Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 3
Текст из файла (страница 3)
«Большинство начальных условий» означает, что мера Лебега дополнения к этомумножеству стремится к нулю вместе с возмущением.В главе 2 рассматриваются конкретные примеры деформированных12сфер.Утверждение 1 главы 2 состоит в том, что для двумерных деформированных сфер усредненная система есть интегрируемая гамильтонова системас одной степенью свободы, определенная на фазовом пространстве RP2 .В теореме 9 главы 2 устанавливается полиномиальность гамильтониана редуцированной системы для полиномиальной деформации двумернойсферы.В утверждении 2 главы 2 устанавливается вид гамильтониана усредненной системы для деформации сферы с помощью полинома 4-го порядкаϕ(~x) ≡ x21 + x22 + x23 − 1 + ε ψ(~x) = 0,ε 1,ψ(~x) = ε1 x41 + ε2 x42 + ε3 x43 .Теорема 10 главы 2 утверждает, что молекулы А.Т. Фоменко [1] дляусредненной системы при этой деформации имеют вид указанных восьмимолекул.Теорема 11 главы 2 устанавливает, исходя из свойств лучевого преобразования, что гамильтониан усреденной системы для трехмерной деформированной сферы удовлетворяет ультрагиперболическому уравнению Йона:∂ 2H∂ 2H∂ 2H−+= 0.∂l12 ∂l34 ∂l13 ∂l24 ∂l14 ∂l23(3)Теорема 12 главы 2 утверждает, что для деформаций трехмерной сферы,имеющих осевую симметрию, усредненная система является интегрируемойгамильтоновой системой с двумя степенями свободы.Теорема 13 главы 2 устанавливает, что для (n − 1)-мерного эллипсоида,близкого к сфере, усредненная система является частным случаем интегрируемого случая Шоттки-Манакова для уравнений Эйлера на алгебреЛи so(n).В главе 3 рассматривается гамильтонова система двух классических спинов в магнитном поле, использумая для описания намагниченности в магнетиках.В теореме 14 главы 3, с использованием симметрии задачи, производит13ся редукция этой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы кгамильтоновой системе с одной степенью свободы, допускающей исследование путем построения фазового портрета.Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55], [56], [57],[58], [59].Автор благодарит профессора Войслава Любомировича Голо за научноеруководство.Автор глубоко признателен заведующему кафедрой дифференциальнойгеометрии и приложений академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменкоза внимание к этой работе и полезные дискуссии, позволившие существенноповысить качество работы.Автор выражает благодарность профессору С.Ю.
Доброхотову, доцентуЕ.А. Кудрявцевой, профессору А.И. Нейштадту, доценту А.А. Ошемкову,члену-корреспонденту РАН Д.В. Трещеву, профессору А.И. Шафаревичуза полезные дискуссии.Автор признателен коллективу кафедры дифференциальной геометриии приложений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова за интерес к этой работе.14Глава 1Асимптотическая гамильтонова редукция длягеодезических на деформированных сферах1.1Уравнения Лагранжа первого рода для геодезическихМы рассматриваем (n−1)-мерные гиперповерхности в n-мерном евклидовом пространстве, близкие к стандартной сфере и задаваемые уравнениемвида:ϕ ≡ x21 + x22 + .
. . + x2n − 1 + ε ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,(1.1)где ε – малый параметр и ψ(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ C 2 (Rn ) – функция координатx1 , x2 , . . . , xn . Проблема разрешения данной связи, вообще говоря, весьмасложна, и нахождение параметризации этой гиперповерхности в общем случае представляет большие трудности.
Более результативный подход опирается на то, что задача эквивалентна свободному движению частицы, на которое наложена приведенная выше связь, [19]. Поэтому мы можем записатьуравнения геодезических в форме уравнений Лагранжа первого рода:∂ϕ.~x¨ = λ∂~x15(1.2)Множитель Лагранжа λ задается формулой:22˙~x · ∂ ϕ · ~x˙˙~x2 + ε ~x˙ · ∂ ψ · ~x˙22∂~xλ = − ∂~x 2 = − 2 ,∂ψ∂ϕ~x + ε∂~x∂~x∂ 2ψ∂~x2ij∂ 2ψ=.∂xi ∂xj(1.3)При ε = 0 траектории системы (1.2) – геодезические на сфере, т.е. большиекруги. Поэтому мы можем описать геодезические на гиперповерхности, т.е.деформированной сфере, с помощью теории возмущений. Для этого мыприменяем стандартный метод усреднения, [18].1.2Асимптотическое описание геодезических на деформированных сферахНаши рассуждения основаны на следующем наблюдении. Рассмотрим деформированную сферу D, определяемую уравнением (1.1), и стандартнуюсферу S, соответствующую случаю ε = 0.
