Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 12

Êðàåâûì óñëîâèÿì ôóíêöèÿ Uk (x, t, ε) óäîâëåòâîðÿåò òî÷íî.963.3Îñíîâíîé ðåçóëüòàòÒåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (B1)(B4). Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íîìàëîãî ε ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, t, ε) çàäà÷è (3.1), êîòîðîå â êàæäûéìîìåíò âðåìåíè èìååò ïåðåõîäíûé ñëîé âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà x0 (t),òî åñòüϕ(−) (x)lim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(+) (x)ïðè0 6 x < x0 (t),t ∈ [0, T ],ïðèx0 (t) < x 6 1,t ∈ [0, T ]è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâóu(x, t, ε) − Un (x, t, ε) 6 Cn εn+1ïðèdef(x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ [0, T ]},ãäå ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Cn íå çàâèñèò îò ε.Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà, ñôîðìóëèðîâàííîãî â òåî-ðåìå, îñíîâàíî íà ìåòîäå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [21, 23].Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó â îáëàñòè D ñëåäóåò ïîñòðîèòü íåïðåðûâíûå ôóíêöèè α(x, t, ε) è β(x, t, ε), óäîâëåòâîðÿþùèå ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ε ñëåäóþùåé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.1.α(x, t, ε) < β(x, t, ε) ïðè (x, t) ∈ D,(óñëîâèå óïîðÿäî÷åííîñòè)2.defL[β] = ε ∂ 2 β ∂β∂β−− A(β, x)+ B(β, x) 6 0 6 L[α],∂t∂x∂x2(x, t) ∈ D,3.α(0, t, ε) 6 u(−) 6 β(0, t, ε),97α(1, t, ε) 6 u(+) 6 β(1, t, ε);4.

Ïóñòü íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ òàêîâà, ÷òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:α(x, 0, ε) 6 uinit (x, ε) 6 β(x, 0, ε).Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [41, 44]), ÷òî ñóùåñòâîâàíèå óïîðÿäî÷åííûõ íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u(x, t, ε) çàäà÷è (3.1), óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâóα(x, t, ε)6u(x, t, ε)6β(x, t, ε) äëÿ âñåõ (x, t) ∈ D è äîñòàòî÷íîìàëîì ε.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâûå xα (t, ε) è xβ (t, ε), îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ ïåðåõîäíûõ ñëîåâ äëÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé, çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:xβ (t) = Xn (t) − εn δ(t),xα (t) = Xn (t) + εn δ(t),(3.35)ãäå Xn (t) ðàçëîæåíèå (3.3) äî nãî ïîðÿäêà, δ(t) ïîëîæèòåëüíàÿôóíêöèÿ, êîòîðàÿ áóäåò îïðåäåëåíà íèæå.(−)Êðèâàÿ x = xβ (t) äåëèò îáëàñòü D íà äâå ïîäîáëàñòè Dβ(−)Dβ(+)Dβ(∓)Ïîäîáëàñòè Dαn= (x, t) : 0 6 x 6 xβ (t),n= (x, t) : xβ (t) 6 x 6 1,(+)è Dβ , ãäåot ∈ [0, T ] ,ot ∈ [0, T ] .îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Áóäåì ñòðîèòü ôóíêöèè β (−) (x, t, ε) è β (+) (x, t, ε) îòäåëüíî â ïîäîáëà(−)ñòÿõ Dβ(+)è Dβ , à çàòåì íåïðåðûâíî ñøèâàòü ïðè êàæäîì çíà÷åíèè t âòî÷êå xβ (t) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:β (−) (xβ (t), t, ε) = β (+) (xβ (t), t, ε) = ϕ(xβ (t)),ãäå ôóíêöèÿ ϕ(x) îïðåäåëåíà â (3.4).98(3.36)∂βòåðïèò ðàç∂xðûâ (ñêà÷îê) ïðè x = xβ (t).

