Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 14

[46]). (∓)Q0 (ξ, t) 6 Ce−k|ξ| ,(4.16)ãäå k, C ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.Ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó óñëîâèÿ (C2) (óñëîâèå áàëàíñà àäâåêöèè):∂ ũ0∂ ũ0(ξ − 0, t, x∗ ) =(ξ + 0, t, x∗ ).∂ξ∂ξ118Ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì ââåñòè íåïðåðûâíóþôóíêöèþΦ(ξ, t, x∗ ) =4.2.2∂ ũ0(ξ, t, x∗ ).∂ξ(4.17)×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêàÐåãóëÿðíàÿ ÷àñòüÂâåäåì îáîçíà÷åíèå(∓)A(x, t) = A ϕ(∓) , x, t .Àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ ââåäåì òàêæå äëÿ B(±) ∂ A(±), ∂uè(±)∂B∂u.Îïðåäåëèì ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðå(−)øåíèÿ çàäà÷è (4.1).

Äëÿ ôóíêöèé U 1(+)è U1ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çà-äà÷è Êîøè (∓) (∓)(∓)(∓)(∓)∂U1∂ ϕ(∓)∂A∂BA(x,t)=−(x,t)(x,t)+(x,t)· U1 +∂x∂u∂x∂u(−)(+)(−)U(0,t)=0,(x,t)∈D,U(x, t) ∈ D(+)11 (1, t) = 0,(∓) (∓)U 1 (x, t + T ) = U 1 (x, t).∂ 2 ϕ(∓)(x, t)∂x2Äàëåå ââåäåì îáîçíà÷åíèå(∓)(∓)∂A ∂ϕ(∓) ∂B+∂u∂x∂u(−)Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ U 1(+)è U1!= W (∓) (u, x, t).ìîæíî âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå119(4.18)−∂ ϕ(∓)(x, t),∂t(−)U1−S (−) (x,t)Zx=e(−)0(+)U1dx0−S (+) (x,t)AZx(x0 , t)dx0=e1A(+)(x0 , t)∂ 2 ϕ(−) ∂ϕ(−)−∂t∂x2∂ 2 ϕ(+) ∂ϕ(+)−∂t∂x2eS(−) (x0 ,t)eS(+) (x0 ,t)(4.19),,ãäåS(−)Zx(x, t) =W (−) (ϕ(−) , x0 , t)S (+) (x, t) =(−)A0Zxdx0W (+) (ϕ(+) , x0 , t)dx0(+)A1(4.20),(x0 , t).(x0 , t)Âñå ôóíêöèè, óïîìÿíóòûå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ âûðàæåíèé äëÿ ôóíê(∓)(∓)öèé U 1 , ïåðèîäè÷íûå ïî ïàðàìåòðó t, ïîýòîìó ôóíêöèè U 1òàêæåïåðèîäè÷íûå ïî t.Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîéÄëÿ êðàòêîñòè ââåäåì îáîçíà÷åíèÿÃ(ξ, t) = A (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) , B̃(ξ, t) = B (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) .Ïîäñòàâèâ ôóíêöèè Q(∓) (ξ, t, ε) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ε âóðàâíåíèå (4.10) è óñëîâèÿ ñøèâàíèÿ (4.8) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε1 , ïîëó÷èì çàäà÷è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ(∓)Q1 (ξ, t) (∓)(∓)∂ 2 Q1∂ Q1(∓)(∓)−Ã(ξ,t)− ∂∂uà Φ(ξ, t, x∗ ) · Q1 = − ∂∂tx∗ Φ(ξ, t, x∗ ) + f1 (ξ, t),2∂ξ∂ξ(−)(+)(−)(+)Q1 (0, t) + U 1 (x∗ , t) = Q1 (0, t) + U 1 (x∗ , t) = 0,Q(∓) (∓∞, t) = 0, Q(∓) (ξ, t + T ) = Q(∓) (ξ, t),111120ãäå(∓)f1 (ξ, t) == Φ(ξ, t, x∗ )!(∓)∂ Ã∂ϕ∂Ã(∓)(ξ, t) U 1 (x∗ , t) +(x∗ , t) · ξ +(ξ, t) · ξ +∂u∂x∂x+ Ã(ξ, t)∂ϕ(∓)(x∗ , t) + B̃(ξ, t).