Поскольку ε 1, то геодези-ческая на малых интервалах времени проходит вблизи большого круга –сечения поверхности D двумерной плоскостью, проходящей через началокоординат. С течением времени положение большого круга, приближающего текущий виток геодезической, медленно изменяется. Это изменениепорождает траекторию на многообразии всех двумерных плоскостей, проходящих через начало координат, в n-мерном евклидовом пространстве.Это многообразие, называемое многообразием Грассмана G(2, n), известнов геометрии с середины XIX века. Фактически наш подход следует идеям Ф. Клейна и Ю. Плюккера, [13], [14], которые предложили метод конструирования новых геометрических объектов из подмногообразий данногомногообразия.
С помощью усреднения строится динамическая система награссманиане, траектории которой приближают траектории, получаемыеиз геодезических. С топологической точки зрения, мы рассматриваем переход от системы, определенной на топологической (n − 1)-мерной сфере, к16системе на многообразии Грассмана G(2, n). Переход иллюстрируется следующей диаграммой:уравнения геодезических на деформированной сфере =⇒=⇒ динамическая система на многообразии ГрассманаПри этом фазовая размерность системы понижается с 2n − 2 до 2n − 4.1.3Угловой момент и связь с плюккеровыми координатамиДля осуществления изложенной схемы необходимо количественно описать движение текущего большого круга, приближающего данный витокгеодезической спирали.
Прежде всего, требуется выбрать способ заданияположения этого круга числами – его координатами. Это означает введение координат на многообразии Грассмана. При этом существенно, что положение текущего большого круга определяется состоянием частицы, т.е.ее радиус-вектором ~x и скоростью ~x˙ , а именно текущий большой круг –это сечение сферы двумерной плоскостью, проходящей через центр сферы и содержащей эти два вектора.
Рассмотрим в качестве координат этойплоскости (а значит и большого круга) следующий набор чисел:lij = xi ẋj − xj ẋi , i, j = 1 . . . n.(1.4)Это компоненты матрицы n-мерного углового момента, являющегося обобщением углового момента в трехмерном евклидовом пространстве. Послед~ связанного с матрицей (1.4) соотний чаще записывают в виде вектора L,ношением Li = εijk ljk . Очевидно, lji = −lij , т.е.
lij образуют кососиммет-рическую матрицу. Важный факт состоит в том, что введенные величины(1.4) совпадают с так называемыми плюккеровыми координатами даннойдвумерной плоскости. Фактически по формулам (1.4) мы вычисляем этикоординаты для текущего большого круга исходя из элементов траекториичастицы. В случае, когда координаты постоянны lij = const, большой круг17покоится, и траектория все время остается вблизи одной и той же плоскости. Оказывается, что не все величины lij , i < j независимы.Теорема 1.
[14, 15, 16] Величины lij удовлетворяют следующим соотношениям Плюккера:1lj[k1 lk2 k3 ] ≡ (ljk1 lk2 k3 − ljk2 lk1 k3 + ljk3 lk1 k2 ) = 0.3(1.5)Кроме того, координаты (1.4) однородны, т.е. умножение всех координатна одно число приводит к той же плоскости. Поэтому можно ограничитьсяматрицами с единичной суммой квадратов элементов:X2lij= 1.(1.6)i,jОтождествляя после этого матрицы lij и −lij , получаем многообразие Грассмана G(2, n) размерности 2n − 4, [14].Поскольку деформированная сфера близка к стандартной, то плоскость,определяющая текущий большой круг, движется медленно, и ее координаты (1.4), т.е.
компоненты углового момента частицы, являются медленнымипеременными задачи в том смысле, что при обходе одного витка траектории их изменение мало. Далее мы описываем эту медленную динамику,используя метод усреднения.1.4Уравнения для углового моментаИспользуя уравнения Лагранжа первого рода (1.2), получаем следующиеуравнения для компонент углового момента:∂∂l˙ij = ε λ xi− xjψ(~x),∂xj∂xi(1.7)где ψ(~x) – функция, определяющая деформацию сферы, (1.1).При ε = 0 имеем l˙ij = 0, что соответствует случаю стандартной сферы,когда большой круг покоится.18Заметим, что правая часть уравнений (1.7) получается из функции деформации сферы ψ(~x) с помощью применения следующего оператора:mij = xi∂∂− xj.∂xj∂xi(1.8)Данный оператор известен как компонента оператора углового момента вквантовой механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
