Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В теории топологической классификации гамильтоновых систем А.Т. Фоменко этот тип был назван атомом,[8]. Число критических точек в особом слое называется сложностью атома.Край окрестности особого слоя составляют граничные окружности, образующие два слоя, соответствующие значениям гамильтониана, чуть меньшему и чуть большему критического. При дальнейшем изменении уровнягамильтониана эти окружности изотопно смещаются, и, сопоставив каждойиз них точку, мы получаем ребра, входящие в данный атом и выходящие изнего (направление на ребрах выбирается в сторону возрастания значенийгамильтониана).
В итоге атомы, соединенные ребрами, образуют граф, называемый молекулой функции Морса H. Молекулы считаются одинаковыми, если существует гомеоморфизм одного графа на другой, переводящийребра в ребра, атомы в соответствующие атомы и продолжаемый на самиатомы как окрестности особых слоев, [8]. Сформулированная выше теорема7 утверждает, что две функции Морса на ориентированных поверхностяхпослойно эквивалентны с сохранением ориентации тогда и только тогда,когда их молекулы одинаковы.34Применим эту схему классификации к редуцированной системе для геодезических на деформированной сфере, представляющей собой алгебраическую поверхность следующего вида.
Рассмотрим деформацию стандартнойдвумерной сферы в виде суммы четвертых степеней координат с различными коэффициентами:ϕ(~x) ≡ x21 + x22 + x23 − 1 + ε ψ(~x) = 0,ε 1,ψ(~x) = ε1 x41 + ε2 x42 + ε3 x43 .(2.2)Утверждение 2. Для возмущения сферы четвертыми степенями (2.2)гамильтониан редуцированной системы имеет вид:H=3 ε ε1 (L22 + L23 )2 + ε2 (L21 + L23 )2 + ε3 (L21 + L22 )2 .8(2.3)Утверждение получается прямым вычислением по формуле (1.22) дляфункции ψ вида (2.2).Усредненный гамильтониан обладает следующей симметрией, котораябудет многократно использоваться в дальнейших построениях.Лемма 5.
Гамильтониан (2.3) симметричен относительно каждого изотражений:L1 → −L1 ,L2 → −L2 ,L3 → −L3 .(2.4)~2 =Замечание. Из этой симметрии следует, что слоение на всей сфере L1 может быть получено из его части, расположенной в первом октанте L1 >0, L2 > 0, L3 > 0, с помощью комбинаций отражений, указанных в лемме.Перейдем к построению инвариантов А.Т.
Фоменко в рассматриваемомслучае, в результате чего гамильтонианы (2.3) будут классифицированы сточностью до послойной эквивалентности (в случае, когда они являютсяфункциями Морса).35~ 2 = 1. ОниОпределим критические точки гамильтониана (2.3) на сфере Lсовпадают со стационарными точками соответствующей гамильтоновой системы уравнений (точки, где градиент гамильтониана ортогонален к сфере,~ В рассматриваемом случае уравнения (1.21) диа значит, параллелен L).намики редуцированной системы имеют вид:L̇1 =L̇2 =L̇3 =3εL2 L3 ε2 L21 + L23 − ε3 L21 + L22 ,23εL1 L3 ε3 L21 + L22 − ε1 L22 + L23 ,2(2.5)3εL1 L2 ε1 L22 + L23 − ε2 L21 + L23 .2Лемма 6.
В зависимости от параметров ε1 , ε2 , ε3 система (2.5) на сфере~ 2 = 1 может иметь стационарные точки следующих трех видов:LS1 Точки на координатных осях. Существуют при любых значениях параметров ε1 , ε2 , ε3 . Значения момента и гамильтониана в стационарныхточках равны:a. L1 = ±1,3ε (ε2 + ε3 );83= ε (ε3 + ε1 );83= ε (ε1 + ε2 );8L2 = 0,L3 = 0,H = ES1a =b. L1 = 0,L2 = ±1,L3 = 0,H = ES1bc. L1 = 0,L2 = 0,L3 = ±1,H = ES1cS2 Точки в координатных плоскостях. Существуют при условиях ε2 ε3 > 0,ε3 ε1 > 0, и ε1 ε2 > 0 соответственно.
