Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 6

Пусть ξs = 2b/d описывает поверхность сфероидального резонатора, аζ2 =ξ 2 −ξs2ξs2 −1малый параметр, заменяющий ξ, p ≥ 0.Предположим, что ζc ≪ 1 и ηc ≪ 1. Это позволяет разложить интегралы по этим малымпараметрам и рассчитать их. Трансформируя выражения для ζc , ηc как ряд по (m/2)−1/3 иподставляя их, можно получить выражения для собственных частот ỹ.βq (a2 − b2 ) m −2/3 a(5b2 + a2 )(2p + 1) m −1(2p + 1)a −1+ o(m−4/3 ),1−m−b2b2216b32"# m −2/33βq m −2/3 (2p + 1)a3 m −1 48βq2 m −4/32ζc = − βq1++ o(m−5/3 ),−+2526b32175 2 m 1/3 (2p + 1)a 3β 2 m −1/3 β (2p + 1)a3 m −2/3qq+−+nk0 a = m − βq22b20! 212b3232 2 22−1βqm(2p + 1) a (b − a )+++ O(m−5/3 ),(2.70)140032b42ηc2 =В предыдущих работах 6-ой член, пропорциональный (m/2)−1 , не рассматривался, такα3q +10 m −1как он отличается от точного разложения для собственных частот сферы на 1400.2Предполагалось, что для получения членов выше 5-ого, метод эйконала не пригоден.

Однако, при a 6= b отличие170mнезначительно, и другая часть шестого коэффициента играетбольшую Роль. Кроме того, член, содержащий (2p + 1)2 , является третьим в разложении ηc ,а различие170mпоявляется из четвертого члена разложения ζc , что косвенно подтверждаетдостоверность коэффициента при (2p + 1)2 .302.3.3.4ЕБК для квартикиВ работах [28, 29] было предложено обобщение метода для произвольных тел вращения. Вслучае нулевых граничных условий Дирихле для тела вращения, каустические поверхностибудут определяться поверхностями ρ = gc (z) и ортогональными к ним ρ = hc (z), которыесоответствуют вложенным сфероидам и гиперболоидам вращения. Параметры каустическихповерхностей также могут быть определены из системы уравнений:1ρc1ρcpZzc p1 + gc′2 gc2 − ρ2cπ(p + 1/2)dz =,gcm−zcZzs pp1 + h′2h2c − ρ2cπ(q − 1/4)cdz =,hcmzc(2.71)nk0 ρc = m,где ρc = gc (zc ) = hc (zc ) — радиус, при котором пересекаются каустические поверхности, а zs— координата, при которой пересекаются каустическая поверхность ρ = hc (z) с поверхностьюрезонатора.Проблема поиска семейства каустических поверхностей gc и hc не является тривиальной в общем случае.

Однако, для нахождения интересующего последнего члена разложения,pпропорционального (2p + 1)2 , предположим, что gc (z) = ac 1 − z 2 /b2c − µc z 4 /b4c . Используяпервый интеграл ((2.71)) и подставляя в него z = zc ηc sin ψ, для третьего уравнения приразложении в ряд, аналогичном (2.70), можно получить:ηc =ac (2p + 1)(5(µc + 1)b2 + a2 )(2p + 1)ac1−+ O(1/m3 ).bc m8b3c m(2.72)Стоит отметить, что в отличие от ((2.70)) в уравнении остались параметры ac и bc , которыемогут быть получены из второго уравнения (2.71). Однако, для упрощения расчета подставимвместо них посчитанные ранее для сфероида. Таким образом, только для последнего членапредполагается, что ac ≃ a, bc ≃ b и µc ≃ µ и, подставляя в выражение для собственнойчастоты ỹ = ma/ρc , получим:(2p + 1)a 3βq2 m −1/3 βq (2p + 1)a3 m −2/3−+22b20 2 !12b3232 2 22−1βqm(2p + 1) a (b (1 + 3µ) − a )+ O(m−5/3 ),+140032b42nk0 a = m − βq+ m 1/3+Подставляя m = ℓ − p и сравнивая полученный член31βq3 +101400m −12(2.73)с результатом для сферы,получим: −1/3 −2/3 1/32p(a − b) + a 3βq2 ℓβq 2p(a3 − b3 ) + a3 ℓℓ+−+22b20 212b32! −132222βq + 10 (2p + 1) a (b (1 + 3µ) − a )ℓ+ O(ℓ−4/3 ).(2.74)+140032b42ỹ = nk0 a ≃ ℓ − βq+Для случая с ненулевыми граничными условиями к выражению для собственных частотдолжны быть добавлены дополнительные члены [27]:Pnαq 2n3 P (2P 2 − 3)δy = − √−n2 − 1 12 (n2 − 1)3/2s −2/3ℓ,2(2.75)Для данной аппроксимации в уравнении (2.74) нет проблем, появляющихся в (2.53).

