Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 8

. . è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè(∓)ε1 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé U 1 (x):(∓)dU(∓)A (x) 1dx!(∓)(∓)∂Adϕ(∓)∂Bd2 ϕ(∓)(∓)(x),(x)(x) +(x) U 1 +∂udx∂udx2 (2.26)=−ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ A(∓)(x) = A ϕ(∓) (x), x , B(∓)(x) = B ϕ(∓) (x), x .(−)Ðåøàÿ óðàâíåíèå (2.26) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè U 1 (0)(+)U 1 (1)=0,= 0, ïîëó÷àåì(−)U 1 (x)−=eRxW (−) (x0 )dx00Zx A(−)Rs (−) 0−1W(s )ds000 (−)(s)ϕ(s)e0ds,(2.27)(+)Rs (+) 0−1W(s )ds0(+)(s)ϕ00 (s)e1ds,(2.28)0(+)U 1 (x)−=eRxW (+) (x0 )dx1Zx 0A1ãäå!(∓)(∓)∂Adϕ(∓)∂B(x)(x) +(x) .∂udx∂u1W (x) =A(∓)(x)(2.29)(∓)Óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q1 (ξ) ïîëó÷àþòñÿèç (2.15):(∓)d2 Q1dξ 2(∓)dQ1= Ã(ξ)dξ+∂ Ã(∓)(∓)(ξ)Φ(ξ, x∗ ) Q1 (ξ) + f1 (ξ),∂u57(2.30)ãäå Ã(ξ) = A (ũ0 (ξ, x∗ ), x∗ ), ôóíêöèè ũ0 (ξ, x∗ ) è Φ(ξ, x∗ ) îïðåäåëåíû(∓)â (2.25), à ôóíêöèè f1 (ξ) èìåþò âèä(∓)f1 (ξ) = Φ(ξ, x∗ )! (∓) ∂ Ã∂ Ã(∓)(∓)(ξ) U 1 (x∗ ) + ϕ0 (x∗ )ξ +(ξ)ξ +Ã(ξ)ϕ0 (x∗ )+B̃(ξ),∂u∂xîáîçíà÷åíèå B̃(ξ) èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è Ã(ξ).(∓)Çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Q1 (ξ) â òî÷êå ξ = 0 îïðåäåëÿþòñÿ èç ãðàíè÷íûõóñëîâèé çàäà÷ (2.9) è (2.10) ñ ó÷åòîì (2.19):(−)(−)(+)(+)Q1 (0) + U 1 (x∗ ) = Q1 (0) + U 1 (x∗ ) = 0.(2.31) êà÷åñòâå âòîðîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå óáûâàíèÿ(∓)ôóíêöèé Q1 (ξ) íà áåñêîíå÷íîñòè:(−)Q1 (ξ) → 0 ïðè ξ → −∞;(+)Q1 (ξ) → 0 ïðè ξ → +∞.(2.32)Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ Φ(ξ, x∗ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.30), óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ Φ(ξ, x∗ ) → 0, ξ → ±∞.

Èñïîëüçóÿ ýòó ôóíêöèþ äëÿ ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.30) (ñì. [42]), ðåøåíèÿ çàäà÷ (2.30)(2.32) ìîæíî ïîëó÷èòü â ÿâíîìâèäå:(−)Q1 (ξ)=−(−)U 1 (x∗ )Φ−1 (0, x∗ )Φ(ξ, x∗ )ZξZs(−)−1+ Φ(ξ, x∗ ) Φ (s, x∗ ) f1 (η) dη ds,0(+)Q1 (ξ)=−(+)U 1 (x∗ )Φ−1 (0, x∗ )Φ(ξ, x∗ )−∞ZξZs(+)+ Φ(ξ, x∗ ) Φ−1 (s, x∗ ) f1 (η) dη ds,0+∞(2.33)(∓)Äëÿ ôóíêöèé Q1 (ξ) èìåþò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (2.22).Óñëîâèå ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ (2.17) â ïîðÿäêå ε1 èìååò âèä:(−)(+)dQ1 dQ1 dϕ(−) dϕ(+) d−+I(x∗ ) · x1 = 0 − +dξ dξ dx x=x0dx x=x0dx∗x∗ =x0ξ=0ξ=0(2.34)58ξ 6 0,ξ > 0.Ìíîæèòåëü, ñòîÿùèé â ñêîáêàõ ïðè x1 , îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó óñëîâèÿ (À2).

Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (2.33), ìîæíî âûðàçèòü ïðîèçâîäíûå(∓)ôóíêöèé Q1 (ξ) â ÿâíîì âèäå è ïîäñòàâèòü èõ â (2.34). Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ x0 , êîýôôèöèåíòà íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ òî÷êè ïåðåõîäà:(2.35)H(x0 ) ≡ H (−) (x0 ) − H (+) (x0 ) = 0,ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿH (±) (x∗ ) =dϕ(±)=(x∗ )+dxZ0Φ(ξ, x∗ )∂ à dϕ(±)∂ Ã(ξ)(x∗ )ξ +(ξ)ξ∂udx∂x!!dϕ(±)+ Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ−dx±∞(±)(±)− U 1 (x∗ )A(x∗ ) . (2.36)(A3) Ïóñòü ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 ∈ (0, 1) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.35).(A4) Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:dH < 0.dx∗ x0Ýòî íåðàâåíñòâî èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü ïðè îáîñíîâàíèè àñèìïòîòèêè.2.2.3×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âòîðîãîïîðÿäêàÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà çàäà÷ (2.9)è (2.10).(∓)Äëÿ ôóíêöèé U 2 (x) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ(∓)dU 2dx(∓)= −W (∓) (x)U 259(∓)+ f¯2 (x),(2.37)(∓)ãäå f¯2 (x) èçâåñòíûå ôóíêöèè.

Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (2.37) ñ íà÷àëüíûìè(−)(+)(∓)óñëîâèÿìè U 2 (0) = 0, U 2 (1) = 0, ìîæíî íàéòè ôóíêöèè U 2 (x) â ÿâíîìâèäå.(∓)Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q2 (ξ) îïðåäåëÿþòñÿ èç êðàåâûõ çàäà÷ (∓)(∓)dQ2d2 Q2(∓)(∓)=Ã(ξ)+ ∂∂uà (ξ)Φ(ξ, x∗ ) Q2 + f2 (ξ),2dξdξ(−)(+)(−)(+)Q2 (0) + U 2 (x∗ ) = Q2 (0) + U 2 (x∗ ) = 0,Q(−) (ξ) → 0 ïðè ξ → −∞; Q(+) (ξ) → 0 ïðè ξ → +∞,22ãäå(∓)f2 (ξ) = Φ (ξ, x∗ )∂ Ã∂u(∓)U2+(∓)dU 1dx2ξ+(∓)!1d ϕ2+2 ξ2 dx!2∂ 2 Ã1 ∂ 2 à 2dϕ(∓)dϕ(∓)(∓)(∓)(∓)(∓)ξ +ξ ξ+U 1 + Q1 +U 1 + Q1 +ξ +dx∂u∂xdx2 ∂x2!!(∓)dϕ(∓)∂ Ã∂ Ãdϕ(∓) dQ1(∓)(∓)+U 1 + Q1 +ξ +ξ ++dxdξ∂udx∂x!(∓)dU 1∂ B̃dϕ(∓)d2 ϕ(∓)∂ B̃(∓)(∓)+ Ã+U 1 + Q1 ++ξ +ξ−2 ξdx∂udx∂xdx!!(∓) (∓)(∓)dϕ(∓) ∂Adϕ(∓)∂A∂U 1d2 ϕ(∓)(∓)(∓)−U1 +ξ +ξ −A+ξ −dx∂udx∂x∂xdx2(∓) (∓)∂Bdϕ(∓)∂B(∓)−U1 +ξ −ξ.∂udx∂x1 ∂ 2 Ã+2 ∂u2Äëÿ ðåøåíèé ýòèõ çàäà÷ ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ âèäà (2.33).(∓)Çäåñü çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ϕ(∓) (x) è U 1,2 áåðóòñÿ â òî÷êå x∗ (ε),A = A(x∗ (ε)), à = Ã(ξ) è àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþò îáîçíà÷åíèÿ B , B̃è ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé A, à è B, B̃ .60(∓)Ôóíêöèè Q2 (ξ) èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè òèïà (2.22).Âûïèøåì óñëîâèÿ ñøèâàíèÿ (2.17) â ïîðÿäêå ε2 :(−)(+)(−)(+)dQ2 dQ2 dU 1 dU 1 − + − +dξ dξ dx dx ξ=0ξ=0x=x0x=x0 2d1dd2+H(x∗ ) ·x1 +·x1 +I(x∗ ) ·x2 = 0.2 I(x∗ ) dx∗2 dx∗dx∗x∗ =x0x∗ =x0x∗ =x0(2.38) ñèëó óñëîâèÿ (À2) ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â (2.38) îáðàùàþòñÿ âíóëü.

