Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W5 , соответствующая слоению Лиувилля.60HES1aAA2ES1bAA4ES1cI2ES2cAA4ES2bC2C24ES2aAAAAРис. 2.11: Случай I.2.a.ii. Слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Справа: молекула W5 , соответствующая слоению Лиувилля.2.5Ультрагиперболическое уравнение Йона на гамильтонианредуцированной системыТот факт, что гамильтониан редуцированной системы получается с помощью лучевого преобразования по формуле (1.22), приводит к следующемуважному свойству.Теорема 11.
Гамильтониан редуцированной системы для трехмерной деформированной сферы удовлетворяет следующему ультрагиперболическому уравнению Йона:∂ 2H∂ 2H∂ 2H−+= 0.∂l12 ∂l34 ∂l13 ∂l24 ∂l14 ∂l23(2.11)Действительно, как доказывается в интегральной геометрии, это в точности то условие, которое задает образ лучевого преобразования среди функций на грассманиане G(2, 4), выраженных в плюккеровых координатах,[14].61L2L24 2S1b2S2c1S2aL124S1c2S2b6S1aL1Рис. 2.12: Случай I.2.b. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W6 , соответствующая слоению Лиувилля.62L2L23S1b 21S2aL12S1c34S1aL1Рис.
2.13: Случай II.1. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W7 , соответствующая слоению Лиувилля.63L2L22S1b1S2aL12S1c4S1aL1Рис. 2.14: Случай II.2. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана.
Внизу справа: молекула W8 , соответствующая слоению Лиувилля.64AAA AAAAAIC2C2A A A AAAAAIC2C2BBBBA A A A A A A AAA A A AAAAAAAAIIKIA A A A A A A AAAAAA AA AA AKBBBBA A A A A A A AAC2BABAAAAAA A A A A ALA A A A A A A AIAAРис. 2.15: Молекулы W1 − W8 и соответствующие условия на параметры εi65AAA¶2W1W5W7W2W3¶1W6W8W4DegРис. 2.16: Области в пространстве параметров εi , соответствующие молекулам W1 − W8 (показана полусфера ε3 > 0 в проекции на плоскость ε1 , ε2 ). Линии, разделяющие области молекулW1 и W5 , задаются уравнениями (2.9). Тонкие линии, отвечающие молекулам W2 , W3 , W6 , W8 ,задаются равенством пар параметров εi . Толстые линии, помеченные Deg, соответствуют гамильтонианам с вырожденными критическими точками (не функции Морса).662.6Деформации трехмерной сферы с осевой симметрией (поверхности вращения)Поскольку для трехмерной деформированной сферы редуцированная система имеет две степени свободы, то для ее интегрируемости требуетсяодин дополнительный первый интеграл, помимо гамильтониана.
Рассмотрим случай осевой симметрии, когда функция деформации имеет вид:ψ(~x) = f (x1 , x2 , x23 + x24 ).(2.12)Соответствующая деформированная сфера является поверхностью вращения: повороты в плоскости x3 x4 переводят ее в себя. Из этой симметрииследует точное сохранение компоненты углового момента l34 при движении частицы по любой геодезической. Действительно, ее производная длядеформации вида (2.12) равнаl˙34 = −ε m34 ψ(~x) ≡ 0.Это же свойство переносится и на редуцированную систему, поскольку правая часть усредненного уравнения (1.12) для l34 есть усреднение от величины m34 ψ(~x), которая в случае осесимметричной функции ψ вида (2.12)тождественно равна нулю. Тем самым получаем следующее утверждение.Теорема 12.
Редуцированная система для трехмерной сферы с осесимметричной деформацией (2.12) является интегрируемой системой с двумя степенями свободы с дополнительным интегралом l34 .По теореме Лиувилля получаем, что динамика редуцированной системысостоит в условно-периодическом движении по двумерным торам, являющимся совместными поверхностями уровня интегралов движения, т.е. задаваемым уравнениями: C = 0, l2 = 1, H = c1 , l34 = c2 для различныхc1 , c2 .Рассмотрим пример деформации, аналогичный исследованному двумер67l1,2l1,2l1,4l1,4l1,3l1,3Рис.
2.17: Траектория редуцированной системы для трехмерной сферы с деформацией вида:ψ(~x) = ε1 x41 + ε2 x42 (слева) и сечение этой траектории плоскостью (справа). Поверхность инвариантна относительно вращений в плоскости x3 x4 , следовательно, имеется дополнительныйинтеграл l34 и редуцированная система интегрируема. В соответствии с теоремой Лиувиллятраектория заметает двумерный тор.ному случаю, в виде суммы четвертых степеней координат:ϕ(~x) ≡ x21 + x22 + x23 + x24 − 1 + ε ψ(~x) = 0,ψ(~x) = ε1 x41 + ε2 x42 + ε3 x43 + ε4 x44 .ε 1,(2.13)Условие осевой симметрии выделяет класс поверхностей, для которыхε3 = ε4 = 0. Гамильтониан редуцированной системы, рассчитанный пообщей схеме (1.21), (1.22), для рассматриваемого возмущения четвертымистепенями (2.13) имеет вид:H =+3838222 2222 2ε ε1 (l12+ l13+ l14) + ε2 (l12+ l23+ l24) +222 2222 2ε ε3 (l13+ l23+ l34) + ε4 (l14+ l24+ l34) .(2.14)На рис.
2.17 изображена одна из траекторий редуцированной системы вслучае осевой симметрии. Она заметает двумерный тор, задаваемый условиями C = 0, l2 = 1, H = c1 , l34 = c2 .В общем случае деформации четвертыми степенями (2.13), когда все коэффициенты εi отличны от нуля, моделирование редуцированной систе68l2,4l3,4l3,4l2,4l2,3l2,3Рис.
