Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 5

Частотысфероида можно найти, используя собственные функции сфероида, широко рассмотренныев литературе. Однако, нет подходящих приближений для случая, когда квантовые числаm, l, и c одновременно велики и одного порядка. Поэтому применяются приближенные методы, дающие достаточно точные приближения для частот и пространственной дисперсиифундаментальной и поперечной моды сплюснутых и вытянутых сфероидов. Также все ранееполученные приближенные формулы не охватывают дисперсию поперечных МШГ.2.3.3.1Метод ВКБ для тел вращенияУравнение Гельмгольца является уравнением второго порядка и при стандартной заменепеременных его можно свести к виду, аналогичному стационарному уравнению Шредингера. Роль потенциала играет диэлектрическая поверхность резонатора. Пользуясь формулойpρ k 2 − β 2 = ym,q , где ym,q — корни характеристического уравнения, которые приближенноможно положить ymq = Tm,q , воспользуемся методом ВКБ и найдем значение собственной24частоты:Iβ(z)dz =Zzc−zcsk2 −2ym,q1dz=2πp+ρ2 (z)2(2.46)причем в точке zc подынтегральное выражение обращается в ноль, то есть является точкойповорота.Так же методом ВКБ можно пользоваться и для других уравнений второго порядка, еслиудается сделать замены переменных, приводящие эти уравнения к виду уравнения Шредингера.

Для нахождения собственных частот Сумецким был предложен метод [22], основанныйна квазиклассическом квантовании поперечного волнового вектора β аналогично тому, какэто делается в квантовой механике. Подобный метод был также применен в [6]. В адиабатическом приближении кривизна поверхности ρs (z) слабо по сравнению с длиной волны зависитот поперечной координаты z и β ≪ k0 . Тогда поле может быть описано как:Ψ ∝ e±iRβ(z)dz±imφR(ρ/ρs ),(2.47)гдеβ(z) =sk2 −2ỹmq,ρ2s (z)(2.48)ỹmq – собственные частоты характеристического уравнения для бесконечного цилиндра с соответствующими граничными условиями, R(ρ/ρs (z)) – радиальные функции, пропорциональные функциям Бесселя J(ỹmp ρ/ρs ) внутри резонатора и функциям Ханкеля H (1) (x̃mq ρ/ρs )pснаружи него.

Для простого случая нулевых граничных условий k 2 − β(z)2 ρs = ỹmq =ka = Tmq , где Tmq q-ый корень функции Бесселя Jm (Tmq ) = 0 и a радиус цилиндра.Применим описанный метод для поверхности квартики. Предположим, что подкоренноевыражение имеет 2 корня (2.20)) при локализации моды в малом объеме у экваториальнойобласти:z4z2k 2 ρ2s = ỹ 2 1 − 2 − µ 4 = ỹmq ,bb24bb2z 4 + z 2 − (1 − ỹmq/ỹ 2 ) = 0,µµb2 q2 /ỹ 2 ) − 1 ,1 + 4µ(1 − ỹmqzc2 =2µZzc s 22ỹ(zc − z 2 )(1 + (zc2 + z 2 )µ/b4 )dz = π(2p + 1).ab1 − z 2 /b2 − µz 4 /b4−zc25(2.49)Введем новую переменную ηc = zc /b, z = zc sin ψ, много меньшую 1:4ỹηc2 basZπ/22cos ψ01 + µ(1 + sin2 ψ)ηc2dψ1 − ηc2 sin2 ψ − µηc4 sin4 ψsZπ/22cos ψ1 + µ(1 + sin2 ψ)ηc2dψ= p1 − ηc2 sin2 ψ − µηc4 sin4 ψa 1 − ηc2 − µηc405ỹmq ηc2 πb11 + (1 + µ)ηc2 + (31 + 62µ − 13µ2 )ηc4≃a864123 6+(417 + 1251µ + 231µ + 141µ )ηc = π(2p + 1).10244ỹmq ηc2 b(2.50)Последнее выражение может быть разложено в ряд по ỹ:ηc2 = τгде τ =1−19 + 38µ + 63µ2 2 117 + 351µ + 1531µ2 + 2041µ3 35(1 + µ)τ+τ −τ + ...