Âûáåðåì ôóíêöèþ δ(t) â âûðàæåíèè (3.35)Ôóíêöèÿ β(x, t, ε) íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé. Ïðîèçâîäíàÿòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå óñëîâèå5.∂β (−) ∂β (+) −> 0.∂x x=xβ (t)∂x x=xβ (t)Òàêîìó íåðàâåíñòâó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü âåðõíåå ðåøåíèå, åñëèîíî íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè x = xβ (t).def x − xβ (t)Ââåäåì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþ ξβ =.εÔóíêöèè β (−) è β (+) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèþ ñóìì(−)(+)Un+2 , Un+2 , îïðåäåëåííûõ â (3.34):(−)(−)(−) β (−) (x, t, ε) = Un+2 + εn+1 µ(−) (x) + q0 (ξβ , t) + εq1 (ξβ , t) ,ξβ(3.37)0 6 x 6 xβ , ξβ 6 0, t ∈ [0, T ];(+) (+)(+)β (+) (x, t, ε) = Un+2 + εn+1 µ(+) (x) + q0 (ξβ , t) + εq1 (ξβ , t) ,ξβxβ 6 x 6 1,(∓) Çäåñü Un+2 ξβξβ > 0,t ∈ [0, T ].ýòî ñóììû (3.34) ïðè k = n + 2, â êîòîðûõ àðãóìåíòûξn+3 è Xn+3 çàìåíåíû, ñîîòâåòñòâåííî, íà ξβ è xβ .(∓)(∓)Ôóíêöèè µ(∓) (x), q0 (ξβ , t) è q1 (ξβ , t) âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì,÷òîáû âûïîëíÿëèñü äèôôåðåíöèàëüíûå íåðàâåíñòâà 1 5.Ôóíêöèè µ(∓) (x) îïðåäåëèì êàê ðåøåíèÿ çàäà÷−1 (∓)−1(∓) dµ(∓) + W (∓) (ϕ(∓) (x), x) A(∓) (x)µ=R·A(x),dxµ(−) (0) = R(−) ;µ(+) (1) = R(+) ,99(3.38)ãäå R, R(−) , R(+) íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû, à ôóíêöèÿ W (∓)îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (3.19).Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå−S (−) (x)µ(−) (x) = R(−) e+R·eZx −S (−) (x)(−)−1 (−)(s)eS (s) ds;(+)−1 (+)(s)eS (s) ds.A(3.39)0µ(+) (x) = R(+) e−S(+) (x)+ R · e−SZx (+) (x)A1Çäåñü S (∓) (x) ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â (3.20).

Ôóíêöèè µ(∓) (x)ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè x ∈ [0, 1] â ñèëó íåðàâåíñòâ èç(−)óñëîâèÿ (B1): AÔóíêöèè(+)(x) > 0, A(∓)q0 (ξβ , t)(x) < 0, âûïîëíåííûõ íà ýòîì îòðåçêå.ñëóæàò äëÿ óñòðàíåíèÿ íåâÿçîê ïîðÿäêà εn â âû-ðàæåíèè L[β] è ïîðÿäêà εn+1 â óñëîâèè íåïðåðûâíîãî ñøèâàíèÿ âåðõíåãîðåøåíèÿ (3.36), âîçíèêàþùèõ â ðåçóëüòàòå ìîäèôèêàöèè ðåãóëÿðíîé ÷àñòè äîáàâêè µ(∓) (x). Îïðåäåëèì èõ êàê ðåøåíèÿ çàäà÷ 2 (∓)(∓) ∂ q0 2 − à (ξβ ) ∂ q0 − ∂ Ã Φ (ξβ , xβ ) q (∓) = Φ (ξβ , xβ ) ∂ à (ξβ ) µ(∓) (xβ ) ,0∂ξβ∂u∂u∂ξβq (∓) (0, t) + µ(∓) (x ) = 0, q (∓) (∓∞, t) = 0.β00(3.40)Ôóíêöèè(∓)q0 (ξβ , t)ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå:(−)q0 (ξβ , t) == −µ(−)Φ(ξβ , xβ )(xβ )+Φ(ξβ , xβ )Φ(0, xβ )Zξβ Φ(s, xβ )−1ZsΦ (η, xβ )!