Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 5

Ïóñòüfu (ϕi (x, t), x, t, 0) > 0, i = 1, 3 è fu (ϕ2 (x, t), x, t, 0) < 0 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõdef(x, t) ∈ D = {(0 6 x 6 1) × (−∞ < t < +∞)}.ϕ3R(x,t)defÂâåäåì ôóíêöèþ I(x, t) =f (u, x, t, 0)du.ϕ1 (x,t)Óñëîâèå 2. Ïóñòü I(x, t) ≡ 0 ïðè âñåõ (x, t) ∈ D .Ïîëîæåíèå êðèâîé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.15)(1.16) ñ êîðíåì ϕ2 (x, t) âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàâíûì íóëþ, òî åñòüóñëîâèåìu (h(t, ε), t, ε) = 0.34(1.17)Êðèâàÿ x = h(t, ε) ðàçäåëÿåò îáëàñòü D íà ïîäîáëàñòè D(−) è D(+) ,ëåæàùèå, ñîîòâåòñòâåííî, ñëåâà è ñïðàâà îò êðèâîé x = h(t, ε).Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå T ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u(∓) (x, t, ε)ñòðîèòñÿ â âèäåu(−) (x, t, ε) = U(−)(x, t, ε) + Πu(−) (ρ0 , t, ε) + Qu(−) (ξ, t, ε) ,(1.18)ãäå ðåãóëÿðíûé ðÿäU(−)(−)(−)(x, t, ε) = U 0 (x, t) + εU 1Ïîãðàíè÷íûé ðÿä â îêðåñòíîñòè x = 0, ρ =+ ....xèùåòñÿ â âèäåεΠu(−) (ρ0 , t, ε) = Π0 u(−) (ρ0 , t, ε) + εΠ1 u(−) (ρ0 , t, ε) + .

. . ,à ðàçëîæåíèå äëÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïåðåõîäíûé ñëîé â ëåâîéîêðåñòíîñòè êðèâîé x = h(t, ε), èùåòñÿ â âèäåQu(−) (ξ, t, ε) = Q0 u(−) (ξ, t, ε) + εQ1 u(−) (ξ, t, ε) + . . . ,ãäå ξ =x − h(t, ε).εÀñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå T ïåðèîäè÷íîãî ðåøåíèÿ u(+) (x, t, ε)âUîáëàñòè(+)D(+)ñòðîèòñÿàíàëîãè÷íîââèäå(x, t, ε) + Qu(−) (ξ, t, ε) + Ru(+) (ρ1 , t, ε), ãäå Uëÿðíûé ðÿä, Qu(+)(+)u(+) (x, t, ε)=(x, t, ε) ðåãó-(ξ, t, ε) ðàçëîæåíèå äëÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùåéïåðåõîäíûé ñëîé â ïðàâîé îêðåñòíîñòè êðèâîé x = h(t, ε), Ru(+) (ρ1 , t, ε)1−x ïîãðàíè÷íûé ðÿä â îêðåñòíîñòè x = 1, ρ1 =.εÊðèâàÿ x = h(t, ε), çàäàþùóþ ïîëîæåíèå ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, òàêæåèùåòñÿ â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ε: h(t, ε) = h0 (t) + εh1 (t) + . .

., ãäå âñåhi (t) ñóòü T ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè.Äàëåå ñîãëàñíî îáùåé ñõåìå ñòðîèòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèåðåøåíèÿ çàäà÷è (1.15). Äëÿ h0 (t) ïîëó÷åíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå35dh0 (t)−dtZ∞ −∞∂ ũ∂ξ2dξ +Z∞ ∂ ũ˜˜fx ξ + fεdξ = 0,∂ξ(1.19)−∞ãäåũ(ξ, t) =ũ(−) (ξ, t) = ϕ1 (h0 (t), t) + Q0 u(−) (ξ, t),ξ<0ũ(+) (ξ, t) = ϕ (h (t), t) + Q u(+) (ξ, t),300ξ > 0,÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå f˜x è f˜ε âû÷èñëÿþòñÿ â òî÷êå ũ(−) , h0 (t), t, 0 .Ôóíêöèÿ h0 (t) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ïåðèîäè÷íîñòèh0 (t) = h0 (t + T ).Óñëîâèå 3. Ïóñòü çàäà÷à (1.19) ñ óñëîâèåì ïåðèîäè÷íîñòè èìååò ïðèt ∈ (−∞, +∞) èçîëèðîâàííîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ïðè 0 < h0 (t) < 1.Òàêæå òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ.Óñëîâèå 4.

