Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 13

Çàìåíÿÿ n − 2 íàn â ðàâåíñòâå u(x, t, ε) = Un−2 (x, t, ε) + O (εn−1 ), ïîëó÷èì îöåíêó|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| 6 Cn εn+1 . Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíàÿ òåîðåìàäîêàçàíà.3.4Ïðèìåð êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó ∂2uε2 − ∂x∂u∂t=−u ∂∂xu+11 21x − 0.3x − 0.3x +,242def(x, t) ∈ D = {x ∈ (0, 1); t ∈ (0, T )};u(0, t, ε) = −0.5, u(1, t, ε) = 0.45, u(x, 0, ε) = u (x, ε).init(3.48)Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå (3.2) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèäduu=dx11 21x − 0.3x − 0.3x +.242Ðåøàÿ åãî ñ ëåâûì è ïðàâûì ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ϕ(∓) (x):ϕ(−)(x) = −11 2x − 0.3x +42,11ϕ(+) (x) = x2 − 0.3x + .42Çàìåòèì, ÷òî ϕ(−) (x) = −ϕ(+) (x) è ïðè x ∈ [0, 1] âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà ϕ(−) (x) < 0, ϕ(+) (x) > 0, èç êîòîðûõ ñëåäóåò âûïîëíåíèå106óñëîâèÿ (B1).Óñëîâèå (B2) òàêæå âûïîëíåíî:ϕ(+)Z (x)ϕ(+)Z (x)A(u, x)du = −ϕ(−) (x)udu = 0.−ϕ(+) (x)Óñëîâèå (B3) âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêóZs−udu = −2s2+ ϕ(−) (x) > 02ϕ(−) (x)äëÿ âñåõ s ∈ ϕ(−) (x), ϕ(+) (x) .Ðåøàÿ çàäà÷ó (3.11), ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé(∓)Q0 (ξ, t):(−)Q0 (ξ, t) = −2ϕ(−), ξ 6 0;eϕ(−) ξ + 1(+)Q0 (ξ, t) = −2ϕ(+),eϕ(+) ξ + 1ξ > 0.Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìîãîïðèìåðà èìåþò âèä:(1 − x).2ϕ(+) (x)Äëÿ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ïåðåõîäíûé ñëîé, â ïåðâîì ïîðÿäêå ðàçx(−)U 1 (x) =2ϕ(−) (x)(+),U 1 (x) =ëîæåíèÿ ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:(∓)(∓)4eϕ ξ4eϕ ξ=−×(1 + eϕ(∓) ξ )2 (1 + eϕ(∓) ξ )2(∓)U 1 −ϕ(∓) ξ−1 ϕ(∓) (∓)ϕ(∓) dϕ(∓) ×e−U1 ξ −ξ+224dx x∗ 1 dϕ(∓) 1 dϕ(∓) −ϕ(∓) ξ1 dϕ(∓) −ϕ(∓) ξξe+ (∓)e− (∓), (3.49)+2 dx x∗2ϕdx x∗2ϕdx x∗(∓)Q1 (ξ, t)(∓)−U 1107ãäå ôóíêöèè ϕ(∓) è U 1 â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè áåðóòñÿ â òî÷êå x∗ (t).(∓)Äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé Q1 (ξ, t) ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ(∓) ∂Q1∂ξ(∓)= U 1 (x0 )ϕ(∓) (x0 ) +ξ=0dx0 (∓)ϕ (x0 ) ,dtÓðàâíåíèå (3.23) äëÿ ôóíêöèè x0 (t) ïðèíèìàåò âèädx00.1=−.2dt0.5x0 − 0.6x0 + 1(3.50)Âûáåðåìôóíêöèþ uinit (x, s) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëüíóþ 11uinit,ε = ϕ= 0 (ôóíêöèÿ ϕ(x) îïðåäåëåíà âûðàæåíèåì (4)).22Òîãäàx00 = 0.5.(3.51)Ðåøåíèå çàäà÷è (3.50), (3.51) çàäàåòñÿ íåÿâíî âûðàæåíèåì1 310731x0 − x20 + x0 + t −= 0.(3.52)6101024011071101Çàìåòèì, ÷òî F (0, t) =t−; F (1, t) =t+, è ïðè t ∈1024010241070,âûïîëíåíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà F (0, t) > 0; F (1, t) < 0, êðîìå òîãî,24ôóíêöèÿ F (x, t) íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ñåãìåíòå x0 ∈defF (x0 , t) =[0, 1].Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè,åäèíñòâåííîñòè è íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè x0 (t), çàäàííîé íåÿâíî âû107ðàæåíèåì (3.52) â ïðÿìîóãîëüíèêå06x61;0<t<.024107Òàêèì îáðàçîì, ïðè t ∈ 0,âñå óñëîâèÿ îñíîâíîé òåîðåìû, ñôîð24ìóëèðîâàííîé â ï.3, âûïîëíåíû, è çàäà÷à (3.48) èìååò ðåøåíèå ñ äâèæóùèìñÿ ïåðåõîäíûì ñëîåì, ëîêàëèçîâàííûì âáëèçè x0 (t).108Èñïîëüçóÿ ÿâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ (3.26), (3.28), à òàêæå (3.2.3), íåòðóäíî âûïèñàòü çàäà÷ó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âàæíîé äëÿ ïðèëîæåíèé ïîïðàâêè x1 (t): dx1 ϕ(+) (x0 ) − ϕ(−) (x0 ) = 1 ,dt9x1 (0) = 0.109Ãëàâà 4Ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷åñêîãîðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìïåðåõîäíûì ñëîåì â çàäà÷åðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ âñëó÷àå áàëàíñà àäâåêöèè4.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.

Îñíîâíûå óñëîâèÿÐàññìàòðèâàåòñÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à Äèðèõëå ñ ïåðèîäè÷åñêèì óñëîâèåì: ∂2u∂uε= A(u, x, t) ∂∂xu + B(u, x, t),2 − ∂t∂x(x, t) ∈ D def= {x ∈ (0, 1); t ∈ (−∞, +∞)},u(0, t, ε) = u(−) (t), u(1, t, ε) = u(+) (t),u(x, t, ε) = u(x, t + T, ε).(4.1)Ôóíêöèè A(u, x, t), B(u, x, t), u(−) (t) è u(+) (t) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå èïåðèîäè÷åñêèå ïî t ñ ïåðèîäîì T .110 äàííîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è àñèìïòîòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì êðàåâîé çàäà÷è (4.1) ñ ïåðèîäè÷åñêèì óñëîâèåì ïî ïàðàìåòðó t.

Ïðîâîäèòñÿ ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ òàêîãî âèäà.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, ïðèáëèæàåìîãî ïîñòðîåííûìàñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì, ïðîâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [3, 21, 22]Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (4.1) ïðè îïðåäåëåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.Ïîëîæèâ â óðàâíåíèè (4.1) ε = 0, ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå âûðîæäåííîå óðàâíåíèå:∂u+ B(u, x, t) = 0,(4.2)∂xãäå t ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïàðàìåòð. Áóäåì ðåøàòü ýòî äèôôåðåíöèàëüA(u, x, t)íîå óðàâíåíèå ñ êàæäûì èç êðàåâûõ óñëîâèé çàäà÷è (4.1):u(0, t) = u(−) (t),(4.3)u(1, t) = u(+) (t).(4.4)Ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ ðåøåíèé îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèåì.(C1) Ïóñòü çàäà÷è (4.2), (4.3) è (4.2), (4.4) èìåþò ðåøåíèÿ u(x, t) =ϕ(−) (x, t) è u(x, t) = ϕ(+) (x, t), ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå îïðåäåëåíû äëÿdefïåðåìåííûõ (x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ (−∞; +∞)}.