∂ Ã(−)(η)µ (xβ ) dηds,∂u−∞0ξβ 6 0;(3.41)100(+)q0 (ξβ , t) == −µ(+)Φ(ξβ , xβ )(xβ )+Φ(ξβ , xβ )Φ(0, xβ )Zξβ Φ(s, xβ )0−1ZsΦ (η, xβ )!∂ Ã(+)(η)µ (xβ ) dηds,∂u+∞ξβ > 0.(∓)Äëÿ ôóíêöèé q0 (ξβ , t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (3.18).(∓)Ôóíêöèè q1 (ξβ , t) óñòðàíÿþò íåâÿçêè ïîðÿäêà εn+1 â âûðàæåíèèL[β], âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ â âåðõíåå ðåøåíèå ôóíêöèé(∓)µ(∓) (x) è q0 (ξβ ) è îïðåäåëÿþòñÿ èç çàäà÷(∓)(∓)∂ 2 q1∂q1∂ Ã(∓)−(ξ)Φ(ξβ , xβ )·q1 = q1 f (∓) (ξ, t),2 −Ã(ξ)∂ξ∂u∂ξββ(∓)q1 (0, t) = 0;(∓)q1 (∓∞, t) = 0,(3.42)ãäåq1 f (∓) (ξ, t) ="(∓) (∓)dxβ ∂q0∂ 2 à (∓)dϕ(∓)∂ à dµ(∓)(∓)(∓)=−ξβ +U 1 + Q1 +ξβ ++µ + q0dt ∂ξβ∂u dxdx∂u2#∂ 2 à (∓)(∓)Φ++ξβ µ + q0∂u∂x!(∓)(∓)∂q0∂ Ãdϕ(∓)∂ Ã∂ à ∂Q1 (∓)(∓)(∓)(∓)+U 1 + Q1 +ξβ +ξβ +µ + q0+∂ξβ∂udx∂x∂u ∂ξβ ∂ B̃ dµ(∓) ∂ à dϕ(∓) (∓)(∓)(∓)+ Ã+µ + q0+µ(∓) + q0−dx∂u dx∂udµ(∓) ∂A dϕ(∓) (∓) ∂B (∓)−A−µ −µ .

(3.43)dx∂u dx∂uÇäåñü A = A(xβ (ε)), à = Ã(ξβ ) è àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþò îáîçíà(∓)(∓)÷åíèÿ B , B̃ è ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé A, à è B, B̃ . Ôóíêöèè U 1 , U 2 ,101ϕ(∓) áåðóòñÿ ïðè çíà÷åíèè x = x∗ .(∓)Äëÿ ôóíêöèé q1 f (∓) (ξβ , t) è q1 (ξβ , t) ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûåîöåíêè òèïà (3.18).Íèæíåå ðåøåíèå α(x, t, ε) çàäà÷è (3.1) ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî âåðõíåìó. Ïðè êàæäîì t ∈ [0, T ] îïðåäåëèì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþx − xα (t)ξα =, ãäå ôóíêöèÿ xα (t) îïðåäåëåíà â (3.37).εÒî÷íî òàê æå, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, íèæíååðåøåíèå çàäà÷è (3.1) áóäåì ñòðîèòü îòäåëüíî â êàæäîé èç ïîäîáëàñòåé(∓)Dα , íà êîòîðûå êðèâàÿ xα (t) ðàçáèâàåò îáëàñòü D.Ôóíêöèè α(−) (x, t, ε) è α(+) (x, t, ε) áóäåì ñøèâàòü äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ t ∈ [0, T ] â òî÷êå xα (t) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâîα(−) (xα , t, ε) = α(+) (xα , t, ε) = ϕ(xα (t)).Áóäåì ñòðîèòü íèæíåå ðåøåíèå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñüñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî äëÿ ðàçíîñòè ïðîèçâîäíûõ íèæíåãî ðåøåíèÿ:5.∂α(−) ∂α(+) −6 0.