Диссертация (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 4

Если kρ =определяются из соотношения:kρ a = Tm,q ,где Tm,q — qтый корень функции Бесселя mого порядка.16(2.5)Рис. 2.2: Сферическая система координат2.2.2Сферическая система координатСамая распространенная форма микрорезонаторов - сферическая. Для нее используется сферическая система координат (2.2), центр которой совпадает с центром микрорезонатора.Связь декартовых координат со сферическими записывается следующим образом:x = r sin θ cos φy = r sin θ sin ϕz = r cos θи также в обратную сторону:px2 + y 2 + z 2zz= arccosθ = arccos p222rx +y +zyφ = arctanxr=Лапласиан записывается в виде∆=1 ∂r2 ∂r∂1∂1∂∂2r2+ 2sin θ+ 2 2.∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2При этом решением скалярного уравнения Гельмгольца ∆e + k 2 e = 0 для электрическогополя и аналогично для магнитного будет являться:e = Cfℓ (kr)Yℓm (θ, φ),17(2.6)а для векторного случая:fℓ (kr)∂Yℓm (θ, φ) ~imYℓm (θ, φ) ~~eT E =CT E piθ −iφ ,sin θ∂θℓ(ℓ + 1)i~bT E = − CT Epℓ(ℓ + 1)Yℓm (θ, φ)fℓ (kr)i~r +k0 rc ℓ(ℓ + 1)im∂(rfℓ (kr)) ~∂Yℓm (θ, φ) ∂(rfℓ (kr)) ~iθ +Yℓm (θ, φ)iφ+∂θ∂rsin θ∂r1ℓ(ℓ + 1)Yℓm (θ, φ)fℓ (kr)i~r +~eT M =CT M pkr ℓ(ℓ + 1)∂Yℓm (θ, φ) ∂(rfℓ (kr)) ~im∂(rfℓ (kr)) ~+iθ +Yℓm (θ, φ)iφ ,∂θ∂rsin θ∂rinf(kr)imY(θ,φ)∂Y(θ,φ)ℓmℓm~bT M = − CT M p ℓi~θ −i~φ ,sin θ∂θc ℓ(ℓ + 1)(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)где C, CT E и CT M – нормировочные константы, ℓ = m + p, m – азимутальный индексмоды, а p характеризует количество максимумов поля в меридиональной плоскости.

Приэтом радиальная составляющая f( kr) определяется через функции Рикатти-Бесселя ψℓ (x) =ppπx/2Jℓ+1/2 (x) и χℓ (x) = − πx/2Nℓ+1/2 (x) (Jℓ+1/2 (x) и Nℓ+1/2 (x) – цилиндрические функции Бесселя и Неймана полуцелого порядка).Для нахождения собственных частот металлической сферы с нулевыми граничными условиями fℓ (kr)|r=a = 0 можно получить:nk0 a = Tm+1/2,q(2.11)где k0 — волновой вектор в вакууме, Tm+1/2,q — qый корень функции Бесселя полуцелогопорядка m + 1/2.Можно также получить характеристическое уравнение для случая диэлектрической среды с показателем преломления n.

В этом случае нужно учитывать, что на границе поле испытывает скачок. Радиальная часть в этом случае снаружи будет состоять из сферическойфункции Бесселя и Неймана, так как функция Неймана расходится только в 0. Обозначимобщее решение снаружи за ξl . При этом характеристическое уравнение:nPjl′ (nk0 a)ξ ′ (nk0 a)= l′jl (nk0 a)ξl (nk0 a)(2.12)где P = 1 для TE мод и 1/n2 для TM. Аналитически это уравнение не разрешается, номожно получить поправку, связанную с граничными условиями, если искать ее в виде малойдобавки к известному решению для сферы.182.2.3Сфероидальная система координатНаиболее распространенная система координат для описания несферических резонаторов —сфероидальная. Оси и углы в ней отсчитываются аналогично сферической системе координат, а длина полуоси b вдоль оси z.Сфероидальные координаты соотносятся с декартовыми как:dp 2(ξ − s)(1 − η 2 ) cos φ2dp 2(ξ − s)(1 − η 2 ) sin φy=2dz = ηθ2x=(2.13)(2.14)(2.15)где s = +1 для вытянутых сфероидов, и s = −1 для сплюснутых.

