Диссертация (Динамическая и статическая модели генерации поверхностных гравитационных волн в океане землетрясениями), страница 8

раздел 1.2). В основе АЧА лежит точное аналитическое решение задачио начальном возвышении, полученное для прямоугольной деформации плоскогогоризонтального дна. В реальности дно океана не является ни плоским, нигоризонтальным. В связи с этим возникает вопрос, насколько корректно применять данноерешение при расчете начального возвышения в реальных очагах цунами.

Для ответа напоставленный вопрос необходимо получить точное аналитическое решение задачи оначальном возвышении для прямоугольной деформации плоского наклонного дна(разделы 2.1, 2.2) и сопоставить его с уже имеющимся решением аналогичной задачи дляпрямоугольной деформации плоского горизонтального дна (раздел 2.3). На основаниирезультатов сопоставления можно оценить, насколько корректно применять в АЧАрешение, полученное для прямоугольной деформации плоского горизонтального дна(раздел 2.4).Результаты данной главы опубликованы в работе [Носов, Семенцов, 2014].2.1.

Постановка и общее решение задачи о расчете начального возвышенияводнойповерхности,вызванногомалымидеформациямиплоскогонаклонного днаРассмотримдвумернуюклиновиднуюобласть,заполненнуюнесжимаемойжидкостью и ограниченную снизу абсолютно твердым плоским наклонным дном, а сверху– свободной поверхностью (рис. 2.1.1). Дно имеет постоянный угол наклона  . В областис такой геометрией удобно пользоваться цилиндрическими координатами. Направим ось rгоризонтально вправо, а угловую координату  будем отсчитывать от направления оси rпротив часовой стрелки. В соответствии с процессами, происходящими в реальных очагахцунами, деформация дна происходит мгновенно и считается малой (   H ,  – векторостаточных деформаций дна, Н – характерная глубина океана).Математическая постановка задачи о расчете начального возвышения, вызванногодеформацией плоского наклонного дна, схожа с постановкой аналогичной задачи длядеформации плоского горизонтального дна (см.

раздел 1.2, формулы (1.2.1)-(1.2.3)):36r22FF  2 Fr0,r 2r  2F  0,при1 F  ( , n ),r (2.1.1) 0,при(2.1.2)   ,(2.1.3)где F (r ,  ) - «потенциал смещений»,  – угол наклона дна,  – вектор остаточныхдеформаций дна, n  (sin  , cos ) – нормаль к поверхности дна.Решив задачу (2.1.1) – (2.1.3) относительно «потенциала смещений» F (r ,  ) , мыможем выразить смещение свободной поверхности  (r ) , взяв соответствующуюпроизводную: (r ) 1 Fприr  0.(2.1.4)(r )Рис. 2.1.1. Постановка задачи о расчете начального возвышения поверхности воды,вызванного деформацией плоского наклонного дна. Пунктирной линией показан профильсмещения дна, стрелочками – векторное поле остаточных деформаций дна.Введем безразмерную пространственную переменную r*  r / L , где L – некоторыймасштаб длины. Структура уравнения (2.1.1) такова, что переход к безразмернойпеременной не меняет вида уравнения:r *22FF  2 Fr* 0.r *2r *  2Граничное условие на свободной поверхности (2.1.2) при переходе к безразмернойпеременной r * также остается без изменения, в то время как выражения (2.1.3) и (2.1.4)меняют вид.

Так, правая часть граничного условия на дне, описывающая деформацию дна,теперь оказывается помноженной на величину L :37 1 F L  ( , n ) при    ,r * а искомое смещение свободной поверхности теперь требуется разделить на величину L : (r ) 1 Fпри   0 .L  r * Очевидно, что эти два компенсирующих друг друга действия (умножение и деление навеличину L ) в данной задаче можно вообще не производить. Итак, интереснойособенностью рассматриваемой задачи является тот факт, что переход к безразмернойпеременной r * не меняет вида уравнений. В дальнейшем для удобства и определенностибудем полагать L  1 м .

Соответственно, уравнения (2.1.1) – (2.1.4) будем рассматривать,полагая, что они записаны в безразмерных координатах. Знак «*» здесь и далее опустим.Для решения задачи (2.1.1) – (2.1.4) воспользуемся методом разделенияпеременных. ПустьF (r ,  )  R(r )  ( ) .(2.1.5)Подставляем выражение (2.1.5) в уравнение Лапласа (2.1.1) и делим правую илевую части на R . Получаем:1 2  2 R 1 R 1  2r r0R r 2 R r   2«Разделяем» переменные:1  2 q2 ,2 1 2  2 R 1 Rr r q 2 ,2R rR rгде q – безразмерный параметр.Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:r22RRr q2 R  0 ,2rr 2 q 2  0 .2Их решения имеют следующий вид:R(r )  C1e  i q ln r  C 2 e  i q ln r , ( )  C 3 ch(q )  C 4 sh(q ) ,где Ci – константы интегрирования.38Общее решение для потенциала смещений будем искать в виде разложения винтеграл Фурье по безразмерному параметру q :F (r ,  )   dq A(q ) ch(q )  B(q ) sh(q ) e i q ln r .(2.1.6)Для того чтобы найти коэффициенты A(q ) и B(q ) воспользуемся граничнымиусловиями.