∂x x=xα (t)∂x x=xα (t)Ôóíêöèè α(∓) (x, t, ε) áóäåì ñòðîèòü êàê ìîäèôèêàöèþ àñèìïòîòè÷åñêèõðàçëîæåíèé (3.34) ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1):α(−)(x, t, ε) =(−) Un+2 − εn+1ξα(−)(−)µ(−) (x) + q0 (ξα , t) + εq1 (ξα , t) ,(3.44)0 6 x 6 xα ,(+) α(+) (x, t, ε) = Un+2 − εn+1ξαξα 6 0,t ∈ [0, T ];(+)(+)µ(+) (x) + q0 (ξα , t) + εq1 (ξα , t) ,xα 6 x 6 1,ξα > 0,t ∈ [0, T ].Çäåñü ôóíêöèè µ(∓) (x) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (3.39), à(∓)(∓)ôóíêöèè q0 (ξα , t) è q1 (ξα , t) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè òåõ æå çàäà÷, ÷òî102è äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ, â êîòîðûõ ïåðåìåííûå ξβ , xβ çàìåíåíû íà ξα , xα .Ëåììà.

Ôóíêöèè β(x, t, ε) è α(x, t, ε), îïðåäåëåííûå (3.37) è (3.44),óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 5 îïðåäåëåíèé âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ñîñòîèò â ïðîâåðêå óñëîâèé 1 5.Íåðàâåíñòâî 1, α(x, t, ε) < β(x, t, ε), ïðîâåðÿåòñÿ â êàæäûé ìîìåíòâðåìåíè ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ãë. 2.Âûïîëíåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ 2 ñëåäóåò èç ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè β (∓) â âû(∓)ðàæåíèå L[β] (ñì.

äèô. íåð-âî 2) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèè µ(∓) , q0(∓)è q1ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåíèÿìè çàäà÷ (3.39), (3.40), (3.42),ïîëó÷èìL[β] = −εn+1 R + O(εn+2 ) < 0,L[α] = εn+1 R + O(εn+2 ) > 0,ãäå R > 0 ïîñòîÿííàÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (3.38).Óñëîâèÿ 3 îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íîáîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí R(−) è R(+) â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõçàäà÷è (3.38).Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà 5 äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ.

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ìåæäó ïðîèçâîäíûìè âåðõíåãî ðåøåíèÿ ïðè x = xβ (t)(äëÿêàæäîãî çíà÷åíèÿ t):∂β (−) ∂β (+) −.∂x∂x x=xβ (t)Ïîäñòàâèì â ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå íåðàâåíñòâî âåðõíåå ðåøåíèå âÿâíîì âèäå, òîãäà ïðèéäåì ê âûðàæåíèþ103∂β (−) ∂β (+) −=∂x∂x x=xβ (t)! (−)(−)(+) nXdϕdϕ(+) dUdUii=−−++εidxdxdxdxx=xβ (t)i=1x=xβ (t)!!n+1(+)(−)(+)(−)X∂Qi∂q0∂q∂Qi−+εn− 0+O εn+1 .+εi−1∂ξβ∂ξβ∂ξβ∂ξβ i=1ξβ =0ξβ =0(3.45)Ïðåîáðàçóåì ñóììó ñëàãàåìûõ ïðè ε0 â âûðàæåíèè (3.45), èñïîëüçóÿîïðåäåëåíèå (3.24) äëÿ ôóíêöèè H(x∗ ).(−)(+)dϕdϕ+−dxdx x=xβ(−)∂Q1∂ξβ−(+)∂Q1∂ξβ!