Диссертация (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 3

Ýòî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿóñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1). ãëàâå 3 èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è àñèìïòîòè÷åñêîìïðèáëèæåíèè ðåøåíèÿ ñ äâèæóùèìñÿ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåìñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿàäâåêöèÿ. ∂2u∂uε ∂x2 − ∂t = A(u, x) ∂∂xu + B(u, x),u(0, t, ε) = u(−) , t ∈ (0, T ),u(1, t, ε) = u(+) , t ∈ (0, T ),u(x, 0, ε) = uinit (x, ε), x ∈ (0, 1).def(x, t) ∈ D = {x ∈ (0, 1); t ∈ (0, T )},(15)Çäåñü ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, T íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿâåëè÷èíà, ôóíêöèè A(u, x) è B(u, x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå â îáëàñòè14defΩ̄ = D × I(u), ãäå I(u) îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè u(x, t, ε).Ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêàòî÷íîñòè ðåøåíèÿ â âèäå äâèæóùåãîñÿ ôðîíòà, äîêàçàíà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòüóðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè ïåðåõîäà.

Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïîñòðîåííîéàñèìïòîòèêè èñïîëüçóåòñÿ è ðàçâèâàåòñÿ íà ýòîò êëàññ çàäà÷ àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.Çàäà÷à (15) ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè âûïîëíåíèÿ òåõ æåóñëîâèé (A1)(A3), ÷òî è â ãëàâå 2.Ïîëîæåíèå ïåðåõîäíîãî ñëîÿ â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè îïèñûâàåòñÿôóíêöèåé x∗ (t, ε), êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà ε:x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + . . . ,(16)ñ êîýôôèöèåíòàìè xk (t), k = 0, 1, . .

., êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ â õîäåïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿD(−)= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ [0, T ]} ,(+)= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ [0, T ]}.DÀñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå U (x, t, ε) ðåøåíèÿ çàäà÷è (15) áóäåì(−)(+)ñòðîèòü îòäåëüíî â êàæäîé èç îáëàñòåé DèD :(−)U (−) (x, t, ε),(x, t) ∈ D ,U (x, t, ε) =(+)U (+) (x, t, ε),(x, t) ∈ D .Ïîñòðîåííûå ôóíêöèè U (−) è U (+) áóäåì ãëàäêî ñøèâàòü ïðè x =x∗ (t, ε) äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, T ].

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèèu(x, t, ε) â òî÷êå x∗ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíî15defu(x∗ , t, ε) = U (∓) (x∗ , t, ε) = ϕ(x∗ ) =1 (−)ϕ (x∗ ) + ϕ(+) (x∗ ) .2(17)Êàæäóþ èç ôóíêöèé U (−) è U (+) ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû ðåãóëÿðíîé ÷àñòè è ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, çàâèñÿùåé îò ðàñòÿíóòîé ïåðåìåííîé ξ(x, t) =x − x∗ (t, ε):εU (∓) (x, t, ε) = UÇäåñü U(∓)(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, t, ε).