Значения момента и гамильтонианав стационарных точках равны (знаки независимы):rrε2ε3, L3 = ±,a. L1 = 0, L2 = ±ε2 + ε3ε2 + ε33 ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1H = ES2a = ε;8ε2 + ε3rrε3ε1b. L2 = 0, L3 = ±, L1 = ±,ε3 + ε1ε3 + ε1363 ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1;ε8ε3 + ε1rrε1ε2c. L3 = 0, L1 = ±, L2 = ±,ε1 + ε2ε1 + ε23 ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1;H = ES2c = ε8ε1 + ε2S3 Точки внутри октантов. Существуют, если выполнены все неравенства:H = ES2b =ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 > 0(2.6)−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0Значения момента и гамильтониана в стационарных точках равны (знаки независимы):rrε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1, L2 = ±,L1 = ±ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1r3ε1 ε2 ε3−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1L3 = ±,H = ES3 = ε.ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε12 ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1~ на сфере L~2 =Доказательство.
Все три компоненты вектора момента L1 не могут одновременно обратиться в ноль. Если некоторые две из нихравны нулю, то правые части системы (2.5) обращаются в ноль. Это дает 6стационарных точек типа S1, лежащих на пересечении координатных осейсо сферой.~Рассмотрим случай, когда только одна из компонент вектора момента Lравна нулю, например L1 = 0. Тогда правые части второго и третьего уравнений обращаются в ноль, а приравнивание к нулю правой части первогоуравнения приводит к уравнению серии S2, a: ε3 L22 − ε2 L23 = 0. Каждая изсерий S2a, S2b, S2c дает по 4 стационарных точки, отличающихся знакамидвух ненулевых компонент момента.~ не равна нулю.Наконец, пусть ни одна из компонент вектора момента LДля нахождения таких стационарных точек необходимо приравнять нулювыражения в квадратных скобках в каждой из правых частей уравнений37(2.5).
Отсюда получаем систему уравнений для точек типа S3. Вариациязнаков компонент момента дает 8 стационарных точек этого типа.Заметим для дальнейшего, что из системы неравенств (2.6) следует, чтовсе εi имеют один знак.Замечание. С помощью зеркальных симметрий (2.4) любая точка внутри каждой из серий S1a, S1b, S1c, S2a, S2b, S2c, S3 может быть переведенав любую другую точку этой же серии. Поэтому если одна из точек сериивходит в атом определенного типа, то и все остальные точки этой сериитоже должны входить в атомы того же типа.~ на сфере L~ 2 = 1 является невыКритическая точка гамильтониана H(L)рожденной, если в этой точке невырождена матрица вторых производныхгамильтониана по локальным координатам на сфере.
Вычисление показывает, что указанные в лемме критические точки являются вырожденнымипри следующих условиях.Лемма 7. Критические точки S1, S2, S3 из леммы 6 являются вырожденными при следующих условиях соответственно:S1 a. ε2 ε3 = 0;b. ε3 ε1 = 0;c. ε1 ε2 = 0.S2 a. ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 = 0;b. ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 = 0;c.
−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 = 0.S3Если выполнено хотя бы одно из условий:ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 = 0;ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 = 0;−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 = 0.38(2.7)Рассмотрим случай, когда все критические точки гамильтониана на сфере невырождены, и он является, следовательно, функцией Морса. По лемме7 для этого достаточно выполнения условий:εi 6= 0,i = 1, 2, 3,ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 6= 0,ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 6= 0,(2.8)−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 6= 0.Невырожденные критические точки делятся на точки максимума, минимума и седловые точки в зависимости от сигнатуры второго дифференциала функции в этих точках. Подсчет приводит к следующим условиям дляпринадлежности найденных точек этим категориям.Лемма 8.