Ýòè ðåøåíèÿ T ïåðèîäè÷íûå ïî ïåðåìåííîé t è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàìϕ(−) (x, t) < ϕ(+) (x, t) ïðè (x, t) ∈ D,A ϕ(−) (x, t), x, t > 0, A ϕ(+) (x, t), x, t < 0 ïðè (x, t) ∈ D.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóùåå óñëîâèå, ââåäåì ôóíêöèþI(x, t)111ϕ(+)Z (x,t)I(x, t) =A(u, x, t)du,ϕ(−) (x,t)è ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå òîæäåñòâî.(C2) Óñëîâèå áàëàíñà àäâåêöèè:I(x, t) ≡ 0,∀ (x, t) ∈ D.Òàêæå ïîòðåáóåì âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî íåðàâåíñòâà(C3)ZsA (u, x, t) du > 0ϕ(−) (x,t)äëÿ âñåõ s ∈ ϕ(−) (x, t), ϕ(+) (x, t) è ∀x ∈ (0, 1), t ∈ R. äàëüíåéøåì ìû ïîñòðîèì ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ äëÿ êðàåâîé çàäà÷è (4.1), ñîäåðæàùåå âíóòðåííèéïåðåõîäíûé ñëîé â îáëàñòè êðèâîé x = x∗ (t, ε), ãäå x∗ áóäåò îïðåäåëåíîâ õîäå ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè.Áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ x∗ (t, ε) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ìàëîãîïàðàìåòðà ε:x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + .

. . ,(4.5)ãäå êîýôôèöèåíòû xk (t), k = 0, 1, . . . T ïåðèîäè÷íûå ôóíêöèè, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû â õîäå ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿD(−) defD(+) def= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ (−∞, +∞)},= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ (−∞, +∞)}.112Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå U (x, t, ε) ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1) áóäåì(−)(+)ñòðîèòü îòäåëüíî â êàæäîé èç ïîäîáëàñòåé DèD :(−)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ D ,U (x, t, ε) =(+)U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ D .Ïîñòðîåííûå ôóíêöèè U (−) (x, t, ε) è U (+) (x, t, ε) áóäåì ãëàäêî ñøèâàòü ïðè x = x∗ (t, ε) äëÿ êàæäîãî t. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè U (x, t, ε) â òî÷êå x∗ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíîdefU (x∗ , t, ε) = U (∓) (x∗ , t, ε) = ϕ(x∗ , t) =1 (−)ϕ (x∗ , t) + ϕ(+) (x∗ , t) , (4.6)2çäåñü ôóíêöèè ϕ(−) è ϕ(+) îïðåäåëåíû óñëîâèåì (C1). îêðåñòíîñòè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ ââåäåì ðàñòÿíóòóþ ïåðåìåííóþ:x − x∗ (t, ε),εÁóäåì èñêàòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ U (x, t, ε) çàäà÷èdefξ(x, t) =â âèäåU (x, t, ε) = U 0 (x, t) + εU 1 (x, t) + .

. . + Q0 (ξ, t) + εQ1 (ξ, t) + . . . =nX=εi U i (x, t) + Qi (ξ, t) , (4.7)i=0çäåñü, êàê è ðàíåå, U i (x, t) ðåãóëÿðíûå ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè;Qi (ξ, t) ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîé. ïîäîáëàñòÿõ D(−) è D(+) áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðàåâûå çàäà÷è (∓)∂ 2 u(∓)∂ u(∓)ε ∂x2 − ∂t= A(u, x, t) ∂ u∂x + B(u, x, t),u(0, t, ε) = u(−) (t), u(1, t, ε) = u(+) (t),u(x, t, ε) = u(x, t + T, ε),u(x∗ (t, ε), t, ε) = ϕ (x∗ (t, ε), t) ,113ãäå ϕ(x, t) îïðåäåëåíî âûðàæåíèåì (4.6).Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå U (x, t, ε) ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1) áóäåì(−)(+)ñòðîèòü îòäåëüíî â êàæäîé èç îáëàñòåé DèD :(−)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ D ,U (x, t, ε) =(+)U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ D .Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé xi (t) â ðàçëîæåíèè (4.5) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü óñëîâèå C 1 ñøèâàíèÿ.U(−)(x∗ (t, ε), t, ε) + Q(−) (0, t, ε) = U(+)(x∗ (t, ε), t, ε) + Q(+) (0, t, ε) ,ïðè t ∈ R, (4.8)(−)(+)∂U∂Q(−)∂U∂Q(+)ε(x∗ (t, ε), t, ε)+(0, t, ε) = ε(x∗ (t, ε), t, ε)+(0, t, ε),∂x∂ξ∂x∂ξïðè t ∈ R.

