Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[40]).В задаче о геодезических на деформированных сферах редукция осуществляется с помощью интегрального преобразования, относящегося к интегральной геометрии, – лучевого преобразования. Оно сопоставляет функции на (n − 1)-мерной сфере ее интегралы по всевозможным большим кру-гам этой сферы – ее сечениям двумерными плоскостями. В результате возникает функция на многообразии Грассмана G(2, n).
В настоящей рабо-те доказывается теорема о том, что гамильтониан редуцированной системы пропорционален лучевому преобразованию, примененному к функцииψ(x1 , x2 , . . . , xn ), задающей деформацию сферы (теорема 3). Алгебра Пуассона, на которой определяется редуцированная система, соответствует алгебре Ли so(n) и вводится с помощью компонент многомерного угловогомомента, которые отождествляются с плюккеровыми координатами двумерных плоскостей, задающих большие круги.Преобразования типа лучевого изучались в многочисленных работах поинтегральной геометрии, начиная с исследований Минковского [45], Функа[46], Радона [47], Йона [48].
Примечательно, что работа Функа была связанакак раз с проблемой геодезических, а именно посвящена задаче о поверхностях, на которых все геодезические замкнуты. Преобразование Функа–Минковского состоит в интегрировании функции на двумерной сфере побольшим кругам, преобразование Радона – в интегрировании функции на8плоскости по прямым и, более общо, в n-мерном пространстве по гиперплоскостям. Лучевое преобразование Йона для функции в 3-мерном пространстве состоит в интегрировании по прямым в этом пространстве. В этих ипоследующих работах были исследованы свойства этих преобразований иих обобщений, и прежде всего, их образ и формулы обращения, [14], [15].В дальнейшем И.М.
Гельфандом и М.И. Граевым понятия и задачи интегральной геометрии были обобщены на случай однородных пространств иисследованы в связи с теорией представлений групп, [49], [50], [51]. Отметим, что методы интегральной геометрии были применены к гамильтоновым системам Э.Б.
Винбергом в работе [52].В настоящей работе используется аналог лучевого преобразования дляфункций на (n − 1)-мерной сфере, [14], сопоставляющий функции на сфереее интегралы по большим кругам. Благодаря применению результатов интегральной геометрии выводится условие, при котором функция на грассманиане является образом лучевого преобразования некоторой функциина сфере и, тем самым, является гамильтонианом редуцированной системыдля системы геодезических на сфере с некоторой деформацией (теорема11).
Таким условием в случае сферы S 3 является ультрагиперболическоеуравнение Йона, исследованное им в упомянутой работе [48] в связи с лучевым преобразованием. Таким образом, среди гамильтоновых систем наалгебре Ли-Пуассона so(4) выделяется класс гамильтонианов, удовлетворяющих этому уравнению, которые задают усредненные системы для геодезических на деформированных сферах. Представляет интерес изучениеэтого класса и соответствующих следствий для геодезических в контексте многочисленных исследований по гамильтоновой динамике на алгебреso(4), [30], и, в более общем случае, на алгебре so(n). Одним из результатовв этом направлении является полученный в настоящей работе изоморфизмредуцированной системы для (n − 1)-мерного эллипсоида, близкого к сфе-ре, с интегрируемым случаем Манакова для уравнений Эйлера на алгебреЛи so(n) (теорема 13).9Во второй главе в качестве примера, для которого редуцированная система допускает полное топологическое исследование, рассматривается содержательный класс алгебраических двумерных поверхностей четвертогопорядка.
Редуцированная система в этом случае является гамильтоновойсистемой с гамильтонианом четвертой степени на алгебре Ли so(3). Длянее производится топологическая классификация слоения Лиувилля путемвычисления инвариантов А.Т. Фоменко в зависимости от параметров полинома, задающего деформацию сферы (теорема 10). При этом симметриярассматриваемой деформации сферы влечет последствия для топологии лиувиллева слоения редуцированной системы.Следует отметить, что значительный интерес представляет изучение геодезических на алгебраических поверхностях, см., например, работы В.В.Козлова [34], где доказывается неинтегрируемость задач о геодезическихна определенных классах алгебраических поверхностей, и [35], где сформулированы общие нерешенные проблемы из этой области.