При ξ = const координатыописывают сфероиды вращения, а при η = const — гиперболоиды. Уравнение Гельмгольцадля поля φ выглядит как: ∂ ∂∂m2∂m2222 22ψ = 0,ξ −s1−η−s 2ψ+ψ − c (ξ − sη ) −∂ξ∂ξ∂η∂η1 − η2ξ −s(2.16)где c = kd/2. Если искать решение в виде:ψ = Rml (c, ξ)Sml (c, η)eimφ ,(2.17)переменные можно разделить для радиальной и угловой частей: ∂R∂m222 2R=0ξ −s− λml − c ξ + s 2∂ξ∂ξξ −s ∂S∂m2S = 0,1 − η2− λml − sc2 η 2 −∂η∂η1 − η2(2.18)(2.19)где λml — константа разделения.В работе также рассматривается форма резонатора более общая по сравнению со сфероидом — квартика - поверхность, описываемая уравнением четвертого порядка в декартовыхкоординатах:f (z) = ar1−z2z4−µ 42bb(2.20)За счет дополнительного параметра квартика с большей точностью пересчитывается в другиегладкие формы, в том числе в тороидальную [19].

При этом для квартики явно не выписывается и не решается уравнение Гельмгольца ввиду его сложности, а квартика рассматривается19Рис. 2.3: Иллюстрация аппроксимации тороида сфероидомРис. 2.4: Тороидальные координатылишь как возмущение сфероидальной формы.2.2.4Тороидальная система координатТороидальные резонаторы достаточно часто используются в экспериментах и проще всегоописываются тороидальной системой координат (2.3). Она связана с декартовой следующимобразом:sinh ξcosh ξ − cos ηsinh ξy = f sin φcosh ξ − cos ηsin ηz=fcosh ξ − cos η(2.21)x = f cos φ(2.22)(2.23)При η = const уравнения описывают сферы радиуса Rs =f| sin η|с центром, расположеннымв точке zcenter (0, 0, f cot η).

Для тороидальной системы координат можно получить полезноесоотношение:2zcenter− Rs2 = f 2(2.24)При ξ = const формируется тор, осевая окружность которого имеет радиус Ra = f coth ξ, ав поперечном сечении окружность с радиусом r =fsinh ξ .На рисунке (2.4) показан “разрез”тороидальных координат при заданном угле φ, характеризующем поворот вокруг оси z.

Дляпростоты выбран угол φ = 0, что соответствует плоскости xz.20Далее тороиды будут описываться не тороидальными, а "псевдополярными" координатами, использующими два радиуса: r - радиус окружности в сечении тороида, а R - наружныйрадиус тора. Следовательно, осевая окружность тора будет иметь радиус Ra = f coth ξ =R − r. Легко получить соотношение, справедливое для выбранных таким образом координат:f 2 = Ra2 + r2 = (R − r)2 − r2 = R (R − 2r) ⇒pf = R (R − 2r)2.32.3.1(2.25)(2.26)Расчет собственных частот резонаторов с МШГСобственные частоты диэлектрической сферыДля характеристического уравнения легко найти лишь первую малую поправку.

Однако,существует метод, позволяющий получить разложение для собственной частоты по обратнымстепеням азимутального индекса m. Подобный метод описан в работе Шиллера [20].В оригинальной работе обозначения немного отличаются от используемых здесь, но дляизложения полученных результатов будем придерживаться именно их. В ходе работы рассматривалось разложение характеристического уравнения по большому параметру ν, который в настоящей работе обозначается как m.