, (2.51)8641024(2p+1)aỹmq b .Окончательно получим выражение для ỹ:11122 3(1 + 6µ + 17µ )τ .ỹ ≃ ỹmq 1 + τ + (1 + 3µ)τ −216128(2.52)Подставляя выражение m = ℓ − p и разложение для корней Бесселя ỹmq = Tmq [23] получимрешение 1/3 −1/3ℓℓ2p(a − b) + a3+++ α2q22b202! −2/3−1α3q + 10 (1 + 3µ)(2p + 1)2 a2αq p ℓℓ++.+62140032b22ỹℓpq ≃ ℓ − αq(2.53)Для проверки воспользуемся аналитическим разложением корня характеристического уравнения Tℓ+1/2,q для сферы ((2.53)). Легко заметить, что пятый член, пропорциональный ℓ−2/3 ,неверен, так как собственные частоты мод с одинаковыми ℓ и q должны быть вырождены ине должны зависеть от p. Однако, первая часть коэффициента при шестой степени ℓ−1 независит от p, что верно, но во второй части коэффициента есть проблемы с зависимостью отp, аналогичные проблемам в пятом члене.2.3.3.2Метод Эйконала и квантование Энштейна-Бриллюэна-Келлера (ЕБК)Метод Эйконала - это квазиклассический метод, позволяющий найти асимптотическое решение уравнения Гельмгольца в случае, если показатель преломления среды слабо меняется намасштабах длины волны.26Решение уравнения Гельмгольца ∆ψ − n2 k 2 (~r)ψ = 0 будем искать в виде плоских волн,раскладывая поле по обратным степеням волнового числа k0 :ψ(~r) =∞XAm (~r) ik0 S(~r)e,m(ik0)m=0(2.54)где S(~r) имеет размерность длины и обычно называется эйконалом.Подставляя решение, записанное в таком виде в уравнения Гельмгольца, и приравниваяк нулю коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:(∇S)2 = n22(∇A0 ∇S) + A0 ∆S = 02(∇Am ∇S) + Am ∆S = −∆Am−1(2.55)(2.56)(2.57)Полученные уравнения позволяют получить решение уравнения Гельмгольца с любойточностью.

Но рассматривается лишь первое уравнение, с помощью которого можно найти собственные частоты. Для того, чтобы получить собственные частоты методом эйконала, воспользуемся модифицированным условием квантования Бора-Зоммерфельда. Обычноеквазиклассическое приближение квантовой механики выглядит следующим образом:Ik ∗ dx = 2πq(2.58)~а приВ методе эйконала роль локального волнового вектора выполняет k~∗ = k0 ∇S,более точном рассмотрении, полученном Келлером в [24], правая часть модифицируется иполучаетсяk0I′′′~ = 2π q + q + q~ ds∇S24(2.59)где q ′ - количество отражений от границы с нулевым граничным условием и q ′′ - количествокасаний каустической поверхности.Такая модификация связана с двумя факторами.

Во-первых, известно, что при касанииграницы с нулевыми граничными условиями происходит набег фазы на π, поэтому, если касаний на траектории было q ′ , то фаза изменится на q ′ π. При касании каустической поверхностинеобходимо сшивать квазиклассическое решение с линеаризованным решением вблизи точкиповорота [24]. Поэтому при касании каустической поверхности необходимо добавлять фазуπ2.У мод ШГ поле внутри резонатора распространяется в небольшой области вблизи поверх-27ности. Поэтому, будем считать, что существует каустическая поверхность — поверхность, ккоторой все лучи являются касательными. Для сферы таких поверхностей две — вложенная сфера и конус (точнее сказать, два конуса с общим центром и совпадающими осямисимметрии).Рассмотрим метод эйконала для сферы.

Будем искать решение для эйконала в видеS(r, η, φ) = Sr (r) + Sθ (θ) + Sφ (φ) + S0 . Подставим его в уравнение (2.55).∂Sr∂r2+1r2∂Sφ∂φ2+1r2 sin2 θ∂Sθ∂θ2= n2(2.60)Разделяя переменные получим 3 уравнения:∂Sφ=M∂φr∂SθM2= ± L2 −2∂θr sin θL2∂Sr= ± n2 − 2∂rr(2.61)(2.62)(2.63)где M и L — константы разделения. Теперь проинтегрируем эти уравнения. Первое уравнение для замкнутой траектории интегрируется по φ от 0 до 2π, что соответствует полномуобороту. Второе уравнение интегрируется от θc1 до θc2 , что соответствует проходу от верхнегокаустического конуса до нижнего и обратно.