ðåãóëÿðíàÿ ÷àñòü; Q(∓) ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ.Ôóíêöèè U(∓)è Q(∓) áóäåì ñòðîèòü â âèäå ðàçëîæåíèé ïî ñòåïåíÿìε:U(∓)(∓)(∓)(18)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + . . . ,(∓)(∓)(19)Q(∓) (ξ, t, ε) = Q0 (ξ, t) + εQ1 (ξ, t) + . . . .Ðåãóëÿðíûå ÷àñòè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ôóíêöèè U(∓)(x, ε)îïðåäåëÿþòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è â ãëàâå 2 (ñì. (9)).Ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé1 ∂ 2 Q(∓) dx∗ (t, ε) ∂Q(∓)∂Q(∓)+−ε=ε ∂ξ 2dt∂ξ∂t ∂Q(∓) 1(∓)(∓)=A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξ+ε∂ξ(∓)dU+ QA(x∗ + εξ)dxãäå16+ QB(x∗ + εξ), (20)QA(x∗ + εξ) = (∓)= A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ − (∓)− A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξ ,QB(x∗ + εξ) = (∓)= B U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ − (∓)− B U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèQ(∓) (0, t, ε) + U(∓)(x∗ (t, ε), ε) = ϕ(x∗ (t, ε)).Ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ ñòàíäàðòíîãî äëÿ ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿ óñëîâèé óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè:Q(∓) (∓∞, t, ε) = 0,t ∈ [0, T ].Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ x∗ (t, ε) íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ ãëàäêîãîñøèâàíèÿ.Òàê ôóíêöèÿ x0 (t) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè. dx0 ϕ(−) (x0 ) − ϕ(+) (x0 ) = H(x0 ),dtx (0) = x ,0(21)00ãäå ôóíêöèÿ H(x∗ ) îïðåäåëåíà â (14).Íà÷àëüíîå óñëîâèå x0 (0) = x00 çàäà÷è (21) çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ñ÷èòàåì, ÷òî x00 ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ôðîíòà uinit (t, ε), çàäàííîãî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, è êðèâîé ϕ(x), îïðåäåëåííîé â (17):uinit (x00 ) = ϕ(x00 ).Ïîòðåáóåì ðàçðåøèìîñòè ýòîé çàäà÷è Êîøè.17Óñëîâèå B4.Ïóñòü çàäà÷à (21) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå â êàæäûéìîìåíò âðåìåíè t ∈ [0, T ] ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âíóòðè èíòåðâàëà (0, 1).Ïðè óñëîâèÿõ (A1)(A3), (B4) ïîñòðîåíî ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ïî ε ðåøåíèÿ u(x, t, ε)â âèäå äâèæóùåãîñÿ ôðîíòà, èìåþùåå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíèðåçêèé ïåðåõîäíûé ñëîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 (t) è áëèçêîå ê ôóíêöèè ϕ(−) (x) ñëåâà îò ýòîé îêðåñòíîñòè è ê ôóíêöèè ϕ(+) (x) ñïðàâà îò íåå.Ïîëîæèì Xn+1 (t) =Pn+1i=0εi xi (t) è ξn+1 =x − Xn+1 (t).εÑîñòàâèì ñóììûUn(−) (x, t, ε)=Un(+) (x, t, ε) =nXi=0nX (−)(−)εi U i (x) + Qi (ξn+1 , t) ,(x, t) ∈ Dn , (+)(+)εi U i (x) + Qi (ξn+1 , t) ,(x, t) ∈ Dn ,(−)(+)i=0Dn(∓) ïîäîáëàñòè, íà êîòîðûå êðèâàÿ Xn+1 (t) äåëèò D:Dn(−)Dn(+)no= (x, t) : 0 6 x 6 Xn+1 , t ∈ [0, T ] ,no= (x, t) : Xn+1 6 x 6 1, t ∈ [0, T ] .ÏîëîæèìUn(−) (x, t, ε),Un (x, t, ε) =U (+) (x, t, ε),n(x, t) ∈ Dn(−)(x, t) ∈ Dn(+),.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ãëàâû 3 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.18Òåîðåìà 2.

Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (A1)(A3), (B4). Òîãäà äëÿ äî-ñòàòî÷íî ìàëîãî ε ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, t, ε) íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è, êîòîðîå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èìååò ïåðåõîäíûé ñëîé âáëèçèòî÷êè ïåðåõîäà x0 (t), òî åñòüϕ(−) (x)lim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(+) (x)ïðè0 6 x < x0 (t),t ∈ [0, T ],ïðèx0 (t) < x 6 1,t ∈ [0, T ]è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâónodefn+1u(x, t, ε) − Un (x, t, ε) 6 Cn ε , (x, t) ∈ D = x ∈ [0, 1]; t ∈ [0, T ] ,ãäå ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Cn íå çàâèñèò îò ε.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåíî ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîãîìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, äîðàáîòàííîãî ïðèìåíèòåëüíîê çàäà÷å (15) â ïðåäïîëîæåíèè âûïîëíåíèÿ òðåáîâàíèÿ (A2) áàëàíñààäâåêöèè. ãëàâå 4 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÄèðèõëå ñ ïåðèîäè÷åñêèì óñëîâèåì ïî âðåìåíè: ∂2u∂uε= A(u, x, t) ∂∂xu + B(u, x, t),2 − ∂t∂x(x, t) ∈ D def= {x ∈ (0, 1); t ∈ (−∞, +∞)}u(0, t, ε) = u(−) (t), u(1, t, ε) = u(+) (t),u(x, t, ε) = u(x, t + T, ε).(22)Ôóíêöèè A(u, x, t), B(u, x, t), u(−) (t) è u(+) (t) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå âîáëàñòè D è îáëàäàþò óñëîâèåì ïåðèîäè÷íîñòè ïî t ñ ïåðèîäîì T .19 ãëàâå 4 èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è àñèìïòîòè÷åñêîìïðèáëèæåíèè ðåøåíèÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì êðàåâîé çàäà÷è (22).Çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ óñëîâèé:Óñëîâèå C1.Çàäà÷èA(u, x, t) ∂ u + B(u, x, t) = 0,∂xu(0, t) = u(−) (t)(23)A(u, x, t) ∂ u + B(u, x, t) = 0,∂xu(0, t) = u(+) (t)(24)èèìåþò T ïåðèîäè÷åñêèå ïî ïåðåìåííîé t ðåøåíèÿ u(x, t) = ϕ(−) (x, t)è u(x, t)ϕ(+) (x, t), ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå îïðåäåëåíû ïðè=def(x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ (−∞; +∞)} è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèìíåðàâåíñòâàì ϕ(−) (x, t) < ϕ(+) (x, t) ïðè (x, t) ∈ D, A ϕ(−) (x, t), x, t > 0,A ϕ(+) (x, t), x, t < 0 ïðè (x, t) ∈ D.Óñëîâèå C2.