(4.9)Äëÿ ðåãóëÿðíûõ ÷àñòåé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ2ε(∓)∂ U∂x2(∓)∂U−∂t (∓) ∂U (∓) (∓)= A U , x, t+ B U , x, t∂x!ïðè (x, t) ∈ D(∓) ,ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìèUU(−)(0, t, ε) = u(−) (t)ïðè t ∈ R,(+)(1, t, ε) = u(+) (t)ïðè t ∈ Rè óñëîâèÿìè ïåðèîäè÷íîñòè114U(∓)(x, t, ε) = U(∓)(x, t + T, ε).Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîé, îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé:1 ∂ 2 Q(∓) ∂x∗ (t, ε) ∂Q(∓)∂Q(∓)+−ε=ε ∂ξ 2∂t∂ξ∂t ∂ (∓)1 h (∓)(∓)+=A U (x∗ (t, ε) + εξ, t, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξ, tQε∂ξ (∓) ∂U (∓)(∓)+A U (x∗ (t, ε) + εξ, t, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξ, t−∂x(4.10)(∓)−A U(∓)∂Ux∗ (t, ε)+εξ, t, ε) , x∗ (t, ε) + εξ, t)(x∗ (t, ε) + εξ, t, ε) +∂xh + B U(∓)(x∗ (t, ε) + εξ, t, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ, t − (∓)i−B U (x∗ (t, ε) + εξ, t, ε) , x∗ (t, ε) + εξ, t .Îñíîâíûì îòëè÷èåì îò (3.10) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü îòâðåìåíè ôóíêöèé A(u, x, t) è B(u, x, t), âõîäÿùèõ â ýòè óðàâíåíèÿ.Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé Q(∓) (ξ, t, ε) ïîëó÷àþòñÿ èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èèìåþò âèäQ(∓) (0, t, ε) + U(∓)(x∗ (t, ε), t, ε) = ϕ(x∗ (t, ε), t).Ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíî(∓)ãî ñëîÿ Qk (ξ, t) óñëîâèé óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè:(∓)Qk (±∞, t) = 0, t ∈ R,à òàêæå óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòèQ(∓) (ξ, t, ε) = Q(∓) (ξ, t + T, ε).1154.2Ïîñòðîåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ4.2.1Ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿÃëàâíûå ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû àñèìïòîòèêè îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì (C1)U 0 (x, t) =ϕ(−) (x, t),(x, t) ∈ D(−)ϕ(+) (x, t),(x, t) ∈ D(+),.Äëÿ ôóíêöèé íóëåâîãî ïîðÿäêà ðàçëîæåíèÿ ïî ε, îïèñûâàþùèõ ïå(−)ðåõîäíûé ñëîé, Q0(+)è Q0ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå êðàåâûå çàäà÷è (∓)(∓)∂ 2 Q0∂Q(∓)(∓)− A ϕ (x∗ (t), t) + Q0 , x∗ (t), t ∂ξ0 = 0 ïðè t ∈ R,2∂ξ (∓)Q0 (0, t) + ϕ(∓) (x∗ (t), t) = ϕ(x∗ , t)ïðè t ∈ R,(∓)(∓)Q0 (ξ, t + T ) = Q0 (ξ, t),Q(∓)ïðè t ∈ R.0 (∓∞, t) = 0ãäå ôóíêöèÿ ϕ(x∗ , t) îïðåäåëåíà â (4.6).