Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 7

Ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèåïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè òàêèõ ðåøåíèé è äîêàçàíà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ òî÷êè ïåðåõîäà. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïîñòðîåííîéàñèìïòîòèêè èñïîëüçóåòñÿ è ðàçâèâàåòñÿ íà ýòîò êëàññ çàäà÷ àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, ïîçâîëèâøèé òàêæå óñòàíîâèòü óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé.492.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.

Îñíîâíûå óñëîâèÿ ýòîé ãëàâå èññëåäóþòñÿ âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ è íåñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñ âíóòðåííèìè ñëîÿìè çàäà÷è ∂2u∂uε ∂x2 − ∂t = A(u, x) ∂∂xu + B(u, x),u(0, t) = u0 , u(1, t) = u1 ,u(x, 0) = uinit (x),0 < x < 1,t > 0;(2.1)ãäå A(u, x) è B(u, x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè, ε > 0 ìàëûéïàðàìåòð.Óðàâíåíèå â (2.1) â ïðèëîæåíèÿõ íàçûâàþò óðàâíåíèåì ðåàêöèÿàäâåêöèÿäèôôóçèÿ.Ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ (2.1) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêàε d2 u2 = A(u, x) du + B(u, x),dxdxu(0) = u0 , u(1) = u1 .0 < x < 1,(2.2)Åñëè ïîëîæèòü â (2.2) ε = 0, òî ïîëó÷èì âûðîæäåííîå óðàâíåíèådu+ B(u, x) = 0,(2.3)dxðåøåíèÿ êîòîðîãî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå óäîâëåòâîðÿþò äâóì êðàåâûì óñëîA(u, x)âèÿì çàäà÷è (2.2).Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå.(A1)Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå (2.3) ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåìu(0) = u0 èìååò ðåøåíèå u = ϕ(−) (x), à ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåìu(1) = u1 ðåøåíèå u = ϕ(+) (x), ïðè÷åìϕ(−) (x) < ϕ(+) (x), x ∈ [0, 1]50èA ϕ(−) (x), x > 0,A ϕ(+) (x), x < 0,x ∈ [0, 1]. íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ó çàäà÷è (2.2)ðåøåíèÿ âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïà ñòóïåíüêè, òî åñòü òàêîãîðåøåíèÿ, êîòîðîå ïðè ìàëûõ ε áëèçêî ê ϕ(−) (x) ïðè x < x∗ , ãäå x∗ ∈ (0, 1),è áëèçêî ê ϕ(+) (x) ïðè x > x∗ , à â ìàëîé îêðåñòíîñòè x∗ èìååò ðåçêèéïåðåõîäíûé ñëîé îò ϕ(−) (x) ê ϕ(+) (x).Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé ũ(ξ, x) è Φ(ξ, x).Φ=d ũ;dξdΦ= A(ũ, x)Φdξ(2.4)ñ óñëîâèÿìè ũ(−∞, x) = ϕ(−) (x), ũ(+∞, x) = ϕ(+) (x), Φ(±∞, x) = 0.Ïåðåìåííàÿ x âûñòóïàåò çäåñü êàê ïàðàìåòð.

Ýòà ñèñòåìà íàçûâàåòñÿïðèñîåäèíåííîé ñèñòåìîé äëÿ óðàâíåíèÿ (2.2).Ðàçäåëèâ âòîðîå èç ýòèõ óðàâíåíèé íà ïåðâîå, ïîëó÷èì çàäà÷è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû (2.4) íà ïëîñêîñòè (ũ, Φ):dΦ(±)= A(ũ, x), Φ(ϕ(±) (x), x) = 0.dũÊàæäàÿ èç ýòèõ çàäà÷ ðàçðåøèìà â ñèëó óñëîâèÿ (À2).Çàïèøåì ðåøåíèÿ â êâàäðàòóðàõ:ZũΦ(±) =A(u, x)du.(2.5)ϕ(±) (x)Åñëè äëÿ êàêîãî-òî çíà÷åíèÿ x0 ∈ (0, 1) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåϕ(+)Z (x0 )A(u, x0 )du = 0,ϕ(−) (x0 )òî íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ũ, Φ) ïðè x = x0 ñóùåñòâóåò ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè ϕ(−) , 0 è ϕ(+) , 0 . Ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ51íåîáõîäèìûì (íî íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì) äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ óçàäà÷è (2.2) ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì.Çàäà÷à (2.2) èçó÷àëàñü â ðÿäå ðàáîò (ñì.

