Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 7

Как хорошо видно из графиков, приближение даетхорошие результаты для вытянутых сфероидов, а для сплюснутых сфероидов при a/b > m1/3становится мало пригодным. Причина этого в том, что для сильно сплюснутых сфероидовполе перестает быть сконцентрированным вблизи экватора.

Как таковая каустическая поверхность распадается на две, выше и ниже экваториальной плоскости, что противоречитприближениям, сделанным при получении приближений.37µ−1/3−1/401/3yℓ0q (num)109.087968109.088042109.088266109.088568yℓ0q ((2.105))109.088279109.088279109.088279109.088279Таблица 2.1:d1 (num)−0.5259 ± 0.0006−0.5250 ± 0.0002−0.5222 ± 0.0011−0.5184 ± 0.0030d1 ((2.105))-0.5253-0.5251-0.5247-0.5240d2 (num)(−4.6 ± 0.6) × 10−4(−1.4 ± 0.1) × 10−4(8.1 ± 0.2) × 10−4(21.2 ± 0.7) × 10−4d2 ((2.105))−3.1 × 10−409.4 × 10−422 × 10−4Для проверки нового члена разложения в приближении для собственных частот сравниманалитически полученное выражение для дисперсии с численным расчетом.1naωℓpq = ỹℓ0q + d1 p + d2 p2 ,c2 −2/3a2 (b2 (1 + 3µ) − a2 ) −1a3 − b 3 ℓa−b+ℓ ,− αqd1 ≃3b6b24b4a2 (b2 (1 + 3µ) − a2 ) −1d2 = ỹp+1 + ỹp−1 − 2ỹp ≃ℓ .2b4ỹℓpq ≃(2.105)Сравнение проводилось с численным моделированием скалярного уравнения Гельмгольца√ b), p1 = ( 4 a, 12µ+7√ b),методом конечных элементов в пакете Comsol Multiphysics.

p0 = (0, 3−4µ32 26 2√ b), p3 = (0, − 3−4µ√ b).p2 = ( 43 a, − 12µ+76 22 2Результаты моделирования для m = 100, q = 1, a : b = 1 : 2, p = 0..5 показаны в таблице(2.3.5). Полученные аналитически значения дисперсии сравнивались с результатами численного моделирования полного векторного уравнения в Comsol Multiphysics для диэлектрического резонатора. Точность аналитических приближений получена с поправкой на изменениеэффективного радиуса резонатора за счет выпадения поля. Также было показано, что приµ = (a2 − b2 )/(3µ) = −1/4 дисперсия снижается до 20 раз при m = 500, что открывает возможности для оптимизации формы резонатора для получения нужного уровня дисперсии.2.3.6Интерполяция ошибокДля улучшения точности приближения была аппроксимирована ошибка, возникающая присравнении приближения (2.74) с рассчитанными значениями собственных частот с помощьюпрограммы Comsol Multiphysics.

Получая равномерную по l аппроксимацию, необходимо построить такую аппроксимацию, чтобы точность для сильно вытянутых резонаторов не ухудшилась. Чтобы этого достичь, необходимо ввести для аппроксимации некоторою весовуюфункцию. Весовая функция выбиралась такм образом, чтобы она быстро возрастала с увеличением вытянутости сфероида, при этом относительная погрешность стандартной аппроксимации для вытянутых сфероидов уменьшается. Анализ показал, что функция g(b/a) = (b/a)4дает хорошие результаты.На графиках (2.7) для иллюстрации представлена ошибка, умноженная на весовую функ-38цию, аппроксимированная многочленом∆(b/a) =4Xi=1ci iba(2.106)Как видно из графиков (2.7), выбранный способ аппроксимации многочленом по b/a в виде(2.106) дает правдоподобный результат. После аппроксимации ошибок для каждой моды в0.0030.00300.00250.0020.00200.00150.0010.00100.51.01.52.02.50.00050.0010.51.01.52.02.5модамодаl = 200, p = 0, q = 1l = 50, p = 0, q = 10.00300.00100.00250.00080.00200.00060.00150.00040.00100.00020.00050.51.01.52.02.5мода0.5l = 1000, p = 0, q = 11.01.52.02.5модаl = 500, p = 0, q = 20.00060.0050.00050.00040.51.01.52.02.50.00030.0050.00020.00010.0100.51.01.52.00.0001модамода0.0152.5l = 500, p = 1, q = 1l = 50, p = 1, q = 1Рис.

2.7: Аппроксимация различных мод с различными параметрами. Сплошная синяя линия— интерполяция, красные точки — численный расчет.отдельности, построим аппроксимацию для коэффициентов разложения ci для мод с одинаковыми p и q в зависимости от индекса моды l. На графике (2.8) приведены аппроксимациичетырех коэффициентов для мод с индексами p = 0, q = 1: Для мод с p = 0 и q = 1 удалосьпостроить формулу для различных l (то есть равномерную аппроксимацию), которая дает3920040060080010000.00050.000050.00100.000100.000150.00150.00020200коэффициенты при (b/a)−44006008001000коэффициенты при (b/a)−30.00160.001420040060080010000.00120.000050.00100.00080.00010.00060.00042004006008001000коэффициенты при (b/a)−1коэффициенты при (b/a)−2Рис.