(óñëîâèå áàëàíñà àäâåêöèè)Ïóñòüϕ(+)R(x,t)A(u, x, t)du ≡ 0, äëÿ âñåõ (x, t) ∈ D.ϕ(−) (x,t)Óñëîâèå C3.Ïóñòü äëÿ âñåõ s ∈âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîϕ(−) (x, t), ϕ(+) (x, t) è âñåõ x ∈ (0, 1), t ∈ RRsA(u, x, t)du > 0.ϕ(−) (x,t) ãëàâå 4 ïîñòðîåíî ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (22) ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì, ëîêàëèçîâàííûì â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ R âáëèçè òî÷êè x = x∗ (t, ε), êîòîðàÿîïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàçëîæåíèå ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà ε:20(25)x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + . .

. ,è ÿâëÿåòñÿ Ò-ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé.Êàê è â ãëàâàõ 2 è 3 àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ ñòðîèòñÿîòäåëüíî â îáëàñòÿõ DD(−) def= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ (−∞, +∞)} è(+) def= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ (−∞, +∞)}, à çàòåì ãëàäêî ñøèâàåò-ñÿ â òî÷êå x∗ (t, ε) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ t.Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (25) òî÷êè ïåðåõîäà îïðåäåëÿþòñÿ èçóñëîâèé C 1 ñøèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ðåøåíèé çàäà÷è (22)â îáëàñòÿõ D(−)èD(+). ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ x0 (t) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè dx0 ϕ(−) (x0 , t) − ϕ(+) (x0 , t) = H (+) (t, x0 ) − H (−) (t, x0 ),dtx (t + T ) = x (t),0(26)0ãäå H(t, x∗ ) = H (+) (t, x∗ ) − H (−) (t, x∗ ),H (±) (t, x∗ ) =Z0+±∞∂ϕ(±) (x∗ , t)+∂x∂ Ã∂ϕ(±)∂ ÃΦ(ξ, t, x∗ )(ξ, t)(x∗ , t) · ξ +(ξ, t) · ξ∂u∂x∂x∂ϕ(±)+ Ã(ξ, t)(x∗ , t) + B̃(ξ, t) dξ−∂x(±)(±)− U 1 (x∗ , t)A!+(x∗ , t) .