Критические точки серий S1, S2, S3 из леммы 6 имеют следующие типы:S1 a. Максимум, если ε2 , ε3 оба положительны;минимум, если ε2 , ε3 оба отрицательны;седло, если ε2 , ε3 разных знаков;b. Максимум, если ε3 , ε1 оба положительны;минимум, если ε3 , ε1 оба отрицательны;седло, если ε3 , ε1 разных знаков;c. Максимум, если ε1 , ε2 оба положительны;минимум, если ε1 , ε2 оба отрицательны;седло, если ε1 , ε2 разных знаков;S2 a. Максимум, если ε2 , ε3 оба отрицательны и ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 < 0;минимум, если ε2 , ε3 оба положительны и ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 < 0;седло, если ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0;b. Максимум, если ε3 , ε1 оба отрицательны и ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 < 0;минимум, если ε3 , ε1 оба положительны и ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 < 0;39седло, если ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 > 0;c. Максимум, если ε1 , ε2 оба отрицательны и −ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 < 0;минимум, если ε1 , ε2 оба положительны и −ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 < 0;седло, если −ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0;Максимум, если все εi отрицательны; минимум, если все εi поло-S3жительны (напомним, что эта серия точек существует только если εiимеют один знак).Тем самым для любого набора параметров поверхности εi , удовлетворяющего условию (2.8) невырожденности всех критических точек гамильтониана, с помощью лемм 6, 8 вычисляются все имеющиеся критические точкии определяются их типы.Образы критических точек образуют бифуркационную диаграмму напрямой значений гамильтониана.
В зависимости от параметров εi эта диаграмма принимает разный вид, и гамильтониан имеет различные молекулы. Разберем последовательно возникающие здесь топологически различные случаи, каждый из которых соответствует некоторой области в трехмерном пространстве параметров εi , i = 1, 2, 3. Поскольку гамильтонианоднороден относительно этих параметров, то можно ограничиться векторами (ε1 , ε2 , ε3 ), лежащими на сфере ε21 + ε22 + ε23 = 1. При этом наборампараметров (ε1 , ε2 , ε3 ) и −(ε1 , ε2 , ε3 ) соответствуют гамильтонианы, отлича-ющиеся только знаком, поэтому можно ограничиться полусферой, заданнойусловием ε3 > 0, которую мы будем изображать в проекции на плоскостьε1 , ε2 .I.
Все параметры εi положительны: εi > 0, i = 1, 2, 3.В этом случае существуют все критические точки типа S2 (лемма6), точки S1 являются точками локального максимума гамильтониана (лемма 8), а точки S3, при условии, что они существуют, – точкамилокального минимума гамильтониана.Внутри этого случая имеются следующие подслучаи.40I.1. Выполнены условия, при которых существуют критические точкиS3 (лемма 6), а точки S2 являются седлами (лемма 8):ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 > 0−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 > 0Здесь возникают случаи в зависимости от совпадения некоторыхиз критических уровней энергии.I.1.a.
Все εi различны.В этом случае все уровни энергии ES2a , ES2b , ES2c трех серийседловых точек различны. Допустим для определенности, чтоε1 < ε2 < ε3 . Тогда энергия локальных минимумов ES3 меньше всех седловых энергий, а последние имеют следующий порядок возрастания: ES2a < ES2b < ES2c . При этом энергии локальных максимумов имеют следующий порядок возрастания:ES1c < ES1b < ES1a и две бо́льшие из них находятся выше всехседловых уровней.Для меньшего из локальных максимумов ES1c есть две возможности: он может находиться либо выше всех седловых уровней,либо между верхними седловыми уровнями ES2b и ES2c .I.1.a.i.
ES1c > ES2c .Рассмотрим часть слоения Лиувилля, расположенную в первом октанте L1 > 0, L2 > 0, L3 > 0. На сфере эти условия высекают криволинейный треугольник. На рис. 2.1 вверху слеваизображена проекция этого треугольника на плоскость L1 L2вместе с критическими точками усредненного гамильтонианаH. В этот треугольник попадает ровно по одной критическойточке из серий S1a, S1b, S1c, S2a, S2b, S2c, S3, причем точкимаксимума S1a, S1b, S1c – это вершины треугольника (точкина координатных осях), седловые точки S2a, S2b, S2c лежат41на противоположных к соответствующим вершинам сторонах, точка минимума S3 лежит внутри треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