[7] è ññûëêè â ýòîé ðàáîòå),ãäå, â ÷àñòíîñòè, èçó÷àëèñü êîíòðàñòíûå ñòðóêòóðû. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî óðàâíåíèåϕ(+)Z (x)I(x) ≡(2.6)A(u, x)du = 0ϕ(−) (x)èìååò ïðîñòûå êîðíè. Òàì æå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ýòèõ óñëîâèÿõçàäà÷à (2.2) ìîæåò èìåòü ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè,ëîêàëèçîâàííûìè âáëèçè òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ (2.6).Îäíàêî â ðÿäå ïðèëîæåíèé âîçíèêàåò ñèòóàöèÿ, êîãäà I(x) ≡ 0 âîáëàñòè ðàññìîòðåíèÿ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ è ñ òî÷êèçðåíèÿ òåîðèè ñèíãóëÿðíûõ âîçìóùåíèé.

 ýòîì ñëó÷àå ìû íàçûâàåìçàäà÷ó (2.2) çàäà÷åé ñî ñáàëàíñèðîâàííîé àäâåêöèåé. Ïóñòü âûïîëíåíîóñëîâèå.(A2) I(x) ≡ 0, x ∈ [0, 1],Rsïðè÷åìA(u, x)du > 0,∀s ∈ ϕ(−) (x), ϕ(+) (x) ,x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)Óñëîâèå (À2) îçíà÷àåò, ÷òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîåäèíÿþùàÿϕ(−) , 0 è ϕ(+) , 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ũ, Φ) ñóùåñòâóåò ïðè êàæäîìçíà÷åíèè x ∈ [0, 1].Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ðàíåå ðàññìîòðåííûõ çàäà÷ äëÿ (2.2) íàìèïðèìåíÿåòñÿ ïîäõîä, îñíîâàííûé íà àñèìïòîòè÷åñêîì ìåòîäå äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, ïîçâîëÿþùèé íàðÿäó ñ ñóùåñòâîâàíèåì êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû óñòàíîâèòü åå óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó êàê ñòàöèîíðàíîãî ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.1) (ñì. [21,40,41]).

Ýòîò ïîäõîä ðåàëèçóåòñÿ â äâà ýòàïà: ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîãî àñèìïòîòè÷åñêîãîðàçëîæåíèÿ, à çàòåì êîíñòðóèðîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé çà-52äà÷è (2.2) (ñì. çàäà÷ó (1.20) è îïðåäåëåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèéäëÿ íåå) êàê ìîäèôèêàöèè ïîñòðîåííîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ. Ÿ2 ñòðîèòñÿ ôîðìàëüíîå ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿ, ⠟3 ïðåäëàãàåòñÿìîäèôèêàöèÿ ôîðìàëüíîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ è ôîðìóëèðóåòñÿ îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû.2.2Ïîñòðîåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿÏîñòðîèì ôîðìàëüíóþ àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.2).Ïîëîæåíèå òî÷êè x∗ ëîêàëèçàöèè âíóòðåííåãî ñëîÿ îïðåäåëèì êàê çíà÷åíèå x, ïðè êîòîðîì ðåøåíèå u(x, ε) ïðîõîäèò ïîñåðåäèíå ìåæäó ðåøåíèÿìè ϕ(−) (x) è ϕ(+) (x):ϕ(−) (x∗ ) + ϕ(+) (x∗ )u (x∗ , ε) = ϕ(x∗ ) =.2(2.7)Òî÷êà x∗ çàðàíåå íåèçâåñòíà.