=ξβ =0dxβϕ(−) − ϕ(+) x=x − H(xβ ) =βdtdXn (−)dδ (−)=ϕ (Xn ) − ϕ(+) (Xn ) − H (Xn ) − εnϕ (Xn ) − ϕ(+) (Xn ) −dtdtddHdx0(Xn ) + O εn+1 .δϕ(−) (x) − ϕ(+) (x) + εn δ− εndtdxdxβx=Xn=(3.46)(±)Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ôóíêöèé q0 (ξβ , t), ïðèéäåì ê ðàâåíñòâó(−)(+)∂q0∂q− 0∂ξβ∂ξβ!= −A(−)(ξβ )µ(−) (ξβ ) + A(+)(ξβ )µ(+) (ξβ ).(3.47)ξβ =0(∓)Èç óñëîâèÿ ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé U n+2 ,ñëåäóåò, ÷òî â âûðàæåíèè (3.45) îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî ñëàãàåìûå íåáîëüøèå O(εn ), ïðè÷åì, ãëàâíûå ÷ëåíû (ïîðÿäêà O(εn )) âîçíèêàþò èç-çàñäâèãà òî÷êè ëîêàëèçàöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ è ìîäèôèêàöèè ðåãóëÿðíîé÷àñòè àñèìïòîòèêè â âåðõíåì ðåøåíèè.104Âûäåëÿÿ òîëüêî îñíîâíûå êîìïîíåíòû â ðàçíîñòè (3.45) è ïðèíèìàÿâî âíèìàíèå âûðàæåíèÿ (3.46) è (3.47), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñêà÷êàïðîèçâîäíîé âåðõíåãî ðåøåíèÿ ïðè x = xβ (t) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ t ∈[0, T ]∂β (−) ∂β (+) n dδ(−)(+)−=−εϕ(x)−ϕ(x)+ εn δD(x0 (t))−00∂x∂xdtx=xβ (t)(−)(+)− εn A (x0 (t))µ(−) (x0 (t)) + εn A (x0 (t))µ(+) (x0 (t)) + O εn+1 ,ãäå D(x0 (t)) îïðåäåëåíî âûðàæåíèåì (3.31).Îïðåäåëèì ôóíêöèþ δ(t) êàê ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è−1dδ(−)(+)=δD(x(t))ϕ(x(t))−ϕ(x(t))−000 dt (−)−1(+)+ σ,− A (x0 (t))µ(−) (x0 (t)) − A (x0 (t))µ(+) (x0 (t)) ϕ(−) (x0 (t)) − ϕ(+) (x0 (t))δ(0) = δ0 .Ïðè óêàçàííîì âûáîðå δ(t) âûðàæåíèå äëÿ ñêà÷êà ïðîèçâîäíîé âåðõíåãî ðåøåíèÿ ïðèíèìàåò âèä:∂β (−) ∂β (+) n(+)(−)n+1−=σεϕ(x)−ϕ(x)+Oε.00∂x∂xx=xβ (t)Ïîñêîëüêó ϕ(+) (x0 ) − ϕ(−) (x0 ) > 0, âûðàæåíèå ñïðàâà ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ â ñëó÷àå âûáîðà σ > 0.Âûáèðàÿ σ > 0, îáåñïå÷èì âûïîëíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà 5 äëÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ.Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ âûïîëíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà 5 äëÿ íèæíåãî ðåøåíèÿ.Ëåììà äîêàçàíà.105Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñðàâíåíèÿ [22] ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u(x, t, ε) çàäà÷è (3.1),êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:α(x, t, ε) 6 u(x, t, ε) 6 β(x, t, ε),Ïîñêîëüêó β (x, t, ε) − α (x, t, ε)α (x, t, ε) + O (εn−1=(x, t) ∈ D.O (εn−1 ), òî u(x, t, ε)) = Un−2 (x, t, ε) + O (εn−1=).