Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 3

Уменьшив дисперсию второго порядка в материале за счет изменения формы резонатора, можно уменьшить и минимальную мощность, необходимую длягенерации гребенки, что соответственно уменьшит и тепловые шумы.Для резонаторов с отличной от сферической и цилиндрической форм разрешить ана12литически уравнения для распределения поля не удается. Для получения аналитическихвыражений в качестве неидеальных резонаторов чаще всего рассматривают сфероид. Частоты сфероида можно найти, используя собственные функции сфероида, широко рассмотренные в литературе.

Проблема нахождения собственных функций была исследована в связис задачами квантовой механики о двухатомной молекуле, в которой электронная плотностьзначительно лучше описывается сфероидальными функциями, нежели сферическими [13] атак же в теории антенн и рассеяния электромагнитных волн [14].Однако, на текущий момент подходящих приближений для случая резонаторов с МШГнет. Поэтому применяются различные приближенные методы, дающие достаточно точныеприближения для частот и пространственной дисперсии фундаментальной и поперечной моды сплюснутых и вытянутых сфероидов.Существует несколько различных методов, подходящих для резонаторов с МШГ.

Наиболее простые основаны на геометрической интерпретации мод шепчущей галереи. Наиболеепростой такой метод основан на том, что для получения устойчивой траектории луча в резонаторе необходимо, чтобы на ней укладывалось целое число длин световых волн. При этомоказывается, что относительный сдвиг частоты пропорционален относительному изменениюдлины геодезической кривой [15]. Этот метод, однако, годится только для резонаторов снебольшой степенью сжатия.Более точные методы основаны на приближенном решении уравнения Гельмгольца. Пристандартной замене переменных, убирающей первую производную, уравнение становится поструктуре схоже со стационарным уравнением Шредингера, которое достаточно хорошо изучено.

В роли потенциала выступает диэлектрическая поверхность резонатора.Отличительной особенностью приближенного решения уравнения Гельмгольца для сфероида является то, что несколько параметров уравнения должны быть одновременно великии соответствующего порядка. Во-первых, размер резонатора a должен быть много большедлины волны: ak ≈ m, где a — радиус резонатора, k — волновое число, соответствующеесобственной частоте и m — азимутальный индекс моды. Во вторых, константа разделенияуглового и радиального уравнений должна быть пропорциональна квадрату m: λ ∝ m2 , и, втретьих, азимутальный индекс моды m должен быть много больше 1.Наиболее физически простой метод — метод ВКБ, позволяющий найти собственные частоты в квазиклассическом приближении.В работе [16] рассматривается решение уравнения Гельмгольца в системе координат, связанной со сплюснутым сфероидом.

Решения уравнения Гельмгольца ищутся в приближении, соответствующем резонаторам с МШГ. Для радиальной и угловой частей уравненияГельмгольца строятся асимптотические разложения решений по методу эталонного уравнения Лангера-Дородницына. Собственные частоты находятся с помощью квантования полу-13ченных разложений методом ВКБ. Результаты работы, к сожалению, в не содержат простыхалгебраических выражений для собственных частот, пригодных для дальнейшего использования.В работе [17] были рассмотрены приближения для нахождения собственных частот сфероида для решения задачи рассеяния на эллиптических частицах, в случае, если частицысравнимы с длиной волны.

Распределение поля и собственные частоты ищутся с помощьюметода ВКБ. Аналитически были получены выражения для распределения поля и собственных частот сфероида. Для собственных частот точность полученных выражений от 4% до10%. К сожалению, результаты для расчета собственных частот МШГ не пригодны, так какприближения построены только для больших λ и m.В работе [18] рассматривается рассеяние прозрачными сфероидами и исследуются квазиклассическим методом радиальные функции. Аналогично [17], находятся собственные частоты и ширины линий. Для задачи нахождения интенсивности рассеяния от частоты, получается хорошее согласование полученных приближений с численными выражениями для модшепчущей галереи.