Сначала рассмотрим граничное условие на поверхности воды (2.1.2).Подставляя (2.1.6) в (2.1.2) получаем:F (r , 0)   dq ( A(q) ch(0)  B(q ) sh(0))e i q ln r   dq A(q ) e i q ln r  0 .Последнее равенство должно выполняться при любых r , следовательно, A(q )  0 и видобщего решения упрощается:F (r ,  )   dq B(q) sh(q ) e i q ln r .(2.1.7)Рассмотрим теперь граничное условие на дне. Введем следующее обозначение:  ln r .(2.1.8)С учетом (2.1.8) можно также более удобным образом обозначить функцию  , котораяописывает деформацию дна : ( ) r  (r ).e(2.1.9)При таком обозначении будут выполняться условия r  e  и r  (r )  e   (  ) .В обозначениях (2.1.8) и (2.1.9) граничное условие на дне примет вид:   :F e   (  )(2.1.10)В левую часть этого уравнения подставим (2.1.7), а правую представим в виде обратногопреобразования Фурье от некоторой функции H (q ) , которая является в свою очередьпрямым преобразованием Фурье от правой части уравнения (2.1.10):iq dk B(q) q ch(q ) e 1где H (q ) 212 dq eiqH ( q) , d (e (  )) e i q  .(2.1.11)Приравнивая подынтегральные выражения, найдем коэффициент B(q ) :B(q ) 1H (q )2 q ch(q )(2.1.12)Подставим (2.1.12) в (2.1.7):391F (r ,  ) 2H ( q) dq q ch(q ) sh(q ) eiq.(2.1.13)Для того чтобы найти окончательное выражение для начального возвышенияподставим (2.1.13) в (2.1.4):1 (r ) r 21 dq ch(q ) H (q) eiq,где H (q ) 12 d (e (  )) e i q  .(2.1.14)Выражение (2.1.14) позволяет рассчитать начальное возвышение на поверхностиводы, вызванное деформацией дна формы   (  ) .2.2.

Точное аналитическое решение задачи о расчете начального возвышенияводной поверхности, вызванного малыми прямоугольными деформациямиплоского наклонного днаЗададим прямоугольное пространственное распределение остаточной деформациидна, т.е. положим, что правая часть формулы (2.1.3) имеет вид: ( , n )   S  (r  R1 )   (r  R2 ) ,(2.2.1)где  S – амплитуда деформации по нормали к дну, R1 и R2 – положение левой и правойграниц источника.

R1 , R2 и r – будем считать безразмерными величинами в силуособенностей рассматриваемой задачи, о которых говорилось в предыдущем разделе.Исходя из выражений (2.2.1) и (2.1.8) мы можем записать: S ,   [ln R1 , ln R2 ]. ( )  0,   [ln R1 , ln R2 ](2.2.2)Подставим (2.2.2) в (2.1.11):1 iq1iq R2  R1H ( q)  S(1  iq )2.(2.2.3)С учетом (2.2.3) выражение (2.1.14) приобретает следующий вид:1iq1iq S 1 R2  R1 (r ) dq2r  ch(q )1  iqe i q ln r .(2.2.4)Обозначим подынтегральную функцию:1iq (q ) 1iqR2  R11ch(q )1  iqe i q ln r .(2.2.5)40Рис. 2.2.1. Зависимости подынтегральной функции  от произведения параметра q наугол наклона дна  .

Кривые рассчитывались по формуле (2.2.5) для различных значенийпараметров, входящих в данную формулу: сплошная линия –   0.1 , R1  2000 ,R2  4000 , r  2000 ; штрих-пунктирная линия –   0.3 , R1  2000 , R2  3000 , r  2000; пунктирная линия –   0.03 , R1  1000 , R2  2000 , r  1000 .Выделим в подынтегральной функции (2.2.5) действительную и мнимую части:Re [ (q )] R2 cos q 2  R1 cos q 1  qR2 sin q 2  qR1 sin q 1,(1  q 2 )ch(q )Im [ (q )] R2 sin q 2  R1 sin q 1  qR2 cos q 2  qR1 cos q 1,(1  q 2 )ch(q )где  1  ln( r / R1 ),  2  ln( r / R2 ) .Видно, что мнимая часть функции  (q ) является нечетной, а действительная часть– четной. Следовательно, для расчета начального возвышения можно использоватьследующую формулу: (r )  S dq Re [ (q )] .r 0Интегралв(2.2.6)берется(2.2.6)численно.Еслимыпостроимзависимостиподынтегральной функции  не от q , а от q (рис.

2.2.1), то увидим, что для различныхзначений параметров r , R1 , R2 , все эти зависимости тем или иным образом стремятся кнулю при q  5 . Отсюда следует, что для каждого конкретного случая мы можем по41известному углу  рассчитать некое q max , (например, qmax 10) такое что, проводячисленный расчет интеграла в (2.2.6), в качестве верхнего предела интегрирования можнобрать не   , а q max .Результаты расчетов по формуле (2.2.6) приведены на рис. 2.2.2. Хорошо видно,что профиль начального возвышения существенно асимметричен: в мелководной областион спадает значительно круче, чем в глубоководной.Для независимой проверки полученного результата проводилось сравнение«двумерного объема» жидкости, вытесненной деформацией дна Vb  ( R2  R1 ) S , и«двумерного объема» начального возвышения водной поверхности Vi .e.    (r )dr . Эти0«двумерные объемы» оказались идентичными, что служит независимым доказательствомправильности полученного решения.Рис.

2.2.2. Точное аналитическое решение задачи о расчете начального возвышения вочаге цунами (красная линия), вызванного нормальной прямоугольной деформациейплоского наклонного дна (зеленый прямоугольник)2.3. Сопоставление начальных возвышений водной поверхности, вызванныхэквивалентнымидеформациямиплоскогонаклонногоиплоскогогоризонтального днаСопоставим начальное возвышение водной поверхности, вызванное прямоугольнойдеформацией плоского наклонного дна (2.2.6) и начальное возвышение, вызванноепрямоугольной деформацией плоского горизонтального дна (1.2.17).