Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Скобка Ли-Пуассона (1.15) превращает его в пуассоново многообразие, на котором, вообще говоря, и определена система (1.21),(1.22). Однако, как было замечено выше, компоненты углового момента частицы (они же – плюккеровы координаты двумерной плоскости текущегобольшого круга) удовлетворяют соотношениям Плюккера (1.5).
Поэтомуинтересующие нас траектории системы (1.21) должны полностью лежать26на многообразии, задаваемом этими соотношениями, – многообразии Грассмана G(2, n) размерности 2n − 4 (напомним, что lij – однородные коорди-наты, и для однозначного соответствия с плоскостями нужно отождествитьматрицы вида α ˆl, α ∈ R).Принадлежность траекторий многообразию G(2, n) обеспечивается сле-дующим общим фактом: это многообразие инвариантно относительно любой гамильтоновой системы со скобками (1.15). Это следует из того, чтоG(2, n) – пуассоново подмногообразие в so(n) со скобками (1.15). Последнееозначает, что ограничение на G(2, n) скобки Пуассона двух произвольныхфункций на so(n) зависит только от значений этих функций на G(2, n),[30]. Это, в свою очередь, следует из следующего свойства: скобки Пуассона левых частей соотношений Плюккера lj[k1 lk2 k3 ] , задающих G(2, n), совсеми переменными lij равны либо нулю, либо ±lp[q1 lq2 q3 ] для некоторыхp, q1 , q2 , q3 .
Поскольку на многообразии Грассмана G(2, n) все эти полиномы равны нулю, то в силу вышесказанного они имеют на G(2, n) нулевыескобки Пуассона со всеми переменными lij . Тем самым они являются интегралами движения для тех траекторий гамильтоновых систем, которыестартуют с G(2, n), а значит эти траектории остаются на G(2, n) на всемсвоем протяжении.Итак, усредненная система (1.21) ограничивается на инвариантное пуассоново подмногообразие G(2, n) размерности 2n − 4 в пространстве пере-менных lij , i < j, имеющем размерность n(n − 1)/2.С точки зрения матрицы lij принадлежность многообразию G(2, n) экви-валентна разложимости в виде внешнего произведения двух векторов, или,что то же, тому, что матрица lij имеет ранг 2.
В алгебре Ли so(n) эти матрицы образуют орбиту коприсоединенного представления группы SO(n),см. [30].271.9Связь траекторий момента в точной и редуцированной системахРассмотрим вопрос о связи решений точной системы уравнений геодезических и усредненной системы для углового момента.В случае двумерных сфер применение КАМ-теории для систем с собственным вырождением, [20], [21], приводит к следующему утверждению.Теорема 4. Если для деформированной двумерной сферыx21 + x22 + x23 − 1 + ε ψ(x1 , x2 , x3 ) = 0с аналитической функцией деформации ψ(x1 , x2 , x3 ) усредненная системаудовлетворяет хотя бы в одной точке условию невырожденностиd2 H6= 0dI 2(1.23)(I – переменная «действие» усредненной системы) и ε достаточно мало, то, за исключением малых вместе с ε окрестностей конечного числафазовых траекторий усредненной системы, на которых условие невырожденности нарушается, для всех остальных начальных точек траекторииуглового момента в системе геодезических на всем своем протяжениинаходятся в малой вместе с ε окрестности совместных линий уровня~ сопряженного быстрой фазе, и гамильтониана H(L)~ усреддействия |L|,ненной системы для момента, отвечающих их начальным значениям.
Вчастности, условие (1.23) выполнено, если усредненная система имеетседловую стационарную точку.Усредненные системы для двумерных деформированных сфер, рассмотренные в главе 2, имеют седловые точки и, следовательно, удовлетворяютусловиям этой теоремы.Для многомерных сфер общего вида теорема Фату для систем с однойбыстрой фазой, [20], дает следующее утверждение о связи точной и усред28ненной систем.Теорема 5. Для деформированной сферыx21 + x22 + .
. . + x2n − 1 + ε ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0с гладкой функцией деформации ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) различие значений момента в точной и усредненной системах остается малым в течение времени 1/ε:aver(t)| < c ε,|lij (t) − lij1при 0 6 t 6 ,εaver(0).если lij (0) = lijКроме того, для многомерных сфер, для которых усредненная системаинтегрируема, КАМ-теория для систем с собственным вырождением, [20],[21], приводит к следующему результату.Теорема 6. Пусть для деформированной сферыx21 + x22 + . . . + x2n − 1 + ε ψ(x1 , x2 , . .
. , xn ) = 0с аналитической функцией деформации ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) усредненная система интегрируема и удовлетворяет условию невырожденности: определитель матрицы вторых производных усредненного гамильтониана поего переменным «действие» не обращается тождественно в нуль: 2 d H dI 2 6= 0.Тогда при достаточно малом ε для большинства начальных условий значения действий усредненной системы на решениях системы для геодезических при любых t близки к их начальным значениям. «Большинствоначальных условий» означает, что мера Лебега дополнения к этому множеству стремится к нулю вместе с возмущением.29Глава 2Топология решений редуцированной системы длянекоторых классов алгебраических поверхностейНа этапе исследования расположения геодезических на конкретных поверхностях ключевую роль играют топологические методы.
В частности,для двумерных деформированных сфер с помощью построенной асимптотической редукции удается осуществить полный топологический анализ редуцированной системы в терминах топологических инвариантов А.Т. Фоменко гамильтоновых систем, [8]. Далее излагается такой анализ для содержательного класса деформированных сфер, являющихся алгебраическими поверхностями 4-й степени. Для трехмерных деформированных сфервращения редуцированная система оказывается интегрируемой системой сдвумя степенями свободы и также допускает исследование методами теории топологической классификации интегрируемых систем.