(4.21)∂x(∓)Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Q1 (ξ, t) ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîìâèäåΦ(ξ, t, x∗ )(∓)(∓)Q1 (ξ, t) = −U 1 (x∗ , t)+Φ(0, t, x∗ )ZξZξ0 ∂x∗−1(∓)+ Φ(ξ, t, x∗ ) (Φ(ξ 0 , t, x∗ ))f1 (η, t) −Φ(η, t, x∗ ) dη  dξ 0 .∂t±∞0Óñëîâèÿ (4.9) â ïåðâîì ïîðÿäêå ðàçëîæåíèÿ ïî ε äàþò ñëåäóùåå ðàâåíñòâî(−)∂Q1 ∂ξ +ξ=0(−)∂U 0 2(−)Q0 · x1 =∂ +∂x ∂ξ∂x x∗x∗(+)∂Q1 ∂ξ +ξ=0(+)∂U 0 2(−)Q0 · x1 ,∂ +∂x ∂ξ∂x x∗x∗(4.22)çà÷åðêíóòûå ñëàãàåìûå â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ðàâíû â ñèëó óñëîâèÿáàëàíñà àäâåêöèè.(∓)Äëÿ ôóíêöèé Q1 (ξ, t) âåðíû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (4.16).Äëÿ ïðîèçâîäíûõ(∓)∂ Q1∂ξïðè ξ = 0 íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå âû-ðàæåíèÿ121=−=−(−) ∂Q1∂ξZ0+∂x∗(−)(−)(t, ε) ϕ(x∗ , t) − ϕ(−) (x∗ , t) − U 1 (x, t)A (x∗ , t) +∂tξ=0!!∂ϕ(−)∂ Ã∂ϕ(−)∂ Ã(ξ, t)(x, t)ξ +(ξ, t)ξ + Ã(ξ, t)(x, t) + B̃(ξ, t) dξ,Φ(ξ, t, x∗ )∂u∂x∂x∂x−∞(+) ∂Q1∂ξZ0+∂x∗(+)(+)(t, ε) ϕ(x∗ , t) − ϕ(+) (x∗ , t) − U 1 (x, t)A (x∗ , t) +∂tξ=0!!∂ Ã∂ϕ(+)∂ Ã∂ϕ(+)Φ(ξ, t, x∗ )(ξ, t)(x, t)ξ +(ξ, t)ξ + Ã(ξ, t)(x, t) + B̃(ξ, t) dξ.∂u∂x∂x∂x+∞Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε1 â óñëîâèè ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ (4.9) ñ ó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ (4.5) äëÿ x∗ (t, ε), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿôóíêöèè x0 (t): dx0 ϕ(−) (x0 , t) − ϕ(+) (x0 , t) = H(t, x0 )dtx (t + T ) = x (t),0(4.23)0çäåñü ââåäåíà ôóíêöèÿ H(t, x0 ) = H (+) (t, x0 ) − H (−) (t, x0 ), ãäåH (±) (t, x∗ ) =∂ϕ(±) (x∗ , t)+∂xZ0+Φ(ξ, t, x∗ )∂ à ∂ϕ(±)∂ Ãξ+ξ∂u ∂x∂x!!∂ϕ(±)(±) (±)+ Ã(ξ, t)+ B̃(ξ, t) dξ−U 1 A (x∗ , t) .∂x±∞(4.24)Îáîçíà÷èì H(t, x∗ ) = H (+) (t, x∗ ) − H (−) (t, x∗ ).Ïîòðåáóåì ðàçðåøèìîñòè ýòîé çàäà÷è:(C4) Ïóñòü çàäà÷à (4.23) èìååò ðåøåíèå x0 (t) ∈ (0, 1) ïåðèîäè÷íîåïî ïàðàìåòðó t ïðè t ∈ R.1224.2.3×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âòîðîãîïîðÿäêàÏîñòðîèì ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ε ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1).Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèèÐåãóëÿðíûå ôóíêöèè áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ èç çàäà÷ Êîøè(∓)(∓)(∓)(∓)A (x, t) ∂ U∂x2 = −W (∓) (u, x, t)U 2 + f¯2 (x, t),(−)(+)U 2 (0, t) = 0, U 2 (1, t) = 0,U (±) (x, t + T ) = U (±) (x, t),22ãäå ôóíêöèÿ W (∓) (u, x, t) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (4.18), à ôóíêöèÿ(∓)f¯ (x, t) èìååò âèä àíàëîãè÷íûé (3.2.3).2Ôóíêöèè U 2 (x, t) ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå ïî àíàëîãèèñ (4.19) è òàêæå êàê è U 1 (x, t) ÿâëÿþòñÿ T -ïåðèîäè÷åñêèìè ïî ïåðåìåííîé t.Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîé(∓)Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ âòîðîãî ïîðÿäêà Q2 (ξ, t) îïðåäåëÿþòñÿ êàêðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷: 2 (∓)(∓)∂ Q2∂ Q2(∓)(∓)−Ã(ξ,t)− Φ(ξ, t, x∗ ) ∂∂uà Q2 = f2 (ξ, t) −2∂ξ ∂ξQ(−) (0, t) + U (−) (x∗ , t) = Q(+) (0, t) + U (+) (x∗ , t) = 0,2222(∓)(±)Q2 (ξ, t + T ) = Q2 (ξ, t), (∓)Q2 (∓∞, t) = 0,(∓)∂ x∗ ∂ Q1∂t∂ξ,(∓)ãäå ôóíêöèÿ f2 (ξ, t) èìååò âèä àíàëîãè÷íûé (3.27).Èç óñëîâèÿ ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ (4.9) âî âòîðîì ïîðÿäêå ïî ε ñ ó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ (4.5) àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ãë.

