Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 4

Á. Âàñèëüåâîé, Â. Ô. Áóòóçîâà [2430].Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé áûëè îáúåäèíåíû â ó÷åáíîå ïîñîáèå [1],îïóáëèêîâàííîå â 1990 ãîäó, ãäå èçëàãàþòñÿ îñíîâû àñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè ñèíãóëÿðíûõ âîçìóùåíèé, ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ òåîðèèäëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è â ñêàëÿðíîì ñëó÷àå è â ñëó÷àå ñèñòåìûóðàâíåíèé è, íàêîíåö, ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìè òèïà êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð.  ðàçäåëå, ïîñâÿùåííîì êîíòðàñòíûì ñòðóêòóðàì,ðàññêàçûâàåòñÿ î ìîäèôèêàöèè ìåòîäà ìàëîãî ïàðàìåòðà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ âèäà ÊÑÒÑ âçàäà÷åε 2d2 ydx2= F (y, x),y(0, ε) = y 0 ,0 < x < 1,y(1, ε) = y 1 ,(1.1)ãäå ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, F áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé:(Ó1) Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå F (y, x) = 0 èìååò 3 èçîëèðîâàííûõ íàîòðåçêå [0, 1] êîðíÿ ϕ1 (x) < ϕ2 (x) < ϕ3 (x) è, êðîìå òîãî, âûïîëíÿþòñÿ25íåðàâåíñòâà Fy (ϕ1,3 (x)) > 0, Fy (ϕ2 (x)) < 0.(Ó2) ÓðàâíåíèåϕZ3 (x)I(x) ≡F (y, x) dy = 0(1.2)ϕ1 (x)èìååò íà îòðåçêå [0, 1] åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = x0 , ïðè÷åìI 0 (x0 ) 6= 0.(Ó3) Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîRsF (y, x)dy > 0 ïðè s ∈ (ϕ1 , ϕ3 ).ϕ1Èññëåäîâàíèå êðàåâûõ çàäà÷ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìèïðîäîëæåíî â ðàáîòàõ [3135].

 ó÷åáíîì ïîñîáèè [36] äëÿ çàäà÷è â ïîñòàíîâêå (1.1) äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì ïðè ïîìîùè àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ, à èìåííî äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà.Åñëè I 0 (x0 ) > 0, òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå y(x, ε) çàäà-÷è (1.1), êîòîðîå íà èíòåðâàëå (δ, x0 − δ) ëåæèò â δ -îêðåñòíîñòèϕ3 (x), à íà èíòåðâàëå (x0 + δ, 1 − δ) ëåæèò â δ -îêðåñòíîñòè ϕ1 (x).Ýòî ðåøåíèå èìååò âíóòðåííèé ïåðåõîäíûé ñëîé íà ìíîæåñòâå(x0 − δ, x0 + δ) ñ ïåðåõîäîì îò ϕ3 ê ϕ1 , à òàêæå ïîãðàíñëîè â îêðåñòíîñòè òî÷åê x = 0 è x = 1.

Âåëè÷èíà δ ñêîëü óãîäíî ìàëà, íî ôèêñèðîâàíàïðè ε → 0.Òàêæå â ðàáîòå [36] îïèñàí àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõîöåíîê äëÿ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ ïåðåõîäíûé ñëîé. 1995 ãîäó â ñòàòüå [21] ïðèâåäåíà îáùàÿ ñõåìà èñïîëüçîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ó êðàåâûõ çàäà÷ ðåøåíèé âèäà ÊÑÒÑ íà ïðèìåðå äâóìåðíîé çàäà÷èε2 ∆u − f (u, x, ε) = 0,u(x, ε) = g(x),x ∈ D ⊂ R2 ,x ∈ ∂D,26(1.3)ãäå ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, ∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà, D îãðàíè÷åííàÿîáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂D.

Çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿïðè óñëîâèÿõ (Ó1)(Ó3). ñòàòüå [2] ïðîâåäåí îáçîð ðàáîò ïî òåìå êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð âñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷àõ.  ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàþòñÿ ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè ó çàäà÷è âèäà (1.1) ïðè âûïîëíåíèé óñëîâèé (Ó1)(Ó3). Ïîìèìî ýòîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷àε 2d2 ydx2= F (y, x, ε),0 < x < 1,y 0 (0, ε) = y 0 (1, ε) = 0.(1.4)Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (Ó1)(Ó2), à óñëîâèå (Ó3) çàìåíÿåòñÿ íàóñëîâèå (Ó3ê):(Ó3ê) ÏóñòüdefϕZ3 (x)I(x) =f (u, x, 0) du ≡ 0,x ∈ D.ϕ1 (x)Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (Ó3ê) îçíà÷àåò, ÷òî â çàäà÷å ðåàëèçóåòñÿ òàêíàçûâàåìûé êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé.  ýòîì ñëó÷àå ñîãëàñíî àëãîðèòìóïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ k -îå ñëàãàåìîå â ðàçëîæåíèèòî÷êè ïåðåõîäà (3) ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî ïîñëå ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ (k + 1)-ãî ïîðÿäêà. ðàáîòå [7] ñîäåðæèòñÿ àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿµy 00 = A(y, t)y 0 + B(y, t),y(0, µ) = y 0 , y(1, µ) = y 1 ,ãäå µ ìàëûé ïàðàìåòð.27(1.5)Òðåáîâàíèå I.

Ïóñòü îòâå÷àþùåå (1.5) âûðîæäåííîå óðàâíåíèåA(ȳ, t)ȳ 0 + B(ȳ, t) = 0(1.6)èìååò ðåøåíèå ȳ (l) , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ȳ (l) (0) = y 0 , è ðåøåíèå ȳ (r) ,óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ȳ (r) (0) = y 1 , è ïóñòü A ȳ (l) , t > 0, A ȳ (r) , t <0, êîãäà t ∈ [0, 1]. ñòàòüå ñòðîèòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è (1.5), èìåþùåå â ïðåäåëå µ → 0âíóòðåííèé ïåðåõîäíûé ñëîé òèïà ñòóïåíüêè â îêðåñòíîñòè t∗ . Âåëè÷èíàt∗ èùåòñÿ â âèäå t∗ (µ) = t0 + µt1 + .

. ..Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.5) ñòðîèòñÿ â âèäåñóììû ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè è ïîãðàíè÷íîé ôóíêöèè:x(t, µ) = x̄(t, µ) + Πx(τ, µ),(1.7)t − t∗.µÂ ñòàòüå îïèñàí àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ÷ëåíîâ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàç-ãäå τ =ëîæåíèÿ ðåãóëÿðíîé è ïîãðàíè÷íîé ôóíêöèè, à òàêæå ïîëó÷åíî óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ âåëè÷èíû t∗ .  ÷àñòíîñòè,óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ t0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäådefȳ (r)Z (t0 )Φ(t0 ) =A(y, t0 )dy = 0.(1.8)ȳ (l) (t0 )Òðåáîâàíèå II. Ïóñòü óðàâíåíèå (1.8) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî t0 ,è Φ0 (t0 ) 6= 0. ñòàòüå ñôîðìóëèðâàíà è äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1.

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé I, II ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà-÷è (1.5) ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì â òî÷êå t∗ (µ). Ðÿä (1.7) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ.Êîýôôèöèåíòû ðÿäà (1.7) è ÷ëåíû ti àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ t∗ (µ) ïî ñòåïåíÿì µ îïðåäåëÿþòñÿ ïî îïèñàííîìó â ñòàòüå àëãîðèòìó.28Îáîáùåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ íà ðåøåíèå çàäà÷ ðåàêöèÿàäâåêöèÿ-äèôôóçèÿ ïðîâåäåíî â ðàáîòå [5]. Îñîáåííîñòü ýòîé ðàáîòûçàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àäâåêöèÿ ìàëà. óêàçàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ε > 0:ε2 ∆u − ε (A(u, x), ∇u) − B(u, x) = 0, x = (x1 , x2 ) ∈ D ⊂ R2 ,(1.9)u(x, ε) = g(x), x ∈ ∂D,ãäå êîìïîíåíòû âåêòîðà A(u, x) = {A1 (u, x), A2 (u, x)}, ôóíêöèè B(u, x) èg(x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå â îáëàñòè èçìåíåíèÿ u ∈ U è x ∈ D. Ñ÷èòàåòñÿ,÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå (S1).Óñëîâèå (S1).

Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå B(u, x) = 0 èìååò ðîâíî òðèêîðíÿ u = ϕi (x), i = 1, 3, ïðè÷åì ϕ1 (x) < ϕ2 (x) < ϕ3 (x), Bu (ϕi (x), x) > 0,i = 1, 3, Bu (ϕ2 (x), x) < 0 ïðè x ∈ D. ðàáîòå äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ u(x, ε) çàäà÷è (1.9) ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì,òî åñòü ðåøåíèÿ, êîòîðîå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåêîòîðîé çàìêíóòîéêðèâîé C , ïîëíîñòüþ ëåæàùåé âíóòðè îáëàñòè D, áëèçêî ê ðàçíûì ðåøåíèÿì u = ϕ1 (x) è u = ϕ3 (x) âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ B(u, x) = 0,à â ìàëîé îêðåñòíîñòè C ïåðåõîäèò îò u = ϕ1 (x) ê u = ϕ3 (x).

Ïîëîæåíèå êðèâîé C çàðàíåå íåèçâåñòíî è îïðåäåëÿåòñÿ â õîäå ïîñòðîåíèÿàñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîæåñòâî êðèâûõ {C}, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõδ defîïðåäåëÿåòñÿ ìàëàÿ îêðåñòíîñòü C = {x ∈ D; dist x, C < δ}, δ > 0è ââîäÿòñÿ ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â ýòîé îêðåñòíîñòè (r, θ) ∈ [−δ; δ] ×[0, Θ(C)], ãäå θ êîîðäèíàòà òî÷êè y ∈ C , dist x, C = dist (x, y);−dist x, C , x ∈ D(+) ,r=dist x, C , x ∈ D(−) ,ãäå D(±) ñîîòâåòñòâåííî, âíåøíÿÿ è âíóòðåííÿÿ ïîäîáëàñòè îáëàñòèD, ðàçäåëåííûå êðèâîé C , êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà, íàïðèìåð, ïàðà-29ìåòðè÷åñêè óðàâíåíèÿìè xi = yi (θ), i = 1, 2.  ýòîì ñëó÷àå, åñëè n(y, C) åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê êðèâîé C â òî÷êå y ñ íàïðàâëÿþùèìèêîñèíóñàìè ni (θ, C), òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîîðäèíàòàìè äàåòñÿ âûðàæåíèÿìè xi = yi (θ) + rni (θ, C) ≡ Xi (r, θ), i = 1, 2.∂uâû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðîèçâîäíûå∂xiîáðàçîì∂u∂∂= li (r, θ)+ q i (r, θ) ,∂xi∂r∂θ(1.10)ãäå li (r, θ), q i (r, θ) èçâåñòíûå ôóíêöèè, i = 1, 2.δ êàæäîé îêðåñòíîñòè C îïðåäåëåíà ïðèñîåäèíåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé2P ∂ ν̃Ai (ũ, r, θ) li (r, θ) ν̃ + B (ũ, r, θ) ,∂ξi=1 ∂ ũ = ν̃,∂ξ(1.11)−∞ < ξ < +∞,ãäå r è θ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïàðàìåòðû.Óñëîâèå (S2).

Äëÿ ëþáîãî (r, θ) ∈ [−δ; δ] × [0, Θ(C)] ñåïàðàòðèñà,âûõîäÿùàÿ èç ñåäëà (ϕ1 (r, θ) , 0) ïðåäñòàâèìà â âèäå ν̃ = ν̃ (−) (ξ, r, θ), ũ =ũ(−) (ξ, r, θ) è ïåðåñåêàåò ëèíèþ u = ϕ2 (r, θ), ïðè ýòîì òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿîòâå÷àåò çíà÷åíèå ξ = 0, à ñåäëó çíà÷åíèå ξ = −∞. Ñåïàðàòðèñà,âõîäÿùàÿ â ñåäëî (ϕ3 (r, θ) , 0) ïðåäñòàâèìà â âèäå ν̃ = ν̃ (+) (ξ, r, θ), ũ =ũ(+) (ξ, r, θ) è ïåðåñåêàåò ëèíèþ u = ϕ2 (r, θ), ïðè ýòîì òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿîòâå÷àåò çíà÷åíèå ξ = 0, à ñåäëó çíà÷åíèå ξ = +∞.ÄëÿêàæäîéêðèâîéCîïðåäåëÿåòñÿôóíêöèÿH (r, θ)def=ν̃ (+) (0, r, θ) − ν̃ (−) (0, r, θ), (r, θ) ∈ [−δ; δ] × [0, Θ(C)], ãäå ν̃ (±) (ξ, r, θ) ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.11), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì ν̃ (±) (±∞, r, θ) = 0. ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâà ñëó÷àÿ: íåêðèòè÷åñêèé è êðèòè÷åñêèé.Äëÿ íåêðèòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåíèå äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.Óñëîâèå (S3).