Ïóñòü1 RT d(t)dt ≡ d0 < 0.T 0 m(t)Çäåñü d(t) è m(t) èçâåñòíûå ôóíêöèè.Ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 14, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõε ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, t, ε) çàäà÷è (1.15)(1.16), ÿâëÿþùååñÿ êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðîé òèïà ñòóïåíüêè, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêàmaxD |u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| < Cεn+1 .Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé çàäà÷è36N [u] def= L[u] − f (u, x, t, ε) = 0, x ∈ D,B[u] = h(x, t), x ∈ ∂D, t ∈ R.t ∈ R,(1.20)Îïðåäåëåíèå.

Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè α(x, t, ε) è β(x, t, ε) íàçûâà-þòñÿ íèæíèì è âåðõíèì ðåøåíèÿìè ïîðÿäêà q çàäà÷è (1.20), åñëè ïðèäîñòàòî÷íî ìàëûõ ε îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì• α(x, t, ε) 6 β(x, t, ε),x ∈ D,• N [β] 6 −cεq , N [α] > cεq ,• B[α] 6 h(x, t) 6 B[β],ε ∈ (0, ε0 ];t ∈ R,x ∈ D,x ∈ ∂D,t ∈ R,ε ∈ (0, ε0 ];t ∈ R;• Ïóñòü íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ òàêîâà, ÷òî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî α(x, 0, ε) 6 uinit (x, ε) 6 β(x, 0, ε).Çäåñü c, q ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.Ôóíêöèè α(x, t, ε) è β(x, t, ε) ìîãóò áûòü íå ãëàäêèìè â íåêîòîðîé òî÷êå x̂.  ýòîì ñëó÷àå â òî÷êå x̂ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿíà ñêà÷îê ïðîèçâîäíîé:• ∂∂xβ x=x̂−0− ∂∂xβ x=x̂+0> 0,Òåîðåìà2.∂α− ∂∂xα x=x̂+06∂x x=x̂−00.Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 14.

Òîãäà ðåøåíèåv(x, t, ε) = up (ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî âðåìåíè t êîíòðàñòíàÿ ñòðóêòóðà òèïà ñòóïåíüêè) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ñ ëîêàëüíîéîáëàñòüþ âëèÿíèÿ íå ìåíåå [α5 (x, t, ε) , β5 (x, t, ε)] è, ñëåäîâàòåëüíî,ðåøåíèå çàäà÷è (1.15)(1.16) åäèíñòâåííî â ýòîé îáëàñòè.Âåðõíåå è íèæíåå ðåøåíèÿ α5 (x, t, ε) è β5 (x, t, ε) ñòðîÿòñÿ êàê ìîäèôèêàöèÿ ïîñòðîåííîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ:α5 (x, t, ε) = U5 (x, t, ε) + ε5 (γα + Qα (ξ, t)) ,(1.21)β5 (x, t, ε) = U5 (x, t, ε) + ε5 (γβ + Qβ (ξ, t)) ,(1.22)37ãäå U5 àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïÿòîãî ïîðÿäêà; γαβ è Qαβ ôóíêöèè, êîòîðûå ïîäáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû α5 (x, t, ε) è β5 (x, t, ε)óäîâëåòâîðÿëè óñëîâèÿì îïðåäåëåíèé âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé çàäà÷è (1.15).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 îñíîâàíî íà àñèìïòîòè÷åñêîì ìåòîäåäèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ. ñòàòüå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð äëÿ èëëþñòðàöèè è íàãëÿäíîñòè.Çàäà÷à, ðåøåíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæóùèéñÿ ôðîíò,ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàáîòå [4].