При этом дважды происходит касание каустических поверхностей, поэтому добавляется фаза π. Для третьего уравнения интегрируетсяот каустической сферы до поверхности, то есть от ac до a, и, следовательно, добавляетсяπ + π/2 за счет касания поверхности и каустики.Для того, чтобы найти собственные частоты, необходимо проинтегрировать систему уравнений. Однако, согласно работе [25], можно воспользоваться несколько отличающимися выражениями. Интегрирование по замкнутым геодезическим кривым можно заменить на разницу между геодезическими путями на каустической поверхности. Путь для угла φ по каустической окружности остается без изменений.

Интеграл для Sr соответствует разнице длиндвух траекторий, одна из которых — это дуга на пересечении каустического конуса и каустической окружности, а вторая — геодезическая траектория по поверхности каустическогоконуса от каустической сферы до поверхности резонатора. И, наконец, интеграл для Sθ эквивалентен разнице между дугой, расположенной на пересечении каустического конуса исферы, и геодезической, идущей по каустической сфере от "верхней" дуги до "нижней" иобратно.Такой подход можно применять к любому телу, даже если уравнения эйконала для него неразделяются. Достаточно, чтобы существовали каустические поверхности: g(z), вложенная в28поверхность резонатора, и h(z), ограничивающая распределение поля в плоскости, перпендикулярной экваториальной. Иллюстрацию вышесказанного можно увидеть на рисунке (2.5).Рис.

2.5: Каустические поверхности и геодезические кривыеДля того, чтобы воспользоваться полученными соотношениями, нам необходимо получить длину геодезической кривой на каустической поверхности резонатора [26]. Покажем этисоотношения для поверхностей, заданных через g(z) и h(z). Длина элемента геодезическойкривой, лежащей на каустической поверхности g(z), определяется формулой:pg 1 + g ′2 (z)dz,ds = pg 2 (z) − g 2 (zc )(2.64)а длину дуги на пересечении каустических поверхностей можно найти:pg 2 (zc ) 1 + g ′2 (z)pds =dzg(z) g 2 (z) − g 2 (zc )(2.65)Проинтегрируем эти выражения от −zc до zc и найдем их разность.

Затем сделаем аналогично для поверхности h(z) и получим итоговые выражения:2nk02nk0ZZzszczc−zc2πnk0 ρc = 2π |m|p√1 + h′2 h2 − ρ2cdz = 2π(q − 1/4)hpp1 + g ′2 g 2 − ρ2cdz = 2π(p + 1/2)g(2.66)(2.67)(2.68)Как было показано в более ранних работах, [27, 28] метод эйконала и квазиклассическийметод Энштейна-Бриллюэна-Келлера (ЕБК) [24], могут давать достаточно хорошие асимптотические приближения для собственных частот сфероидов (2.20).292.3.3.3ЕБК для сфероидаДанный метод успешно применялся в более ранних работах [27, 28] и использовал унифицированную систему координат для того, чтобы можно было одновременно описывать исплюснутые и вытянутые сфероиды (2.13).

При подстановке в уравнение для эйконала S(ξ, η)скалярного или векторного представления поля A(ξ, η)eik0 S в сфероидальных координатахпеременные можно разделить. Производя квантование можно получить систему уравнений:Zηc p 2(ηc − η 2 )(ξc2 − sη 2 )dη = 2π(p + 1/2),Sη (η) = k0 nd1 − η2−ηcZξs p 2(ξ − ξc2 )(ξ 2 − sηc2 )Sξ (ξ) = k0 nddξ = 2π(q − 1/4),ξ2 − sξcppỹ 1 − ηc2 1 − ζc2 = m,(2.69)из решения которой можно найти каустические поверхности ±ηc и ξc и затем собственныечастоты ỹ = k0 na.