Таким образом, узкие пики на зависимости сечения от частоты могутбыть определены с точностью до 10%, определяемой точностью исходных приближений длясобственных частот.В работе [13] рассматривалось решение задачи методом ВКБ, с предварительным преобразованием координат. Как известно, сфероидальные уравнения для угловых и радиальныхкомпонент переходят в сферические, если расстояние между фокусами стремится к нулю. Вработе было показано, что существует такое преобразование координат, что от дифференциального уравнения для угловых сфероидальных функций можно перейти к уравнению длясферических.

Аналогично было показано, что можно сделать преобразование для радиальных функций, приводящих уравнение к похожему уравнению для функции Бесселя. Такиеприближения оказываются достаточно точными и для радиальной и для угловой частей.Для параметра разделения λ получается простая и достаточно точная формула сплюснутыхсфероидов. К сожалению, в данной работе детально не рассматривается задача нахождения предельно точных приближений для собственных частот резонаторов с МШГ, а лишьстроятся приближения для распределения поля внутри сфероидального резонатора.Существует также некоторое число сугубо аналитических методов нахождения приближенных решений уравнения Гельмгольца.В работе [14] рассматривается расчет для радиального уравнения и углового уравненияметодом Олвера.

Для угловых функций строится решение через функции Эрмита и Полиномы Лежандра, для радиального уравнения строятся две собственные функции, пропорциональные функциям Эйри. Для нахождения аргументов функции Эйри в радиальной части аппроксимировались эллиптические интегралы для больших значений λ. Полученные14результаты хорошо описывают сплюснутые сфероиды, однако, в связи с аппроксимацией эллиптических интегралов с небольшой точностью, они позволяют найти собственные частотывесьма приближенно, что непригодно для задач оценки дисперсии.Таким образом, в литературе описаны различные ситуации, но приближения для МШГвысоких порядков в сфероиде, размеры которого велики по сравнению с длиной волны, рассмотрены не были. В работах, подходящих для определения собственных частот РШГ полученные приближения для собственных частот не охватывают дисперсию поперечных МШГиз-за недостаточной точности.Для нахождения приближений для собственных частот в данной работе был выбран методВКБ, так как он обладает простым физическим смыслом и позволяет с хорошей точностьюполучать решения уравнения Гельмгольца.2.2Микрорезонатор и системы координатВ настоящей работе рассматриваются резонаторы различных форм.

Остановимся подробнеена каждой из них.Для описания форм микрорезонаторов используются различные системы координат. Критерием выбора системы координат является простота записи уравнений для поля и граничных условий. Обычно координаты выбираются таким образом, чтобы одна из координатныхповерхностей совпадала с границей резонатора, что приводит к граничным условиям Дирихле первого рода.В представленной работе рассматриваются исключительно осесимметричные резонаторыс осью симметрии z.

Показатель преломления резонаторов считается изотропным и обозначается n или nr , если в системе существуют дополнительные показатели преломления.Предположим, что поле распространяется в экваториальной плоскости xy около границы.Ось, перпендикулярную экваториальной плоскости, будем называть осью z. Радиус резонатора в экваториальной плоскости будем обозначать a или R.Задача поиска собственных частот сводится к нахождению стационарных решений волнового уравнения:∂2E= c2 ∆E,∂t2(2.1)которое при E(t) = E(r)e−iωt можно свести к уравнению Гельмгольца:∆E + k 2 E = 0.15(2.2)Рис. 2.1: Цилиндрическая система координат2.2.1Цилиндрическая система координатЦилиндрическая система (2.1) часто используется для описания мод микрорезонатора, однако, на практике резонаторы с МШГ с цилиндрической формой достаточно редки.

Связьцилиндрических координат с декартовыми проста:x =ρ cos φy =ρ sin φz =zОператор Лапласа в цилиндрической системе координат записывается как:1 ∂∆=r ∂r∂r∂r+1 ∂2∂2+ 222r ∂φ∂z(2.3)и решение уравнения Гельмгольца можно найти в виде:pΨ(ρ, φ, z) = Zm ( k 2 − β 2 ρ)e±iβz±imφ ,(2.4)где Z(m) определяет радиальное распределение поля, β — постоянная распространения вдольpk 2 − β 2 , то собственные частоты с нулевыми граничными условиямиоси z.