообразе для значений энергии из каждой камеры (цифрысправа от оси). Справа изображена молекула, соответствующаяслоению Лиувилля.На верхнем седловом уровне расположен атом сложности 8,изображенный на рис.

2.7, который обозначен буквой K.46I.1.d. Все параметры εi совпадают.В этом случае совпадают все седловые уровни гамильтониана ивсе уровни его локальных максимумов.Первый октант показан рис. 2.8 вверху слева. Все седла не имеют точек с такой же энергией на границе треугольника, кромесамих седел, а значит их сепаратрисы замыкаются на сами седла. Ни одно из седел не может иметь сепаратрисы, образующиепетлю. Действительно, в таком случае внутри нее должен лежать локальный минимум. Но два оставшихся седла должнылибо каждое замыкаться на себя, либо друг на друга.

В обоихслучаях есть либо петля, либо область между сепаратрисами, вкоторой должен лежать еще один локальный минимум, которого не существует. Итак, сепаратрисы каждого седла соединяютего с двумя другими седлами.С помощью отражений относительно координатных плоскостейполучаем весь граф сепаратрис на сфере, рис.

2.8 вверху справа.Определяя по каждой его связной компоненте соответствующийплоский атом и соединяя ребрами атомы, ограничивающие однуи ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.8 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числом окружностейв прообразе для значений энергии из каждой камеры (цифрысправа от оси).

Справа изображена молекула, соответствующаяслоению Лиувилля.На седловом уровне расположен атом сложности 12, изображенный на рис. 2.9, который обозначен буквой L. Это так называемый максимально симметричный атом, соответствующий кубуи октаэдру, [8].47I.2. Не выполнено одно из условий:ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 > 0−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0Пусть для определенности ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 < 0. В этом случаене существуют критические точки типа S3 (лемма 6), точки S2aявляются точками локального минимума (лемма 8), точки S2b, S2cявляются седловыми, точки S1 являются точками локального максимума гамильтониана.Здесь также возникают случаи в зависимости от совпадения некоторых из критических уровней энергии.

Из условий, задающих рассматриваемый случай, следует, что ε1 < ε2 и ε1 < ε3 . Отсюда следует, что верхние две энергии ES1a , ES1b локальных максимумовнаходятся выше, чем обе седловые энергии ES2b , ES2c . Параметрыε2 и ε3 могут совпадать.I.2.a ε2 6= ε3 .Пусть для определенности ε2 < ε3 . В этом случае седловые уров-ни энергии связаны неравенством: ES2b < ES2c . Нижний из уровеней энергии локальных максимумов ES1c может находитьсялибо выше обоих седловых уровней, либо между ними.I.2.a.i. ES1c > ES2c .Первый октант показан рис.

Характеристики

Список файлов диссертации