Ñóùåñòâóåò êðèâàÿ C0 èç ìíîæåñòâà êðèâûõ {C}30∂H (r, θ)> 0 ïðè r = 0 è θ ∈ [0, Θ0 ],∂rãäå [0, Θ0 ] îáëàñòü èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû θ íà êðèâîé C0 .òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ H(0, θ) = 0 èÄëÿ îïèñàíèÿ ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè ãðàíèöû îáëàñè ∂D ââîäÿòñÿëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (r̄, η) ïî àíàëîãèè ñ êîðäèíàòàìè (r, θ). Ïîëàãàÿr̄ρ = , ïîòðåáóåì âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ.εÓñëîâèå2P(S4).Íàôàçîâîéïëîñêîñòèñèñòåìû∂ν∂ρ=∂u= ν , ρ > 0, ïðÿìàÿ u = g (0, η)∂ρk=1ïåðåñåêàåò ñåïàðàòðèñó, âõîäÿùóþ â ñåäëî (ϕ3 (0, η) , 0) ïðè ρ → +∞.Ak (u, 0, η) dk (0, η) ν + B (u, 0, η),Çäåñü d1 (r̄, η), d2 (r̄, η) èçâåñòíûå ôóíêöèè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿàíàëîãè÷íî ôóíêöèÿì l1 (r, θ), l2 (r, θ).Äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìàìè ìåòîäà ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèéñòðîÿòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ïîãðàíñëîéíîãî òèïà ðåøåíèéêðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.9).Ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1.

Ïóñòü ôóíêöèèA(u, x), B(u, x), g(x), ãðàíèöà ∂D îáëàäàþòäîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ ãëàäêîñòè è âûïîëíåíû óñëîâèÿ (S1)(S4). Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è (1.9), ÿâëÿþùååñÿ êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðîé òèïà ñòóïåíüêè,äëÿ êîòîðîãîâ îáëàñòè D ñïðàâåäëèâû ðàâíî(±)ìåðíàÿ îöåíêà u(x, ε) − Un (x, ε) 6 Cεn+1 , ãäåUn(±) (x, ε) =(±)(±)= U 0 (x) + εU 1 (x) + Q0 u(±) (ξ, θ) + εQ1 u(±) (ξ, θ) ++ Π0 u (ρ, η) + εΠ1 u (ρ, η) + . . .(±)(±). . . + εn−1 U n−1 (x) + εn U n (x) + εn−1 Qn−1 u(±) (ξ, θ) + εn Qn u(±) (ξ, θ) +!n+1X+ εn−1 Πn−1 u (ρ, η) + εn Πn u (ρ, η) , ξ = ε−1 r −εk λk (θ) , (1.12)k=131(±)(±)ãäå U i (x) ôóíêöèè ðåãóëÿðíîé ÷àñòè, Qi (ξ, θ) ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, Π(ρ, η) ïîãðàíè÷íûå ôóíêöèè â áëèçè ãðàíèöû ∂D, x ∈ D,C > 0 íå çàâèñèò îò ε.Äëÿ êðèòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ âìåñòî óñëîâèÿ (S3) òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå äðóãèõ óñëîâèé.Óñëîâèå (S1 3).