Для диэлектрической сферы с показателемпреломления m характеристическое уравнения выглядит следующим образом:Y˜ν (x) p′p−1Jν (mx) + pmxJν (mx) − ν 2 − x2 Jν (mx)Y˜ν′ (x) = 0,2(2.27)гдеqrr2ν2 ν1− x√−arcCosh)(πx42xννYν (x) 1 − 2 eY˜ν (x) =2νq2pπq11− xν−arcCosh( ν′x)ν22ν xYν (x)eqY˜ν′ (x) =241 − xν 2(2.28)(2.29)и p = 1 для TE мод и p = 1/n2 для TM мод, что соответствует параметру P , а x соответствуетрадиальной координате.Воспользовавшись разложением Дебая для функций Неймана Yν (ν sech α) ( [21] формула219.3.8) получаем:eν(a−tanh α)Yν (ν sech α) ≈ − q12 πν tanh α1+∞Xk=1uk (coth α)(−1)kνk!(2.30),1385t6 − 462t4 + 81t23t − 5t3 , u2 (t) =,241152−425425t9 + 765765t7 − 369603t5 + 30375t3,u3 (t) =41472012108185910725t − 446185740t + 349922430t − 94121676t6 + 4465125t4u4 (t) =39813120u0 (t) =1,u1 (t) =(2.31)(2.32)(2.33)и для ее производной ( [21] формула 9.3.12)′Yν (ν sech α) ≈rsinh 2α ν(a−tanh α)eπν1+∞Xvk (coth α)(−1)kνkk=16!,1−455t + 594t4 − 135t27t3 − 9t , v2 (t) =,241152475475t9 − 883575t7 + 451737t5 − 42523t3v3 (t) =414720v0 (t) =1,v1 (t) =(2.34)(2.35)(2.36)и, пользуясь тем, что в нашем случаеsech(α) = x/ν,cosh(α) = ν/x1 = − sinh(α)2 + cosh(α)2sinh(α)2 = cosh(α)2 − 1 = (ν/x)2 − 1tanh(α) = sinh(α)/ cosh(α) = ((ν/x)2 − 1)1/2 x/ν = (1 − (x/ν)2 )1/2и такжеsinh(2α) = 2 cosh(α) sinh(α)sinh(2α) = 2(ν/x)((ν/x)2 − 1)1/2перепишем формулы, избавившись от гиперболических функций в аргументе.

Для того, чтобы избавиться от функций Бесселя вблизи точки поворота, используют следующие выраже-22ния ( [21] формула 9.3.23)Jν (ν + zν1/3∞Xfk (z)21/3) ≈ 1/3 Ai(−21/3 z) 1 +νν 2k/3k=1!+∞X gk (z)22/3 ′Ai (−21/3 z)νν 2k/3k=1z3z 29z 5f1 (z) = − , f2 (z) =−,5351001957z 6 173z 3−−f3 (z) =7000315022523573z 7 5903z 4947z27z 10−++.f4 (z) =20000147000138600 346500(2.37)(2.38)(2.39)(2.40)Воспользуемся тем, что производные всех порядков от функции Эйри зависят только отсамой функции Эйри и ее производной:′′Ai (x) = xAi(x),′Ai(4) (x) = x2 Ai(x) + 2Ai (x),′′′′(2.41)′(2.42)Ai (x) = Ai(x) + xAi (x),Ai(5) (x) = 4xAi(x) + x2 Ai (x),что дает возможность значительно упростить исходную систему при разложении функцииЭйри около ее нуля.

Решение характеристического уравнения ищется в виде:x(l)n =√3d0d1νζlν√ + ...+√− √+322m2mm − 1 (m − 1) 3 ν(2.43)Подставляя все выражения в характеристическое уравнение и раскладывая по ν, получимряд, коэффициенты которого будут обращаться в 0 последовательным нахождением неизвестных коэффициентов di . Ввиду того, что выражение слишком громоздко и в дальнейшемне используется, здесь оно не приводится.2.3.2Разложение для случая цилиндраДля получения аналогичного разложения в случае бесконечного цилиндра воспользуемсяхарактеристическим уравнением для цилиндра:p(xYν (x))Jν′ (mx) − pmJν (mx)Yν′ (x) ν 2 − x2 = 023(2.44)Производя аналогичные описанным выше преобразования, получим:1m2 p3 m2 − 1 ζl2d1 =10 22/3 m 3m4 p2 − 2 ζl√d2 =3 3 2m4 p32m4 m2 − 1 p4 ζl3 + 10 m8 p4 − 2m6 p4 + m4 p2 p2 − 35p + 35 + 35m2 p2 − 35d3 =700m5 p43m8 p4 + 12m6 p4 − 12m4 p2 − 8m2 p2 + 8 ζl2.d4 = −10 22/3 m6 p5d0 = −Возвращаясь к принятым в работе обозначениям, разложение для собственной частоты будетвыглядетьαq (3 − 2P̃ 2 )P̃ n3 m −2/3nP̃+k0 na = Tm,q − √26(n2 − 1)3/2n2 − 122 22−1n P̃ (P̃ −1)(P̃ n + P̃ n −1) m−+ O(m−3 ).4(n2 −1)222.3.3(2.45)Приближенные методыОбъекты с формой, отличной от сферической, для оптических резонаторов с МШГ достаточно изучены, однако, всех необходимых аналитических выражений не существует.