Диссертация (Динамическая и статическая модели генерации поверхностных гравитационных волн в океане землетрясениями), страница 5

Прямое численное решение возможно, носопряжено с трудностями постановки условий «свободного прохода» на границахрасчетной области, проходящих по океану. Дело в том, что на границе, проходящей поокеану, уклон начального возвышения должен оставаться постоянным, следовательно,производная по горизонтальной координате от искомой функции  ( x, y ) должна такжеоставаться постоянной:  xG Const . Данное условие с необходимостью влечет за собойравенство нулю второй производной  ( x, y ) на границе  xxGравенство нулю третей производной от потенциала смещений Fzxx 0 и, соответственно,G 0 .

Таким образом,трудности постановки условий «свободного прохода» на границах расчетной области,проходящих по океану, заключаются в том, что сама задача относительно потенциаласмещения имеет второй порядок, а граничное условие – третий.Для бассейна с горизонтальным дном ( H  const ) и поднятия дна прямоугольнойформы с размерами 2a  2b и амплитудой  0  ( x, y ) 0   x  a   x a    y b   y b  ,21(1.2.15)где  – ступенчатая функция Хевисайда, задача (1.2.11) – (1.2.14) имеет следующееаналитическое решение [Nosov, Kolesov, 2011]:40   cos(mx) cos(ny ) sin( ma) sin( nb), k 2  m2  n2 ,(1.2.16)dm  dn 2 0mnch(kH)0где m и n – компоненты вектора k .

Результаты расчетов формуле (1.2.16) представлены ( x, y ) на рис. 1.2.1. Видно, что начальное возвышение гладкое, в отличие от деформации дна.Стоит отметить, что если мы рассматриваем двумерную задачу в плоскости 0 xz , тоаналитическое решение этой задачи для бассейна постоянной глубины и деформации днас прямоугольным пространственным распределением   ( x) 0   x  a   x  a  имеетследующий вид (аналог формулы (1.2.16)):20  cos(kx ) sin( ka ). ( x) dk 0k ch(kH )(1.2.17)Рис 1.2.1. Возвышение свободной поверхности, вызванное остаточными деформациямидна прямоугольной формы с параметрами a  2H 0 , b  H 0 . Расчет выполнен по формуле(1.2.16).

Возмущение поверхности и деформация дна показаны в одном масштабе.22Аналитическое решение (1.2.16) получено для прямоугольной деформации,возникающей на плоском горизонтальном дне. Авторы работы [Nosov, Kolesov, 2011]предлагают аналитико-численный алгоритм (АЧА), позволяющий рассчитать начальноевозвышение водной поверхности в реальном очаге цунами (на неровном дне). АЧА,основанный на решении (1.2.16) и принципе суперпозиции, состоит в следующем:1)область источника цунами в бассейне переменной глубины разбивается наодинаковые прямоугольные подобласти фиксированного размера 2a  2b ;2)каждая подобласть рассматривается как независимый элементарный источник,характеризуемый определенной глубиной H и амплитудой смещения поверхностидна   , рассчитываемой по формуле (1.2.9);3)возвышение свободной поверхности, создаваемое элементарным источником в точкес координатами ( x, y ) относительно его центра, рассчитывается численно поформуле (1.2.16);4)итоговое начальное возвышение определяется как суперпозиция вкладов всехэлементарных источников.Возмущение, создаваемое элементарным источником, экспоненциально быстрозатухает при удалении от его границы: уже на расстоянии порядка трех глубинвозмущение становится пренебрежимо малым ([Nosov, Kolesov, 2011]).

Этот факт даетоснованиерассматриватьвкладтолькоближайшихкрассматриваемойточкеэлементарных источников, что значительно облегчает вычислительную процедуру.В реальности дно океана, конечно, не является ровным, и даже на протяженииодной подобласти глубина может меняться значительно (иногда кратно). Поэтому вопросо корректности использования в АЧА решения на горизонтальном дне оставалсяоткрытым. Поиск ответа на этот вопрос и является одной из целей настоящегоисследования.

Для достижения этой цели необходимо получить точное аналитическоерешение задачи о начальном возвышении в очаге цунами в результате малых остаточныхдеформаций плоского наклонного дна и сопоставить полученное решение с решениемэквивалентной задачи для случая плоского горизонтального дна.1.3. Динамическая модель генерации поверхностных гравитационных волн в океанесейсмическими движениями дна: предпосылки для развитияКак уже говорилось во введении, динамические модели генерации цунамираспространены значительно меньше, чем статические [Новикова, Островский, 1982;Носов, 1992; Saito, 2010; Maeda, Furumura, 2013].