Интерес к этойтематике связан, с одной стороны, с тем, что такие задачи возникают в приложениях; в частности, в работе Римана [36] обнаружена связь уравненийдинамики жидкого эллипсоида при определенных условиях с геодезическими на кубической алгебраической поверхности:xyz = const,см. также [37]. С другой стороны, представляет интерес исследование связи свойств геодезических на алгебраических поверхностях со свойствамиэтих многообразий, изучаемыми алгебраической геометрией.
В настоящейработе прослеживается связь свойств полинома, определяющего алгебраическую поверхность – деформированную сферу, с топологией слоения Лиувилля редуцированной системы.Для деформированных трехмерных сфер, обладающих симметрией относительно вращений в некоторой двумерной плоскости, и система геодезических, и редуцированная система обладают дополнительным интегралом –10компонентой момента, соответствующей этой плоскости. Для редуцированной системы, ввиду ее меньшей размерности, этого интеграла достаточнодля полной интегрируемости (теорема 12), в отличие от исходной системыдля геодезических. Редуцированная система здесь является системой с двумя степенями свободы на алгебре Ли-Пуассона so(4) с линейным интегралом и допускает топологическую классификацию в терминах инвариантовА.Т.
Фоменко гамильтоновых систем. Представляет интерес изучение возможных ограничений на топологию этих систем, связанных как с наличиемлинейного интеграла, так и с ультрагиперболическим уравнением.Третья глава посвящена исследованию гамильтоновой системы, описывающей динамику двух классических спинов в постоянном внешнем магнитном поле. Эта система используется для описания намагниченности вмагнетиках, [53], [54].
Используя симметрию задачи, мы осуществляем еередукцию к системе с двумя фазовыми переменными, которая допускаетисследование с помощью построения фазового портрета.В диссертации получены следующие основные результаты1. Разработана методика применения преобразований интегральной геометрии для редукции уравнений геодезических на деформированных сферах.2. С помощью данной методики решена задача определения топологииредуцированных систем для содержательного класса алгебраических поверхностей, близких к стандартной сфере.Приведем краткий перечень результатов диссертации.В главе 1 с помощью стандартного метода усреднения теории возмущений [20] строится асимптотическая гамильтонова редукция системы уравнений геодезических на деформированных сферах к системе меньшей размерности.Лемма 1 главы 1 устанавливает, что усреднение функции на сфере попериоду точного решения уравнений геодезических на стандартной сфереравно с точностью до постоянного множителя лучевому преобразованию11этой функции, известному в интегральной геометрии [14].Теорема 2 главы 1 утверждает, что применение стандартного методаусреднения теории возмущений [20] к задаче о геодезических на деформированной (n − 1)-мерной сфере ~x2 − 1 + ψ(~x) = 0 приводит к динамическойсистеме на многообразии Грассмана G(2, n), имеющей в плюккеровых координатах вид:Здесь mij = xi ∂x∂ jεl˙ij = −(J ◦ mij ψ) (ˆl),2π− xj ∂x∂ i ; J – лучевое преобразование.(1)Теорема 3 главы 1 устанавливает, что система (1.12) является гамильтоновой со скобками Пуассона, определяемыми алгеброй Ли so(n) и гамильтонианом:εJψ.H(ˆl) =2π(2)Теорема 4 главы 1, следующая из теории КАМ [20], [21], утверждает, чтодля аналитических деформаций двумерной сферы, при выполнении условия невырожденности усредненной системы и достаточно малой деформации, траектории углового момента в системе уравнений геодезических навсем своем протяжении близки к траекториям усредненной системы.Теорема 5 главы 1, следующая из теоремы Фату [20], утверждает, что длягладких деформаций (n − 1)-мерной сферы различие значений момента вточной и усредненной системах имеет порядок ε в течение времени 1/ε.Теорема 6 главы 1, следующая из теории КАМ [20], [21], утверждает,что для аналитических деформаций (n − 1)-мерной сферы, при которыхусредненная система интегрируема и невырождена, при достаточно малойдеформации, для большинства начальных условий значения переменных«действие» усредненной системы, вычисленные на решениях системы длягеодезических, при любых t близки к их начальным значениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