Ôóíêöèÿ H (r, θ) ≡ 0 ïðè (r, θ) ∈ [δ; δ] × 0; Θ Cäëÿ ëþáîé êðèâîé èç ìíîæåñòâà {C}.Óñëîâèå (S2 3). Ñóùåñòâóåò êðèâàÿ C0 èç ìíîæåñòâà êðèâûõ {C}òàêàÿ, ÷òîZ+∞2 X∂lk∂Akkν̃(ξ, θ)p(ξ, θ)Ak (ũ, 0, θ)(0, θ) +(ũ, 0, θ)l (0, θ) ν̃(ξ, θ) +∂r∂rk=1−∞!Z+∞2X∂ ũ∂Bq k (0, θ)Ak (ũ, 0, θ) dξ−+(ũ, 0, θ) ξdξ +ν̃(ξ, θ)p(ξ, θ)∂r∂θk=1−∞Z+∞− k(0, θ)ũ2 (ξ, θ)p(ξ, θ)dξ = 0, (1.13)−∞ïðè θ ∈ [0, Θ0 ], ãäå k(0, θ) ëîêàëüíàÿ êðèâèçíà êðèâîé C0 , [0, Θ0 ] îáëàñòü èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû θ íà êðèâîé C0 . ýòîì ñëó÷àå òàêæå ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿòèïà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû.Ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà.Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèèA(u, x), B(u, x), g(x), ãðàíèöà ∂D îáëàäà-þò äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ ãëàäêîñòè è âûïîëíåíû óñëîâèÿ (S1), (S2),(S1 3),(S2 3), (S4). Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è (1.9), ÿâëÿþùååñÿêîíòðàñòíîé ñòðóêòóðîé òèïà ñòóïåíüêè, äëÿ êîòîðîãî â îáëàñòè Dñïðàâåäëèâà ðàâíîìåðíàÿ îöåíêà32(1.14)u − Un(±) 6 Cεn+1 ,(±)ãäå C íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, à Un1.2îïðåäåëåíà â (1.12).Íà÷àëüíî-êðàåâûåáîëè÷åñêèõçàäà÷èóðàâíåíèéäëÿòèïàïàðà-ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿÄàëåå ïðèâåäåì îáçîð ðàáîò, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ íà÷àëüíîêðàåâûå çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿàäâåêöèÿ, äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè.Çàäà÷à òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ ðàññìîòðåíà â [3, 37].

Ýòà ðàáîòàïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ àñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè ïåðèîäè÷åñêèõ ïî âðåìåíè êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð â íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Äëÿ çàäà÷ óêàçàííîãî òèïà ðàçâèò àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðóðåøåíèÿ â âèäå êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïà ñòóïåíüêè. Ïîëó÷åíûóñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü òàêèõ ðåøåíèé. ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ∂u2 ∂2uε−= f (u, x, t, ε),∂t∂x2def(x, t) ∈ D = {(0 < x < 1) × (−∞ < t < +∞)},∂u(0, t, ε) = ∂∂xu (1, t, ε) = 0,∂x(1.15)ãäå f (u, x, t, ε) äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ T ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî ïåðåìåííîé tôóíêöèÿ.33 ðàáîòå èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþu(x, t, ε) = u(x, t + T, ε)(1.16)â âèäå êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïà ñòóïåíüêè, òî åñòü òàêîãî, êîòîðîåïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåêîé T ïåðèîäè÷åñêîé êðèâîé x = h(t, ε) áëèçêîê ðàçëè÷íûì êîðíÿì ϕ1 (x, t) è ϕ3 (x, t) âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ, à âîêðåñòíîñòè êðèâîé x = h(t, ε) ïðîèñõîäèò áûñòðûé ïåðåõîä ðåøåíèÿu(x, t, ε) îò ϕ1 (x, t) ê ϕ3 (x, t).

Êðèâàÿ x = h(t, ε) çàðàíåå íå èçâåñòíà èíàõîäèòñÿ â õîäå ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ïîñòðîåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è â âèäåïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïàñòóïåíüêè è äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ ïðîâîäèòñÿïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé.Óñëîâèå 1. Ïóñòü âûðîæäåííîå óðàâíåíèå f (u, x, t, ε) = 0 èìååò òðèðåøåíèÿ u = ϕi (x, t), i = 1, 2, 3, ïðè÷åì ϕ1 (x, t) < ϕ2 (x, t) < ϕ3 (x, t),è ìåæäó ϕ1 (x, t) è ϕ3 (x, t) íåò äðóãèõ ðåøåíèé, êðîìå ϕ2 (x, t).