Ââåäåì îáîçíà÷åíèåũ0 (ξ, t, x∗ ) =U (−) (x∗ , t) + Q(−) (ξ, t)ïðè ξ 6 0,t ∈ R,U (+) (x , t) + Q(+) (ξ, t)∗00ïðè ξ > 0,t ∈ R.00Äëÿ ôóíêöèè ũ0 (ξ, t, x∗ ) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:∂ 2 ũ0∂ ũ0 ∂ξ2 = A (ũ0 , x∗ , t) ∂ξ ;ũ0 (0, t, x∗ ) = ϕ(x∗ , t);ũ (∓∞, t, x ) = ϕ(∓) (x , t), ũ (ξ, t + T, x ) = ũ (ξ, t, x ) .0∗∗0∗0∗116(4.11)Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (4.11) ïðè êàæäîìçíà÷åíèè ïàðàìåòðà t ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà (2.4)d ũdΦ= Φ;= A (ũ, t, x∗ ) Φ.dξdξÐàçäåëèâ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà ïåðâîå, ïåðåéäåì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ ôóíêöèè ΦdΦ= A (ũ, t, x∗ ) .dũÎòñþäà ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè(ñì.

(4.11)) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãîïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè ũ (ξ, t, x∗ ):ũ(ξ,t,xR ∗)A(u, t, x∗ )du,∂ ũϕ(−) (x∗ ,t)Φ(ξ, t, x∗ ) ==ũ(ξ,t,xR ∗)∂ξ (+) A(u, t, x∗ )du,ϕξ 6 0,(4.12)ξ > 0.(x∗ ,t)Ïðè êàæäîì t ∈ [0, T ] ýòî óðàâíåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé íà ïëîñêîñòè (ũ, Φ), îäíà èç êîòîðûõ âûõîäèò èç òî÷êè ϕ(−) , 0 ïðè ξ → −∞, àäðóãàÿ âõîäèò â òî÷êó ϕ(+) , 0 ïðè ξ → +∞.Óñëîâèå (C2) îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [0, T ]äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ x ∈ (0, 1) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ũ, Φ) ñóùåñòâóåòêðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè ϕ(−) , 0 è ϕ(+) , 0 .Èç óñëîâèÿ (C2) ñëåäóåò ðàâåíñòâîΦ(−0, t, x∗ ) = Φ(+0, t, x∗ ).(4.13)Îòñþäà, à òàêæå èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé A(u, t, x∗ ) è ϕ(∓) (x∗ , t)â âûðàæåíèÿõ (4.12), ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè Φ(ξ, t, x∗ ) ïî117ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ ïðè ξ ∈ (−∞; +∞), x∗ ∈ (0, 1), t ∈ R.Ôóíêöèþ ũ(ξ, t, x∗ ) íàéäåì, èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ∂ ũ=∂ξũ(ξ,xZ ∗ ,t)A(u, x∗ , t)du,ξ 6 0, t ∈ R,ϕ(−) (x∗ ,t)∂ ũ=∂ξũ(ξ,xZ ∗ ,t)A(u, x∗ , t)du,ϕ(+) (x∗ ,t)ξ > 0, t ∈ R(4.14)ñ óñëîâèåìũ(0, x∗ , t) = ϕ(x∗ , t).(4.15) ñèëó ïðåäïîëîæåíèé (C1), (C3) ýòè çàäà÷è èìåþò åäèíñòâåííûåðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì îöåíêàìũ0 (ξ, t, x∗ ) − ϕ(∓) (x∗ , t) 6 ce−k|ξ| ïðè ξ ∈ R, t ∈ R,ãäå k, c ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.(∓)Äëÿ ôóíêöèé Q0 (ξ, t) ìîãóò áûòü âûïèñàíû ñëåäóþùèå ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè (ñì.