 ðàáîòå ðàññìàòðèâàëàñü ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à:2L[u(x, t, ε)] ≡ ε2 ∂∂xu2 − ε ∂∂tu − g(u, x, ε) = 0,∂u(a, t, ε) = 0, ∂∂xu (b, t, ε) = 0, t ∈ (0, T ],∂xu(x, 0, ε) = u0 (x, ε), x ∈ (a, b),x ∈ (a, b),t ∈ (0, T ],ãäå ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð.  ðàáîòå ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ó äàííîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò ðåøåíèå â âèäå äâèæóùåãîñÿ ôðîíòà,ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ òàêîãî âèäà è ïðîâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñ ïîñòðîåííûì àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì.

Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ ñòðîèëîñüìåòîäîì ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèé, à äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñ ïîñòðîåííûì àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì è îöåíêà åãî òî÷íîñòè ïðîâåäåíû ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ.  ÷àñòíîñòè, ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà, ñîãëàñíîêîòîðîé ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u(x, t, ε) òèïà äâèæóùåéñÿ êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû (ôðîíòà)α(x, t, ε) 6 u(x, t, ε) 6 β(x, t, ε) äëÿ x ∈ [a, b] è t ∈ (0, T ].Äâóìåðíàÿ èçìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè êîíòðàñòíàÿ ñòðóêòóðà â ñëó÷àå ìàëîé àäâåêöèè ðàññìîòðåíà â ðàáîòå [6]. óêàçàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à38∂u∂uε ∆u + ν(x, y)− ε2= f (u, x, y, ε),∂x∂t(1.23)2x ∈ (0, a),y ∈ (−∞, +∞),t>0ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè∂u = 0,∂x x=0,x=a(1.24)u(x, y, t, ε) = u(x, y + L, t, ε),(1.25)u(x, y, t, ε)|t=0 = u0 (x, y).(1.26) ðàáîòå ðàçâèò àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äëÿ èçó÷åíèÿ ðåøåíèé ñâíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè äâèæóùèìèñÿ ôðîíòàìè â çàäà÷àõ òèïà ðåàêöèÿ-àäâåêöèÿ-äèôôóçèÿ.Çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ.Óñëîâèå (A1).

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (u, x, y, ε) òàêàÿ, ÷òî óðàâíåíèåf (u, x, y, ε) = 0 èìååò ðîâíî 3 êîðíÿ ϕ(±) (x, y), ϕ(0) (x, y). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ(−) (x, y) < ϕ(0) (x, y) < ϕ(+) (x, y) äëÿ âñåõ (x, y) ∈ D ={[0, a] × (−∞, +∞)} è fu ϕ(±) (x, y), x, y, 0 > 0, fu ϕ(0) (x, y), x, y, 0 < 0.Óñëîâèå(A2).Ïóñòü ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ è Lïåðèîäè÷íàÿ êðèâàÿ x(x, y) ∈(−)D0äëÿ (x, y) ∈h0 (y) òàêàÿ, ÷òî u0 (x, y)=def<0 äëÿ= {(0 6 x < h (y)) × (−∞ < y < +∞)} è u (x, y) > 00(+) defD0 =0{(h0 (y) < x 6 a) × (−∞ < y < +∞)}.defÓñëîâèå (A3).