3123(ñì. (3.30) è (3.2.3)), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè x1 (t). Îïðåäåëèìýòó ôóíêöèþ êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è ñ ïåðèîäè÷åñêèìè óñëîâèÿìè ïî âðåìåíè:− dx1 ϕ(+) (x0 , t) − ϕ(−) (x0 , t) = Dx1 + G1 (x0 (t)),dtx (t + T ) = x (t),11ãäå G1 (x0 (t), t) èçâåñòíàÿ T -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ âûïèñûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (3.33),dx0 ∂∂H(+)(−)(t, x∗ )+ϕ (x∗ , t) − ϕ (x∗ , t) . (4.25)D(t) =∂x∗dt∂x∗x∗ =x0x∗ =x0(C5)Ïóñòü ôóíêöèÿ D(t) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóZT(ϕ(+) (xD(t)dt > 0.(−) (x , t))0 , t) − ϕ00Ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò îäíîçíà÷íóþ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è äëÿx1 (t) è èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè îáîñíîâàíèè àñèìïòîòèêè.4.2.4×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêàÐåãóëÿðíûå ôóíêöèè(∓)Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè U k (x, t) ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ε ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êàê ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõçàäà÷ Êîøè(∓)(∓)(∓)(∓)∂UkA(x,t)= −W (∓) (ϕ(∓) (x), x, t)U k + f¯k (x, t),∂x(−)(+)U k (0, t) = 0, U k (1, t) = 0,U (∓) (x, t + T ) = U (∓) (t),kk124(∓)ãäå f¯k (x, t) èçâåñòíûå ôóíêöèè, âûðàæåííûå ÷åðåç ôóíêöèè áîëååíèçêèå ñòåïåíè àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîéÔóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ k ãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõçàäà÷: 2 (∓)(∓)∂Q∂ Qk(∓)(∓)− Ã(ξ, t) ∂ξk − Φ(∓) (ξ, t, x∗ ) ∂∂uà Qk = fk (ξ, t) −2∂ξQ(−) (0, t) + U (−) (x∗ , t) = Q(+) (0, t) + U (+) (x∗ , t) = 0,kkkk(∓)(∓)Qn (ξ, t + T ) = Qn (ξ, t), (∓)Qk (∓∞, t) = 0,(∓)∂ x∗ ∂ Qk−1,∂t∂ξ(∓)ãäå fk (ξ, t) èçâåñòíûå ôóíêöèè.Äëÿ ýòèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâû ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (4.16).Óñëîâèå ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ (4.9) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàäà÷ó äëÿôóíêöèè xk−1 (t).− dxk−1 ϕ(+) (x0 , t) − ϕ(−) (x0 , t) = D(x0 (t))xk−1 + Gk−1 (x0 (t)),dtx (t + T ) = x (t),k−1k−1ãäå Gk−1 (x0 (t)) èçâåñòíà, à ôóíêöèÿ D(x0 (t)) áûëà îïðåäåëåíà â (4.25).Ýòà çàäà÷à â ñèëó óñëîâèÿ (C5) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà.Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå àñèìïòîòèêè ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íûìîáðàçîì.125 ñèëó òîãî, ÷òî ôóíêöèè A(u, x, t), B(u, x, t), u(∓) (t) äîñòàòî÷íîãëàäêèå, ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà äëÿ ëþáîãîïîðÿäêà n.x − Xk+1 (t).