Áóäåì èñêàòü åå â âèäå ðÿäà(2.8)x∗ = x0 + εx1 + . . . ,êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòèêè.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ òèïà êîíòðàñòíîéñòðóêòóðû çàäà÷è (2.2) ðàññìîòðèì äâå ñëåäóþùèå çàäà÷è: du(−)(−)(−)ε d2 u(−)=Au,x+Bu,x, 0 < x < x∗ ,2dxdxu(−) (0, ε) = u0 , u(−) (x , ε) = ϕ(x )∗(2.9)∗èεd2 u(+)dx2 (+)= A u(+) , x dudx + B u(+) , x ,u(+) (1, ε) = u1 ,u(+) (x∗ , ε) = ϕ(x∗ ).x∗ < x < 1,(2.10)Ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèé êàæäîé èç çàäà÷ (2.9) è (2.10) ñòðîèòñÿ ïî ìåòîäó ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèé (ñì.

[1])53â âèäå ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì ε:u(∓) (x, ε) = U(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, ε) =(∓)(∓)(∓)(∓)= U 0 (x) + εU 1 (x) + . . . + Q0 (ξ) + εQ1 (ξ) + . . . (2.11)(∓)(∓)Çäåñü U i (x), i = 0, 1 . . . ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû àñèìïòîòèêè, Qi (ξ) ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïåðåõîäíûé ñëîé, ξ =x−x∗ε ðàñòÿíóòàÿ ïåðå-ìåííàÿ, àU(∓)(∓)(∓)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + . . .(∓)(∓)Q(∓) (ξ, t, ε) = Q0 (ξ, t) + εQ1 (ξ, t) + . . .(2.12)(2.13)Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ (2.11) â (2.9) è (2.10) è ïðåäñòàâëÿÿ ôóíêöèèA(u, x) è B(u, x) ïî ìåòîäó ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèé (ñì.

[1]) â âèäåA(u, x) = A(U (x, ε), x, ε)+QA(ξ, ε),B(u, x) = B(U (x, ε), x, ε)+QB(ξ, ε),ãäåQA(ξ, ε) =A(U (x, ε) + Q(ξ, ε), x) − A(U (x, ε), x) x=x∗ +εξ ,QB(ξ, ε) =B(U (x, ε) + Q(ξ, ε), x) − B(U (x, ε), x) x=x∗ +εξ ,ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ (2.11):ε dUd2 U+ B U (x, ε), x ,2 = A U (x, ε), xdxdx1 d2 Q1dQdU+ QA(ξ, ε)+ QB(ξ, ε).2 = A(U + Q, x)ε dξεdξdx(2.14)(2.15)Ñîãëàñíî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïðè x = x∗ çàäà÷ (2.9) è (2.10), âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íåïðåðûâíîãî ñøèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèéñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè x∗ :U(−)(x∗ (ε), ε) + Q(−) (0, ε) = U(+)(x∗ (ε), ε) + Q(+) (0, ε) = ϕ(x∗ (ε)), (2.16)54Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (2.8) èñïîëüçóåòñÿóñëîâèå C 1 ñøèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé (2.11):(−)(+)∂U∂Q(−)∂U∂Q(+)ε(x∗ (ε), ε) +(0, ε) = ε(x∗ (ε), ε) +(0, ε).