Пятый член корректно зависит от ℓ и p. Последний полученный шестой член может быть использован для расчета дисперсии поперечных мод, полученной ранее в [12] в приближенииb/a → ∞, но имеющий правильную форму для случая сферы.2.3.3.5ЕБК для тороидаПредположим, каустическая поверхность для тороидального резонатора образована сферамисверху и снизу экваториальной плоскости и вложенным между ними тороидом с параметрамиRc и rc (2.4):pg(z) = Rc − rc + rc2 − z 2ph(z) = A2 − (z − B)2Для каустических поверхностей так же справедливо, что f =(2.76)(2.77)pRc (Rc − 2rc ).Подставим выражения каустических поверхностей в интеграл (2.68) и заменим выражение2nk0 на 2m, пользуясь (2.66).

Далее по тексту интеграл (2.68) будем называть первым.I1 =Z2mzc−zcdzhi1/2p pz 2 /(rc2 − z 2 ) + 1 ( rc2 − z 2 − rc + Rc )2 − ( rc2 − zc2 − rc + Rc )2p prc2 − z 2 − rc + Rcrc2 − zc2 − rc + Rc(2.78)Сделаем замену переменных z = zc sin(θ) и, так как первый интеграл четная относительно z функция, интегрирование будет производится не от −π/2 до π/2, а от 0 до π/2, чтоупрощает расчет. Для описания каустической поверхности определим 2 малых параметра,32определяющих положение каустической поверхности:√zc = rc ηRRc = √,ξ+1(2.79)(2.80)где η и ξ малые параметры. С учетом замен первый интеграл можно представить в видеZ π2√I1 = −4 ηmrcdzrq0×(2.81)22 p√−rc2 η sin2 (z) − 1 − rc + rc −−(η − 1)rc2 − rc + rc cos ηrc sin(z)q q p1 − η sin2 (z) − −(η − 1)rc2 + rc − rc−rc2 η sin2 (z) − 1 − rc + rcРазложим подынтегральное выражение в ряд по η, проинтегрируем и перенесем константуиз правой части (2.68) в левуюI1′ =13πη 2 m(rc Rc )3/2 (5rc + 3Rc ) πηm(rc Rc )3/2+ ...+−2πp+64Rc42Rc32(2.82)Это выражение должно асимптотически стремиться к нулю.

Последовательно подбирая разложение для η так, чтобы выражение (2.82) не зависело от параметра m и было постоянным,получим:η = 2π(p + 1/2)Rc31 + a1 m−1 + a2 m−2 + a3 m−3 + ...mπ(rc Rc )3/2(2.83)R3Коэффициент 2π(p + 1/2) mπ(rc Rc c )3/2 выбирался таким образом, чтобы коэффициент при 1/mобратился в ноль. Аналогично коэффициент a1 должен обратиться в ноль при члене порядка1/m2 и так далее. Коэффициенты будем искать для разложения до четвертого порядка поm:η=2 p + 21 Rc33(2pRc + Rc )2 (5rc + 3Rc )+ ...−3/232m2 rc3m(rc Rc )(2.84)Как видно из (2.84), уже при (Rc /rc )3/2 = 50 для моды с m = 50 малый коэффициентперестает быть малым и становится сравнимым с единицей.Рассмотрим (2.67) и будем называть это выражение вторым интегралом.

После аналогич-33ной замены 2nk0 на 2m интеграл берется в явном виде:!zp − BpI2 = p2mA tg−√zc − zp −2B + zc + zprc2 − zc2 − rc + Rc!!pp(B − zc )2 − A2(B − zp ) (B − zc )2 − A2−1ptanh−AA (zc − zp )(−2B + zc + zp )1−1(2.85)но, при дальнейших вычислениях это не очень удобно, так как после интегрирования остаются гиперболические функции и они загромождают расчет. Поэтому этот интеграл, также как и первый, сначала разложим по малому параметру и только потом проинтегрируем.Из соображений упрощения подынтегральной функции можно перейти к новой переменнойинтегрирования α =h2 −h2ch2c ,которая в свою очередь является малой.