Êðèâàÿ Xk+1 (t)εi=0(−)=ðàçáèâàåò îáëàñòü D = {(x, t) : 0 6 x 6 1, t ∈ R} íà ïîäîáëàñòè DkdefÏîëîæèì Xk+1 (t) =k+1Pdefεi xi è ξk+1 =(+){(x, t) : 0 6 x 6 Xk+1 , t ∈ R} è Dk= {(x, t) : Xk+1 6 x 6 1, t ∈ R}.Ñîñòàâèì ñóììû:(−)Uk (x, t, ε) =(+)Uk (x, t, ε)=kXi=0kX (−)(−)εi U i (x, t) + Qi (ξk+1 , t) ,εi(+)U i (x, t)+(+)Qi (ξk+1 , t),(−)(x, t) ∈ Dk ,(4.26)(+)(x, t) ∈ Dk .i=0Ââåäåì ôóíêöèþdefUk (x, t, ε) =U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ Dk(+)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ Dk(−)kk,.Ôóíêöèÿ Uk (x, t, ε) óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì (4.1) òî÷íî èóðàâíåíèþ (4.1) ñ òî÷íîñòüþ O εk âñþäó â îáëàñòè D çà èñêëþ÷åíèåìêðèâîé Xk+1 (t), íà êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ äàííîé ôóíêöèè òåðïèò ðàçðûâ(èìååò ñêà÷îê).4.3Îñíîâíîé ðåçóëüòàòÒåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (C1)(C5). Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íîìàëîãî ε ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, t, ε) çàäà÷è (4.1), êîòîðîå â êàæäûéìîìåíò âðåìåíè èìååò ïåðåõîäíûé ñëîé âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà x0 (t),òî åñòü126ϕ(−) (x, t) ïðè 0 6 x < x0 (t),lim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(+) (x, t) ïðè x (t) < x 6 1,0t ∈ R,t∈Rè óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâódef|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| 6 Cn εn+1 ïðè (x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ R},ãäå ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Cn íå çàâèñèò îò ε.Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà, ñôîðìóëèðîâàííîãî â òåî-ðåìå, îñíîâàíî íà ìåòîäå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [3].

Íàïîìíèìîïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè α(x, t, ε) è β(x, t, ε), íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, íèæíèì è âåðõíèì ðåøåíèÿìè êðàåâîé çàäà÷è (4.1), åñëè îíèîáëàäàþò ñâîéñòâàìè íåïðåðûâíîñòè è T ïåðèîäè÷íîñòè ïî ïåðåìåííîét, à òàêæå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì äèôôåðåíöèàëüíûì íåðàâåíñòâàì:1. Óñëîâèå óïîðÿäî÷åííîñòèα(x, t, ε) < β(x, t, ε) ïðè (x, t) ∈ D,2. Äèôôåðåíöèàëüíûå íåðàâåíñòâà 2 ∂ α ∂α∂αdef−+ B(α, x) > 0, (x, t) ∈ D, ε ∈ (0, ε0 ];L[α] = ε− A(α, x)∂t∂x∂x2 2 ∂ β ∂β∂βdefL[β] = ε−− A(β, x)+ B(β, x) 6 0, (x, t) ∈ D, ε ∈ (0, ε0 ].∂t∂x∂x23. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿα(0, t, ε) 6 u(−) (t) 6 β(0, t, ε),127α(1, t, ε) 6 u(+) (t) 6 β(1, t, ε);4. Óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòèα(x, t + T, ε) = α(x, t, ε),β(x, t + T, ε) = β(x, t, ε).Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [45]), ÷òî ñóùåñòâîâàíèå óïîðÿäî÷åííûõíèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿu(x, t, ε) çàäà÷è (4.1), óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó α(x, t, ε) 6u(x, t, ε) 6 β(x, t, ε) äëÿ âñåõ (x, t) ∈ D è äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε ∈(0, ε0 ].Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâûå xα (t, ε) è xβ (t, ε), îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ ïåðåõîäíûõ ñëîåâ äëÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåãîè âåðõíåãî ðåøåíèé, çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:xβ (t) = Xn (t) − εn δ(t),xα (t) = Xn (t) + εn δ(t),(4.27)ãäå = Xn (t) ðàçëîæåíèå (4.5) äî nãî ïîðÿäêà, δ(t) ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ áóäåò îïðåäåëåíà íèæå.Êàæäàÿ èç êðèâûõ x = xβ (t) è x = xα (t) äåëèò îáëàñòü D, ñîîòâåò(−)(+)ñòâåííî, íà äâå ïîäîáëàñòè Dβ , Dβ(−)(+)è Dα , Dα , ñîîòâåòñòâåííî,ãäån(x, t) : −1 6 x 6 xβ (t),ndef= (x, t) : xβ (t) 6 x 6 1,(−) defDβ(+)Dβ(∓)Ïîäîáëàñòè Dα=ot∈R ,ot∈R .îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Áóäåì ñòðîèòü ôóíêöèè β (−) (x, t, ε) è β (+) (x, t, ε) îòäåëüíî â ïîä(−)îáëàñòÿõ Dβ(+)è Dβ , à çàòåì íåïðåðûâíî ñøèâàòü ïðè êàæäîìçíà÷åíèè t â òî÷êå x = xβ (t) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùååðàâåíñòâî128(4.28)β (−) (xβ , t, ε) = β (+) (xβ , t, ε) = ϕ(xβ (t), t),ãäå ôóíêöèÿ ϕ(x∗ , t) îïðåäåëåíà â (4.6).Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ β(x, t, ε) íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, â òî÷êàõ x =∂βòåðïèò ðàçðûâ.