(2.17)∂x∂ξ∂x∂ξ2.2.1Ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿÏîëîæèâ â (2.14) ε = 0, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ ðåãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé(−)(+)U 0 (x) è U 0 (x). Ðåøåíèÿìè ýòèõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿ(−)(+)ìè U 0 (0) = u0 è U 0 (1) = u1 â ñèëó óñëîâèÿ (A1) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèèϕ(−) è ϕ(+) , ñîîòâåòñòâåííî:U (−) = ϕ(−) (x),0U 0 (x) =U (+) = ϕ(+) (x),00 6 x < x∗ ,(2.18)x∗ 6 x < 1.Ïîäñòàâëÿÿ â (2.15) ôóíêöèè Q(∓) (ξ) â âèäå àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëî(∓)(∓)æåíèé Q(∓) (ξ) = Q0 (ξ) + εQ1 (ξ) + . . . è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû(∓)ïðè ε−1 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Q0 (ξ):(∓)d2 Q0dξ 2 dQ(∓)(∓)0− A ϕ(∓) (x∗ ) + Q0 (ξ), x∗= 0.dξ(∓)Çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Q0 (ξ) â òî÷êå ξ = 0 ïîëó÷àåì ïîñëå ïîäñòàíîâêèðàçëîæåíèé (2.11) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â òî÷êå x∗ çàäà÷ (2.9) è (2.10) èâûäåëåíèÿ ñëàãàåìûõ ïðè ε0 :(−)(+)Q0 (0) + ϕ(−) (x∗ ) = Q0 (0) + ϕ(+) (x∗ ) = ϕ(x∗ ).(2.19)Ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãîñëîÿ óñëîâèÿ óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè [1]:(−)(+)Q0 (ξ) → 0 ïðè ξ → −∞;Q0 (ξ) → 0 ïðè ξ → +∞.Ââåäåì îáîçíà÷åíèå(∓)(∓)ũ0 (ξ) = ϕ(∓) (x∗ ) + Q0 (ξ).55(2.20)(∓)Ôóíêöèè ũ0 (ξ) îïðåäåëÿþòñÿ èç çàäà÷ 2 (−) (−) d ũ02 − A ũ(−) (ξ), x∗ d ũ0 = 0,0dξdξξ < 0,ũ(−) (0) = ϕ(x ), ũ(−) (−∞) = ϕ(−) (x );∗∗00 2 (+) (+) d ũ02 − A ũ(+) (ξ), x∗ d ũ0 = 0, ξ > 0,0dξdξ(2.21)ũ(+) (0) = ϕ(x ), ũ(+) (+∞) = ϕ(+) (x ).∗∗00 ñèëó óñëîâèÿ (A2) êàæäàÿ èç çàäà÷ (2.21) ðàçðåøèìà, à äëÿ ôóíê(∓)öèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ Q0 (ξ) èìåþò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè(ñì.

[1], [36]) (−) Q0 (ξ) 6 Ceκξ , (+) Q0 (ξ) 6 Ce−κξ ,ξ < 0;ξ > 0.Èç óñëîâèÿ C 1 ñøèâàíèÿ (2.17) â ïîðÿäêå ε0 èìååì:(+) (−) d ũ0 d ũ0 = .dξ dξ ξ=0(2.22)(2.23)ξ=0Óðàâíåíèÿì (2.21) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ýêâèâàëåíòíóþ ïðèñîåäèíåííóþ ñèñòåìó âèäà (2.4).(∓)Àíàëîãè÷íî (2.5) äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé ũ0 (ξ) èç (2.21) ïîëó÷àåìóðàâíåíèÿ:(−)(−)d ũ0dξ=(+)ũ0R (ξ)(+)d ũ0dξA(u, x∗ )du;ϕ(−) (x=ũ0R (ξ)A(u, x∗ )du.ϕ(+) (x∗)(2.24)∗)(∓)Ïîäñòàâëÿÿ â (2.23) âûðàæåíèÿ (2.24) äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé ũ0 (ξ),ïîëó÷àåìϕ(+)Z (x∗ )A(u, x∗ )du = 0ϕ(−) (x∗ )Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è, ñëåäîâàòåëüíî, (2.23) âûïîëíÿþòñÿâ ñèëó óñëîâèÿ (A2) äëÿ ëþáîãî x∗ .Ïðè −∞ < ξ < +∞ îïðåäåëèì ôóíêöèèũ(−) (ξ, x∗ ), ξ 6 0,0ũ0 (ξ, x∗ ) =èũ(+) (ξ, x ), ξ > 0.0∗56Φ(ξ, x∗ ) =d ũ0,dξ(2.25)çàâèñÿùèå îò x∗ êàê îò ïàðàìåòðà.  ñèëó âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (2.19)è (2.23) ôóíêöèÿ Φ(ξ, x∗ ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, à ôóíêöèÿ ũ0 (ξ, x∗ ) ãëàäêîé ïðè −∞ 6 ξ 6 +∞.2.2.2×ëåíû àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêàÏîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà çàäà÷ (2.9)è (2.10).ÏîäñòàâëÿÿU(∓)(x, ε) =âóðàâíåíèå(∓)U 0 (x)+(∓)εU 1 (x)(2.14)àñèìïòîòè÷åñêèåðàçëîæåíèÿ+ .