(27)Çäåñüũ0 (ξ, t, x∗ ) =U (−) (x∗ , t) + Q(−) (ξ, t)ïðè ξ 6 0,t ∈ R,U (+) (x , t)∗0ïðè ξ > 0,t ∈ R,00(+)+ Q0 (ξ, t)Φ(ξ, t, x∗ ) =21∂ ũ0,∂ξÃ(ξ, t) = A (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) , B̃(ξ, t) = B (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) .Ïîòðåáóåì ðàçðåøèìîñòè ýòîé çàäà÷è:Óñëîâèå C4.Ïóñòü çàäà÷à (26) èìååò ðåøåíèå x0 (t) ∈ (0, 1) ïåðèîäè÷íîå ïîïàðàìåòðó t ïðè t ∈ R.Èç óñëîâèÿ C 1 -ñøèâàíèÿ â (i + 1)-ì ïîðÿäêå ïî ñòåïåíÿì ε ïîëó÷àåìçàäà÷è äëÿ îïðåäåëåíèÿ i-ãî êîýôôèöèåíòà â ðàçëîæåíèè òî÷êè ïåðåõîäàx∗ (t) (25):− dxi − D(t)xi (t) = Gi (t),dtx (t + T ) = x (t),i(28)iãäåD(t) =!∂Hdx∂0(t, x∗ )+ϕ(+) (x∗ , t) − ϕ(−) (x∗ , t) ×∂x∗dt∂x∗x∗ =x0x∗ =x0−1ϕ(+) (x0 , t) − ϕ(−) (x0 , t),à ôóíêöèÿ Gi (t) èçâåñòíà äëÿ êàæäîãî i.Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ó çàäà÷è (22) ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåãîñÿ âî âðåìåíè ðåøåíèÿ, ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ åù¼ îäíîãîóñëîâèÿ.Óñëîâèå C5.Ïóñòü ôóíêöèÿ D(t) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóRTD(t)dt > 0.0Ïðè óñëîâèÿõ (Ñ1)(Ñ5) ïîñòðîåíî ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîåðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ïî ε ðåøåíèÿ u(x, t, ε) ñ âíóòðåííèì22ïåðåõîäíûì ñëîåì, ëîêàëèçàöèÿ êîòîðîãî ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ âîâðåìåíè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 (t), áëèçêîãî ê ôóíêöèè ϕ(−) (x, t) ñëåâàîò ýòîé îêðåñòíîñòè è ê ôóíêöèè ϕ(+) (x, t) ñïðàâà îò íåå.Ïîëîæèì Xn+1 (t) =Pn+1i=0εi xi (t) è ξn+1 =x − Xn+1 (t).εÑîñòàâèì ñóììûUn(−) (x, t, ε) =nX (−)(−)εi U i (x) + Qi (ξn+1 , t) ,(x, t) ∈ Dn , (+)(+)εi U i (x) + Qi (ξn+1 , t) ,(x, t) ∈ Dn ,(−)i=0Un(+) (x, t, ε) =nX(+)i=0ãäå Dn(∓) ïîäîáëàñòè, íà êîòîðûå êðèâàÿ Xn+1 (t) äåëèò D:no(−)Dn = (x, t) : 0 6 x 6 Xn+1 , t ∈ [0, T ] ,no(+)Dn = (x, t) : Xn+1 6 x 6 1, t ∈ [0, T ] .ÏîëîæèìUn(−) (x, t, ε),Un (x, t, ε) =U (+) (x, t, ε),n(x, t) ∈ Dn(−)(x, t) ∈ Dn(+),.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ãëàâû 4 ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 3.

Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (C1) − (C4). Òîãäà äëÿ äî-ñòàòî÷íî ìàëîãî ε ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, t, ε) êðàåâîé çàäà÷è ñ ïåðèîäè÷åñêèì óñëîâèåì ïî âðåìåíè, êîòîðîå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíèèìååò ïåðåõîäíûé ñëîé âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà x0 (t), òî åñòüϕ(−) (x, t) ïðè 0 6 x < x0 (t),lim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(+) (x, t) ïðè x (t) < x 6 1,0è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâó23t ∈ R,t∈Ru(x,t,ε)−U(x,t,ε) 6 Cn εn+1 ,ndef(x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ R},ãäå ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Cn íå çàâèñèò îò ε.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåíî ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, äîðàáîòàííîãî ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å (22) ñ ïåðèîäè÷åñêèìè óñëîâèÿìè ïî âðåìåíè è â ïðåäïîëîæåíèèâûïîëíåíèÿ òðåáîâàíèÿ (C2) áàëàíñà àäâåêöèè.24Ãëàâà 1Îáçîð ëèòåðàòóðû1.1Òåîðèÿ êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóðÈññëåäîâàíèå ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéñ ðåøåíèåì, ñîäåðæàùèì âíóòðåííèé ïåðåõîäíûé ñëîé, íà÷àòî â ðàáîòàõÀ.