(n − 1)-мерныйэллипсоид порождает редуцированную систему, являющуюся частным случаем интегрируемой системы Манакова на алгебре Ли so(n).2.1Двумерные деформированные сферыРассмотрим случай n = 3, т.е. случай двумерной деформированной сферы в трехмерном евклидовом пространстве.
Угловой момент в трехмерном пространстве имеет три существенные компоненты: l12 , l13 , l23 . В этомслучае удобно ввести, как это обычно и делают, вместо кососимметри~ по формуле:ческой матрицы lij трехмерный вектор углового момента L30Li = εijk ljk , что в явном виде выглядит как~ = (L1 , L2 , L3 ) = (l23 , −l13 , l12 ).LСкобки Пуассона для компонент вектора момента имеют вид:{Li , Lj } =3Xεijk Lk .(2.1)k=1~ 2 = L21 +Скобки (2.1) имеют одну функцию Казимира – квадрат момента LL22 + L23 . Фиксируя ее значение, получаем, что редуцированную систему~ 2 = const (в дальнейшем предполагаем L~2 =можно ограничить на сферу L1).~ редуцированной системы, в соответствии с общейГамильтониан H(L)схемой (1.21), (1.22), получается из функции ψ(~x) с помощью лучевого преобразования, которое в случае двумерной сферы называют преобразованием Функа-Минковского.
Отсюда следует, что гамильтониан – четная функ~ = H(L)~ (векторы L~ и −L~ соответствуют одному и тому жеция: H(−L)ортогональному к ним большому кругу, по которому ведется усреднение).~Поэтому, отождествляя диаметрально противоположные точки сферы L~ получаем систему на проективной плоскости RP2 . Каждая ее точкаи −L,~ λ ∈ R в пространстве момента и однозначно соотесть прямая вида λL,ветствует ортогональному к ней большому кругу. Итак, редуцированнаясистема определена на грассманиане G(2, 3), гомеоморфном проективнойплоскости.По теореме Лиувилля, [8], получаем следующее утверждение.Утверждение 1. Для двумерных деформированных сфер в трехмерномпространстве редуцированная система есть интегрируемая гамильтонова система с одной степенью свободы, определенная на фазовом пространстве RP2 .Траекториями системы являются линии уровня гамильтониана H =31const на RP2 .
Топология слоения, порождаемого этой функцией, характеризуется инвариантами А.Т. Фоменко, называемыми молекулами, [8], сточностью до так называемой послойной эквивалентности.Определение. [8] Функции Морса f и g на поверхностях X 2 и Y 2 называются послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизмλ : X 2 → Y 2,переводящий связные компоненты линий уровня функции f в связные компоненты линий уровня функции g.Каждой функции Морса ставится в соответствие инвариант ее слоения,называемый молекулой и представляющий собой граф с метками. Вводитсяпонятие одинаковых молекул, позволяющее сравнивать данные инварианты, построенные для различных функций.Основным результатом является следующая теорема классификациифункций Морса с точностью до послойной эквивалентности.Теорема 7.
[8] Пусть (X 2 , f ) и (Y 2 , g) – две ориентированные поверхности с функциями Морса и W, W 0 – соответствующие им молекулы. Тогдапары (X 2 , f ) и (Y 2 , g) послойно эквивалентны с сохранением ориентациив том и только в том случае, когда молекулы W и W 0 одинаковы.Итак, классификация слоений, порождаемых функциями Морса, с точностью до послойной эквивалентности сводится к вычислению молекул этихфункций. Тем самым для гамильтоновой системы с одной степенью свободы подсчет молекулы ее гамильтониана позволяет классифицировать этусистему с точностью до диффеоморфизма фазовых пространств, переводящего траектории в траектории.322.2Полиномиальность редуцированного гамильтониана для полиномиальных деформаций двумерной сферыВ теории преобразования Функа-Минковского (частный случай лучевогопреобразования, относящийся к двумерной сфере), [14], доказывается следующий факт.Теорема 8.
[14] Пространства H2k функций на сфере, являющихсяограничениями на нее однородных гармонических полиномов степени2k, являются собственными подпространствами преобразования ФункаМинковского: если f ∈ H2k , тоJf = λk f,1√k Γ(n + 2 )где λk = 2 π(−1).Γ(n + 1)Отсюда получаем следующее утверждение.Теорема 9. Если функция ψ(x1 , x2 , x3 ), задающая деформацию сферы, является четным полиномом, то соответствующий гамильтониан редуцированной системы H(L1 , L2 , L3 ) также является четным полиномомтой же степени.Доказательство. Действительно, разлагая ψ(x1 , x2 , x3 ) по собственнымподпространствам, имеем:ψ=kXψi ,i=0поэтомуk– полином степени 2k.εε XH=Jψ =λi ψi2π2π i=0332.3Топологическая классификация редуцированных систем длядвумерной сферы с деформацией четвертыми степенями координатТопологическая классификация слоений Лиувилля систем с одной степенью свободы осуществляется следующим образом, [8].
В системах с однойстепенью свободы аналогом отображения момента является сама функциягамильтониан H. Образ множества критических точек на прямой значенийгамильтониана есть бифуркационная диаграмма. Эти точки делят прямуюна камеры. Прообраз любой точки внутри камеры – конечное число окружностей. При переходе из камеры в камеру число окружностей может изменяться, происходит бифуркация. Каждая связная компонента окрестностиособого слоя гамильтониана имеет некоторый топологический тип с точностью до послойной эквивалентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