Однако в последнее время открываютсяновые возможности для исследования динамической генерации волн в океане23сейсмическими движениями дна. В первую очередь это связано с развитием системглубоководных обсерваторий.Метод оперативного прогноза цунами, основанный на регистрации волны вдали отберега, впервые был предложен С.Л. Соловьевым еще в 60-х годах ХХ века [Соловьев,1968; Жак, Соловьев, 1971]. Получив существенное техническое развитие [UNESCO,1975; Cartwright et al., 1979; Gonzalez et al., 1987], этот метод в настоящее время активноиспользуется.По сравнению с береговыми измерениями глубоководная регистрацияцунами имеет целый ряд важных преимуществ [Titov et al., 2005, Levin, Nosov, 2016]. Вопервых, в силу того, что скорость цунами возрастает при увеличении глубины океана,глубоководный датчик зарегистрирует волну раньше, чем береговой мареограф,расположенный на том же расстоянии от очага.

Во-вторых, при подходе к побережьюволна цунами сильно искажается (например, из-за резонанса в бухтах) и отчасти“забывает” о свойствах породившего ее источника. В то же время в открытом океанесигнал цунами не является искаженным или фильтрованным. В-третьих, амплитудночастотная характеристика (АЧХ) донных датчиков давления является абсолютно плоскойв диапазоне волн цунами, в то время как многим береговым мареографам свойственнасложная и непостоянная АЧХ. В-четвертых, частотный диапазон волн цунамихарактеризуется чрезвычайно низким уровнем фонового шума (~0.001 м), что позволяетлегко различать сигнал цунами с амплитудой порядка 0.01 м.Рис. 1.3.1.

Принципиальная схема донной обсерватории DART.24Наиболее известной системой глубоководных обсерваторий является сетьглубоководных станций DART (Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis,http://nctr.pmel.noaa.gov/Dart/), насчитывающая к настоящему времени более 50 станций[Bernard, Meinig, 2011]. Принципиальная схема глубоководной станции DART изображенана рис. 1.3.1. Данные, записанные станциями DART, находятся в свободном доступе(http://www.ndbc.noaa.gov/rmd.shtml)Аналогичные глубоководные измерители уровня моря, функционирующие с концаXX века имеет японское агентство JAMSTEC (Japan Agency for Marine-Earth Science andTechnology, http://www.jamstec.go.jp/) [Hirata et al., 2002]. В 2009 г.

у тихоокеанскогопобережья Канады установлена система NEPTUNE [Thomson et al., 2011]. В стадииразработки находится и европейская система донных обсерваторий EMSO (EuropeanMultidisciplinary Seafloor Observatory), обладающая возможностями регистрации цунами[Favali, Beranzoli, 2009]. У берегов Тайваня развернута система донных обсерваторийMACHO (http://macho.ncu.edu.tw). Сравнительный анализ перечисленных систем иописание общих принципов глубоководных обсерваторий можно найти в работе [Favali etal., 2010].С 2006 г. агентство JAMSTEC запустило новую программу донных наблюдений,которая получила название DONET (Dense Oceanfloor Network System for Earthquakes andTsunamis). К 2011 г.

было успешно установлено 20 донных станций, соединенныхкабельными линиями с береговым центром обработки данных. Каждая станция оснащенасейсмометром (Ocean Bottom Seismometer – OBS) и датчиком давления (Pressure Gauge –PG), размещенными практически в одной точке – на удалении не более 10 м. Станцииустановлены на глубинах от 1900 до 4400 м, расстояние между ними варьируется от 15 до20 км. Частота дискретизации данных составляет 10 Гц для вариаций давления и 200 Гцдля ускорений движения дна.

С 2013 по 2015 гг. должно быть дополнительно развернутоеще 29 донных станций в рамках проекта DONET2.Помимо активного развития систем донных обсерваторий, наблюдается такжесущественный прогресс в определении пространственной структуры и восстановлениидинамики деформации дна в очаге цунами по сейсмическим данным [Ji et al., 2002; Yagi,Fukahata, 2011; Wang et al., 2006]. Научные группы из Геологической службы США(USGS), Калифорнийского технологического университета (Caltech), Университета СантаБарбара (UCSB) практически на регулярной основе для многих сильных сейсмическихсобытий дают информацию не только о структуре подвижки в очаге землетрясения FFM(Finite Fault Model), но и о развитии подвижки во времени.

Пользуясь этими данными25можно восстанавливать динамику движения океанического дна и исследовать процессгенерации цунами в рамках динамической модели.1.4.Комбинированнаячисленнаямодельдляописанияповерхностныхгравитационных волн, возбуждаемых в океане сейсмическими движениями днаВ настоящем исследовании для проведения численных экспериментов (глава 4)будет использоваться комбинированная 2D/3D численная модель, предложенная в работе[Колесов, Носов, 2016].

Предварим ее описание кратким обзором современных численныхмоделей цунами.Основные принципы численного моделирования волн цунами изложены в работе[Марчук и др., 1983]. Большинство современных моделей цунами построены в рамкахтеории длинных волн. Не претендуя на полноту списка, отметим наиболее известные изних: TUNAMI [Imamura, et al., 2006], MOST [Titov et al., 2003], COMCOT [Liu et al., 1998],NAMI DANCE [Zaytsev et al., 2010], MGC [Shokin et al., 2008], TsunAWI [Harig et al.,2008], NEOWAVE [Yamazaki et al., 2009], GeoClaw [LeVeque et al., 2011].