2.8: Аппроксимация коэффициентов мод с p = 0, q = 1. Сплошная синяя линия —интерполяция, красные точки — численный расчет.увеличение точности:∆=2.477.779− 7.947−m+ 61.56− 129.75/3 +l2l2l4/3l5/3++43(b/a)(b/a)10.0281.69174.8− 2.178+ 21.22− 49.994/3 − l5/3 +l2l2l4/3l5/3+ l+(b/a)2(b/a)0.07241m4/3(2.107)Эту же формулу можно представить в виде таблицы:.(b/a)−1(b/a)−2(b/a)−3(b/a)−4l−4/3-2.17810.02-7.94710.07241l−5/321.22-81.6961.56-2.47−6/3-49.99174.8-129.77.779lКак видно из графика (2.9), точность приближения после аппроксимации для моды p = 0 иq = 1 возросла примерно на порядок.Для мод p = 1 и q = 1 получить равномерную аппроксимацию не удалось — она не даетулучшения точности, а наоборот ухудшает точность результата примерно на порядок.Для мод p = 0 и q = 2 равномерную аппроксимацию не удалось построить, а удалось аппроксимировать только отдельные моды.

В отличие от ошибки для фундаментальной моды имоды с индексами p = 1 и q = 1, которая имеет два максимума в плоскости, перпендикулярной экваториальной, ошибка для моды p = 0 и q = 2 не описывается монотонной функцией.Это может быть связано с достижением предела точности для формулы (2.74), то есть даже40при учете следующих малых членов ряда, убрать достаточно сильную немонотонность неполучится.

Так же была сделана аппроксимация многочленом5X ibai∆(b/a) =ai=1(2.108)При такой аппроксимации ошибки для больших сплюснутостей у фундаментальной модыточность немного улучшается по сравнению и аппроксимацией 4-ого порядка. Перейдем квыражению не для l, а для l/2 и получим для фундаментальной моды:∆=− 0.286804+(l/2)4/31.72891(l/2)5/3(b/a)4+−6.88115(l/2)5/3(b/a)2+− 0.130563(l/2)4/32.78197l2−+17.7603(l/2)20.752366(l/2)5/3(b/a)3+− 0.806069(l/2)4/3+1.63581(l/2)4/3−13.184(l/2)5/3++2.6708(l/2)2(2.109)+24.9721(l/2)2−(b/a)0.486759 3.86993 7.30341+−−(l/2)2(l/2)4/3(l/2)5/3Запишем полученные коэффициенты в виде таблицы.(b/a)0(b/a)−1(b/a)−2(b/a)−3(b/a)−4(l/2)−4/3-0.4867591.63581-0.130563-0.806069-0.286804−5/3(l/2)3.86993-13.1846.881150.7523661.72891(l/2)−6/3-7.3034124.9721-17.76032.6708-2.78197Аппроксимация пятым порядком дает близкие результаты по сравнению с аппроксимацией четвертым порядком, но при больших сплюснутостях результат с аппроксимацией 5-огопорядка получается немного лучше:11Mode m=50, p=0, p=1No Approximation4th order5th order0,10,01Mode m=500, p=0, p=1No Approximation4th order5th order0,10,01d1E-3d1E-31E-41E-41E-51E-51E-61E-61E-71E-70,00,51,01,52,02,50,00,5b1,01,5bРис.

2.9: Относительная ошибка до и после аппроксимации412,02,5В результате было показано, что для фундаментальных мод удается построить равномерную по l аппроксимацию, дающую прирост в точности около порядка. При этом длянефундаментальных мод равномерной аппроксимации найдено не было. Это косвенно означает, что рассмотренные методы не дадут дальнейшего увеличения точности при увеличениичисла членов.2.4ЗаключениеВ результате работы с помощью метода эйконала было получено наиболее точное на сегодняшний день приближение для собственных частот сфероидов, тороидов и квартик. Этоприближение содержит достаточное количество членов разложения для вычисления дисперсии поперечных мод, которая хорошо согласуется с результатами численного моделирования.К сожалению, по сравнению с предыдущим результатом приближение для собственных частот не дает значительного увеличения точности для сильно сплюснутых резонаторов. Такжедля сфероидальных резонаторов были получены приближения для распределения поля, егоэнергии и эффективного объема моды.

Была получена равномерная аппроксимация ошибкиприближения для фундаментальных мод сфероида и квартики, которая позволяет на порядок улучшить точность. Также была показана возможность хорошей аппроксимации ошибокприближения для мод с p = 1, q = 1.Эти результаты опубликованы в [A1], [130].42Глава 3Применение оптическихмикрорезонаторов с МШГ вкачестве высокочувствительныхсенсоров3.1Обзор литературыЗадача детектирования химических и биологических веществ в растворах и в воздухе является важной и актуальной не один десяток лет. Современные методы, позволяющие определить очень малые количества биомассы основаны на создании благоприятных условий дляразвития микроорганизмов и увеличения их численности до количеств, достаточных длядетектирования.

К сожалению, такие методы требуют как длительного времени, иногда донескольких дней, необходимого для роста численности микроорганизмов, так и дорогостоящего труда специалистов лаборатории. Кроме того в пищевой, военной и многих другихобластях также требуются селективные сенсоры, способные быстро выявить присутствиеопределенных веществ.На текущий момент самыми перспективными являются оптические биосенсоры. Они обладают более высокой чувствительностью и быстродействием по сравнению с другими типамидатчиков. В отличие от химических методов, использование оптических сенсоров позволяетпри значительно меньших размерах устройств обеспечить меньшее время детектирования ибольшую чувствительность.Биосенсоры можно разделить на две большие группы, к одной из которых будут относится43детекторы с использованием маячков, работающие на основе флюоресценции при взаимодействии измеряемых частиц с детектором, к другой относятся сенсоры, работающие с чистыми,не измененными детектируемыми частицами, которые работают за счет измерения косвенных показателей, таких как изменение показателя преломления, Рамановское рассеяние ипоглощение.