I(x, y) =ϕ(+)R(x,y)f (u, x, y, 0)du ≡ 0 äëÿ (x, y) ∈ D, òîϕ(−) (x,y)åñòü íåëèíåéíîñòü f (u, x, y, ε) ñáàëàíñèðîâàíà.Òåîðåìà. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (A1)-(A3) ñóùåñòâóåò ðåøåíèåu(x, y, t, ε) çàäà÷è (1.23)-(1.26) è ñïðàâåäëèâà îöåíêà|u(x, y, t, ε) − Un (x, y, t, ε)| 6 Cεn+1 .39(±)(±)Çäåñü Un (x, y, t, ε) = Un (x, y, t, ε) è Un (x, y, t, ε) n-àÿ ÷àñòè÷íàÿñóììà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿUn(±) (x, y, t, ε) = u(±) (x, y, t, ε) + P (±) (ρ, y, t, ε) + Q(±) (ξ, y, t, ε)â îáëàñòÿõ D(−) è D(+) , ðàçäåëåííûõ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé êðèâîéx = h(y, t, ε), â îêðåñòíîñòè êîòîðîé ðåøåíèå ìåíÿåòñÿ îò ϕ(−) (x, y)n+1Px−hi (y, t) qi=0(+)ê ϕ (x, y), ξ =· 1 + h20y , ôóíêöèè P (±) (ρ, y, t, ε) èεQ(±) (ξ, y, t, ε) îïèñûâàþò ðåøåíèå âáëèçè ãðàíèöû îáëàñòè D è âáëèçè âíóòðåííåãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, ëîêàëèçîâàííîãî âáëèçè êðèâîéx = h(y, t, ε).Òàêæå â äàííîé ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ÷èñëåííûé ðàñ÷åò ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ,êîòîðûé õîðîøî èëëþñòðèðóåò òåîðåòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ.Èññëåäîâàíèå çàäà÷è, ðåøåíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæóùèéñÿ ôðîíò, ïðîâîäèòñÿ â ñòàòüå 2014 ãîäà [8].

 äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ñ àäâåêöèåé â íåêðèòè÷åñêîì ñëó÷àå (áåç óñëîâèÿáàëàíñà àäâåêöèè). ðàáîòå ðàññìàòðèâàëàñü ñëåäóþùàÿ çàäà÷à:2ε ∂∂xu2 − ∂∂tu = A(u, x) ∂∂xu + B(u, x), x ∈ (0, 1),u(0, t, ε) = u0 , u(1, t, ε) = u1 , t ∈ [0, T ],u(x, 0, ε) = u (x, ε), x ∈ [0, 1].t ∈ (0, T ],(1.27)initãäå ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, T > 0, à ôóíêöèè A(u, x), B(u, x) îáëàäàþòäîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòüþ. ðàáîòå ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþùèå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.27).du+ B(u, x) = 0 ñ äîïîëíèdxòåëüíûì óñëîâèåì u(0) = u0 èìååò íà îòðåçêå [0, 1] ðåøåíèå u = ϕl (x),(A1) Âûðîæäåííîå óðàâíåíèå A(u, x)40à ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì u(1) = u1 ðåøåíèå u = ϕr (x), ïðè÷åìϕl (x), ϕr (x), x ∈ [0, 1] è A ϕl (x), x > 0, A (ϕr (x), x) < 0, x ∈ [0, 1].(A2) Ïóñòür (x)ϕRA(u, x)du > 0 ïðè x ∈ [0, 1] è ïóñòü çàäà÷àϕl (x)ϕrR(x0 )A(u, x0 )dudx0ϕl (x0 )= r,dtϕ (x0 ) − ϕl (x0 )x0 (0) = x00èìååò ðåøåíèå x0 (t) òàêîå, ÷òî x0 (t) ∈ (0, 1) ïðè t ∈ [0, T ].Rs(A3) ÏóñòüA(u, x) −ϕl (x)dx0(x)dtdu > 0 ïðè s ∈ϕl (x), ϕr (x) ,x ∈ [0, 1]. ðàáîòå ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå Un (x, t, ε) ðåøåíèÿçàäà÷è (1.27) â âèäå äâèæóùåãîñÿ ôðîíòà ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ïî ε,ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ó ýòîé çàäà÷è ðåøåíèÿ òàêîãî âèäà.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, â õîäå êîòîðîãî ñòðîÿòñÿ âåðõíåå è íèæíååðåøåíèÿ çàäà÷è (1.27) β(x, t, ε) è α(x, t, ε) òèïà ôðîíòà.Òåîðåìà.