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà x1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ !dH · x1 = G1 ,(2.39)dx∗ x0ãäå G1 =(+)dQ2dξ(−)−dQ2dξξ=0(+)+dU 1dxξ=0(−)−dU 1dxx=x0çíà÷íî ðàçðåøèìî â ñèëó óñëîâèÿ (A4).2.2.4. Ýòî óðàâíåíèå îäíîx=x0×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêàÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà äëÿ çàäà÷ (2.9) è (2.10).(∓)Óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé U i (x) ðåãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ (2.12) ïîðÿäêà i = 1, . . . , n ïîëó÷àþòñÿ èç (2.14) è èìåþò âèä:(∓)dU idx(∓)= −W (∓) (x)U i(∓)+ f¯i (x),(2.40)(∓)ãäå f¯i (x) èçâåñòíûå íà iîì øàãå ôóíêöèè, ðåêêóðåíòíî âûðàæàþ-ùèåñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå ñëàãàåìûå ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè.(−)(+)Ðåøàÿ (2.40) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè U i (0) = 0, U i (1) = 0, ïîëó÷àåì(∓)ÿâíûå âûðàæåíèÿ âèäà (2.27), (2.28) äëÿ ôóíêöèé U i (x).61(∓)Çàäà÷è äëÿ ôóíêöèé Qi (ξ) ïîëó÷àþòñÿ èç (2.15): (∓)(∓)d2 QidQi(∓)(∓)=Ã(ξ)+ ∂∂uà (ξ)Φ(ξ, x∗ ) Qi (ξ) + fi (ξ),2dξdξ(−)(+)(+)(−)Qi (0) + U i (x∗ ) = Qi (0) + U i (x∗ ) = 0,Q(−) (ξ) → 0 ïðè ξ → −∞; Q(+) (ξ) → 0 ïðè ξ → +∞,ii(∓)ãäå fi(2.41)(ξ) èçâåñòíûå ôóíêöèè.Ðåøåíèÿ çàäà÷ (2.41) ìîæíî ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå (ñì.