2.18: Траектория редуцированной системы для трехмерной сферы с деформацией вида:ψ(~x) = ε1 x41 + ε2 x42 + ε3 x43 + ε4 x44 (слева) и сечение этой траектории плоскостью (справа). Траектория заметает область в трехмерном изоэнергетическом многообразии.мы показывает, что имеются условия, когда траектория заметает область втрехмерном многообразии, задаваемом постоянством энергии, рис. 2.18.2.7Многомерные эллипсоиды, близкие к сфере, и случайШоттки-Манакова в уравнениях Эйлера на алгебре Ли so(n)Рассмотрим случай (n − 1)-мерного эллипсоида, близкого к сфере, чтосоответствует квадратичной функции деформации ψ(~x):ϕ ≡ x21 + x22 + .
. . + x2n −1 + ε (α1 x21 + α2 x22 + . . . + αn x2n ) = 0. (2.15)В этом случае оказывается, что редукция приводит к известной системеШоттки-Манакова:Теорема 13. Редуцированная система для (n − 1)-мерного эллипсоида(2.15) имеет гамильтонианH=1 X2ε(αi + αj ) lij2 i<j(2.16)и является частным случаем многомерного интегрируемого случая69Шоттки-Манакова в уравнениях Эйлера на алгебре Ли so(n) [41], [42]:H=X ai − ajbi − bji<j2lij(2.17)при ai = εαi2 , bi = 2αi .Тем самым устанавливается изоморфизм системы первого приближениядля задачи о геодезических на (n−1)-мерном эллипсоиде, близком к сфере,с системой Шоттки-Манакова на алгебре so(n).Здесь представляет интерес следующее замечание.
Выше упоминался результат В.В. Козлова, А.В. Борисова, И.С. Мамаева, А.М. Переломова обэквивалентности задачи о геодезических на (n − 1)-мерном эллипсоиде слу-чаю Клебша-Переломова для уравнений Кирхгофа на алгебре Ли e(n). Сдругой стороны, имеется результат А.И. Бобенко [43] и А.В. Болсинова [44]об эквивалентности случая Клебша-Переломова на e(n) случаю ШотткиМанакова на so(n + 1) (см. также [30]).
Из комбинации этих двух фактовследует, что задача о геодезических на (n − 1)-мерном эллипсоиде эквива-лентна случаю Шоттки-Манакова на so(n + 1). В нашей же конструкциимы получаем асимптотическую связь задачи о геодезических на (n − 1)-мерном эллипсоиде, близком к сфере, с системой Шоттки-Манакова меньшей размерности – на алгебре so(n).70Глава 3Редукция уравнений динамики двухспиновой системыв магнитном полеВ данной главе рассматривается задача гамильтоновой механики, возникающая при описании динамики спиновых систем в магнетиках.
Аналогично предыдущим задачам в этой системе, используя ее структуру, а именносимметрию, мы производим редукцию этой задачи к системе меньшей размерности, которая допускает исследование более простыми средствами.3.1Гамильтониан и уравнения динамики двухспиновой системыДинамика намагниченности макроскопических систем, как правило, описывается с помощью классических спиновых переменных. В частности, такого рода системы применяются для изучения динамики намагниченностив ферромагнетиках, а также намагниченности подрешеток кристаллов антиферромагнетиков, [53], [54]. В этих задачах достаточно подробно изученылинейные приближения вблизи положений равновесия, на основе которыхстроится теория спиновых волн в соответствующих средах, [54]. В то жевремя вдали от равновесия эти системы могут проявлять весьма содержательную нелинейную динамику, изучение которой представляет интереспри исследовании влияния внешнего воздействия на намагниченность этихсистем, в том числе магнитного резонанса.Мы рассматриваем динамику гамильтоновой системы, состоящей из двух71~I и S~ II .
Динамика задаетсяклассических спинов — трехмерных векторов Sскобками Пуассона{SiI , SjI } = εijk SkI ,{SiII , SjII } = εijk SkII ,{SiI , SjII } = 0(здесь индексы принимают значения 1, 2, 3, εijk — символ Леви-Чивиты,подразумевается суммирование по повторяющимся индексам) и гамильтонианом~ ·S~ I + γ2 H~ ·S~ II + J S~I · S~ II ,H = γ1 H(3.1)~ — постоянное магнитное поле,где γ1 , γ2 — гиромагнитные отношения, HJ — параметр величины взаимодействия. Первые два члена представляют собой зеемановскую энергию спина в магнитном поле. Третье слагаемоесоответствует так называемому обменному взаимодействию. Соответствующие уравнения движения имеют вид:~ ×S~I + JS~ II × S~I,~˙ I = γ1 HS~ ×S~ II + J S~I × S~ II .~˙ II = γ2 HS~ I )2 и (S~ II )2 , скобки ПуасВ системе имеется две функции Казимира (Sсона которых со всеми переменными равны нулю.
Каждая из них являетсяинтегралом движения. Кроме того, легко убедиться, что функция~ · (S~I + S~ II )K=H(3.2)также является первым интегралом системы. Это можно заключить, учитывая симметрию задачи: имеется одно выделенное направление, заданное~ поэтому система инвариантна относительно вращений вокругвектором H;этого направления. Отсюда следует сохранение соответствующей компоненты полного спина, то есть его проекции на направление поля. Вместе сгамильтонианом эта функция дает пару интегралов в инволюции, поэтомуданная система является интегрируемой.723.2Редукция системы по циклической переменнойВоспользуемся наличием интеграла (3.2) для сведения данной задачи кболее простой системе. Стандартная процедура редукции в гамильтоновыхсистемах (понижение порядка по Раусу) предполагает, что задача должна быть сформулирована в канонических переменных (координаты и импульсы), и одна из координат не должна входить в гамильтониан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