Сделаем замену коор-динат:2hh′h2 − h2c,dα=dzh2ch2c√pA2 − h2−2(z−B)′h = A2 − (z − B 2 )2 h = p=h2 A2 − (z − B 2 )2α=(2.86)(2.87)Подставляя (2.86) и (2.87) во второй интеграл, разлагая в ряд по α и интегрируя получим:I2′Amα5/2 2A2 − 3h2c2Amα3/2+−= p3/23 A2 − h2c5 (A2 − h2c )+Подставляя A в видеAmα7/2 8A6 − 28A4 h2c + 35A2 h4c − 15h6c28 (A2 − h2c )7/21− 2π q +2(2.88)pB 2 + f 2 и сделав заменуp1 2rc + (Rc − rc ) rc2 − zc2zcp4f 2 r2 (B 2 + (R − r)2 ) + 4B 2 r4 + 2Br2zs =2 (B 2 + (R − r)2 )h(zs )2 − h(zc )2αs =h(zc )2B=(2.89)(2.90)(2.91)сведем второй интеграл к параметрам тороида и малым коэффициентам η, ξ и αs :3/2I2′ =mαs1008η 2 (3αs + 5) + 6720η + 128(105 − 63αs )1− 2π q +201602(2.92)Подставляя ξ в виде:212ξ = b0 m− 3 1 + b1 m− 3 + b2 m− 3 + ..34(2.93)и обнуляя коэффициенты при соответствующих степенях m, получаем:(3π)2/3 (4q − 1)2/3√232ξ=(3π)2/3 (4q − 1)2/3 −2/3√1+m+...532(2.94)Следуя указаниям [29] и [30], для улучшения точности формулы можно заменить выраже2/3ние − (3/2π(q − 1/4))на qый корень функции Эйри Ai, что позволяет улучшить точностьприближения для собственной частоты примерно на 0.1%.В результате расчета выражение для собственной частоты получено в видеnk0 R = m −√βq b 3 m (2p + 1)R√√+322 rR175(2p + 1)2 R(r − R) + 16βq3 r23βq25βq (2p + 1)R3/2√√+(2.95)−+311200mr21022/3 3 m12 2m2/3 r3/2Для того, чтобы сравнить полученное приближение для тороида и сфероида, произведемзамену:R = a,b=p(Rr),µ=R−r4r(2.96)Легко заметить, что собственные частоты незначительно различаются лишь в последнемчлене, определяющем дисперсию поперечных мод.Беря вторую производную собственной частоты (2.95) получим:Rβq 9r2 + 9rR − 35R2R(r − R)∂ 2 (nk0 R)√=+∂p28mr272 3 2m5/3 r3(2.97)Знак второй производной можно подобрать, варьируя параметры r, R и m, что позволяетполучить семейство форм с заданным уровнем дисперсии.2.3.4Распределение поля в сфероидальных резонаторахАмплитуда поля в резонаторе в первом приближении может быть легко найдена из уравненияпереноса [24].

Сфероидальные функции:Cξeik0 S + c.c.,[(λ − c2 ξ 2 )(ξ 2 − s) + sm2 ]1/4CηS(η, c) ≃eik0 S + c.c.,[(1 − η 2 )(λ − sc2 η 2 ) − m2 ]1/4R(ξ, c) ≃λ = c2 (ξc2 − s + sηc2 ).(2.98)Аналогичные выражения для сферы или цилиндра приводят к известным приближениямДебая, использовавшимся ранее (2.30). Более простое приближение может быть получено,35если распределение поля адиабатически приближается к поверхности резонатора аналогичнораспределению в цилиндре:√ρ imφJm Tmqe, (ρ < a)ā!r√ 22 22Tmqz2m(n2 − 1)m b /a −1/4 (1)− 2b2+Hmρ eimφEχ ≃CE0 en2 a2n2 ab√ 22 2z21a imφ −α(ρ−a)≃ E0 e− 2b2 m b /a −1/4 Jm Tmqee, (ρ > a),Pāz2Eχ ≃E0 e− 2b2где ā = a+ k0√Pn2 −1m2 b2 /a2 −1/4√– эффективный радиус, γ =(2.99)n2 − 1k0 , χ = z для TE и χ = ρ для TM мод.Для мод с p 6= 1 для зависимости от координаты z воспользуемся функциями Гауса-Эрмитавместо простой Гусовой зависимости [29]:∝ e− θ̃2 Hp (θ̃),1/4r2z m3 r 3− 2,θ̃ ≃ra32ar = b2 /a.(2.100)Проинтегрировав распределение поля внутри резонатора по объему, можно получитьэнергию поля в нем:E=ǫ 0 n22π2Z0āZ∞−∞|E|2 ρdρdz√ǫ 0 n2 2πab ā2 ′2E0 2π √J (Tm1 ),2m 2 m(2.101)√2′2n2 |E|2 dV(Tm1 )ab Jm3/2 a√≃π=′ ),222max(n |E| )m Jm (Tm1(2.102)≃и эффективный объем:Vef fR′′где Emax = E0 Jm (Tm1), Tm1— первый корень производной функции Бесселя.

Используяприближенные выражения для корней Бесселя получим:√Vef f ≃ 15.12a2 ab m−7/61/4≃ 15.12a11/4rtm−7/6(2.103)Также можно упростить вид поля, предполагая, что радиальная часть поля имеет Гаусову36010m = 50,-110p=0, q=1m = 500, p=0, q=1m = 50,p=1, q=1-210m = 500, p=1, q=1-310-410-510-610-710-810-9100,00,51,01,52,02,5b/aРис. 2.6: Относительная точность приближения для собственных частот (2.74)огибающую:(r − am )2z2E ≃ exp −− 2 + imφ ,2rr22rzrT′ λab,rr = 0.77am−2/3 ,am = m1 .rz =m2πn2.3.5(2.104)Численные проверкиАналитические результаты для собственных частот (2.74) достаточно хорошо соответствуютрезультатам численного моделирования методом конечных элементов (2.6). Негладкость этихграфиков вызвана в первую очередь переходом графиков через ноль и также недостаточнойточностью численного моделирования.