(2.33)). Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè εi â óñëîâèè ñøèâàíèÿ (2.17), àíàëîãè÷íî (2.39), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ (i − 1)-îãî ñëàãàåìîãîðÿäà (2.8), xi−1 : !dH · xi−1 = Gi−1 ,dx∗ x0(2.42)ãäå ôóíêöèÿ H(x∗ ) îïðåäåëåíà â (2.35), à Gi−1 èçâåñòíûå âåëè÷èíû.Åñëè ïîòðåáîâàòü äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèé A(u, x), B(u, x),òî ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿçàäà÷è (2.2) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ k .Ïîëîæèì Xk+1 =Pk+1i=0εi xi è ξk+1 =x − Xk+1.εÑîñòàâèì ñóììû(−)Uk (x, ε)(+)=Uk (x, ε) =kXi=0kX (−)(−)εi U i (x) + Qi (ξk+1 ) ,x ∈ [0, Xk+1 ], (+)(+)εi U i (x) + Qi (ξk+1 ) ,x ∈ [Xk+1 , 1],i=0ÏîëîæèìUk (x, ε) =U (−) (x, ε),x ∈ [0, Xk+1 ],U (+) (x, ε),x ∈ [Xk+1 , 1].kk62(2.43)Ôóíêöèÿ Uk (x, ε) ïî ñâîåìó ïîñòðîåíèþ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.2) ñ òî÷íîñòüþ O εk íà èíòåðâàëå (0, 1) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êèXk+1 , â êîòîðîé îíà è åå ïðîèçâîäíûå èìåþò ðàçðûâû (ñêà÷êè ïîðÿäêàO εk+2 è O εk ñîîòâåòñòâåííî).

Êðàåâûì óñëîâèÿì ôóíêöèÿ Uk (x, ε)óäîâëåòâîðÿåò òî÷íî.632.3Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ãëàâû 2Òåîðåìà. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (A1)(A4) ïðè äîñòàòî÷íî ìà-ëîì ε > 0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, ε) çàäà÷è (2.2), äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ Un (x, ε) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà îòðåçêå [0, 1] àñèìïòîòè÷åñêèìïðèáëèæåíèåì ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà O (εn+1 ). Ýòî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåìçàäà÷è (2.1).Çàìå÷àíèå. Íèæå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ïîëó÷åíà îöåíêàëîêàëüíîé îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà, ñôîðìóëèðîâàííîãî â òåî-ðåìå, îñíîâàíî íà ìåòîäå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [21].Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó ñëåäóåò ïîñòðîèòü íåïðåðûâíûå ôóíêöèèα(x, ε) è β(x, ε), óäîâëåòâîðÿþùèå ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ñëåäóþùåé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ1.α(x, ε) < β(x, ε) ïðè x ∈ [0, 1],(óñëîâèå óïîðÿäî÷åííîñòè)2.d2 βdβL[β] = ε 2 − A(β, x)+ B(β, x) 6 0 6 L[α],dxdxdefx ∈ [0, 1],3.α(0, ε) 6 u0 6 β(0, ε),α(1, ε) 6 u1 6 β(1, ε);Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [41]), ÷òî ñóùåñòâîâàíèå óïîðÿäî÷åííûõ íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u(x, ε) çàäà÷è (2.2), óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó64α(x, ε) 6 u(x, ε) 6 β(x, ε) äëÿ âñåõ x ∈ [0, 1] è äîñòàòî÷íî ìàëûõε.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êè xα (ε) è xβ (ε), îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèÿâíóòðåííèõ ïåðåõîäíûõ ñëîåâ äëÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèé, çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:xβ = Xn − εn δ,xα = Xn + εn δ,(2.44)ãäå Xn ðàçëîæåíèå (2.8) äî nãî ïîðÿäêà, δ ïîëîæèòåëüíàÿâåëè÷èíà, êîòîðàÿ áóäåò îïðåäåëåíà íèæå.Áóäåì ñòðîèòü ôóíêöèè β (−) (x, ε) è β (+) (x, ε) îòäåëüíî íà ñåãìåíòàõ[0, xβ ] è [xβ , 1], à çàòåì íåïðåðûâíî ñøèâàòü â òî÷êå xβ òàê, ÷òîáûâûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:β (−) (xβ , ε) = β (+) (xβ , ε) = ϕ(xβ ),(2.45)ãäå ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëåíà â (2.7).dβòåðïèò ðàçdxðûâ (ñêà÷îê) ïðè x = xβ .