Диссертация (Динамическая и статическая модели генерации поверхностных гравитационных волн в океане землетрясениями), страница 9

Постановки этихдвух задач несколько различаются, поэтому для корректного сопоставления следует точноопределить условия эквивалентности деформаций дна. Будем считать прямоугольныедеформации плоского и наклонного дна эквивалентными, если (1) их центры лежат наодинаковой глубине; (2) их горизонтальные протяженности равны; (3) вытесняемые ими«двумерные объемы» жидкости также равны. Пусть протяженность деформации42наклонного дна составляет R2  R1 . Тогда ее горизонтальная протяженность составляет( R2  R1 ) cos (рис.

2.3.1). Для выполнения условия (2) эквивалентная деформацияплоского горизонтального дна должна иметь такую же горизонтальную протяженность:2a  ( R2  R1 ) cos ,(2.3.1)С учетом (2.3.1) для выполнения условия (3) необходимо потребовать, чтобы амплитудыдеформаций горизонтального дна  H и наклонного дна  S были связаны формулой: S   H cos  ,(2.3.2)Итак, эквивалентными деформациями дна будем считать такие, для которых выполняетсяусловие (1) иформулы(2.3.1),(2.3.2).

Все начальные возвышения,которыесопоставляются друг с другом ниже, рассчитывались для эквивалентных деформацийплоского и наклонного дна.Рис. 2.3.1. Эквивалентностьгоризонтального дна.деформацийплоскогонаклонногоиплоскогоПримеры расчета форм начальных возвышений, вызываемых прямоугольнымидеформациями плоского наклонного дна (сплошные линии) и плоского горизонтальногодна (пунктирные линии) показаны на рис.

2.3.2. Расчет выполнен при tg  0.3 для двухразличных глубин в центре деформации H: 500 м и 2000 м. Серые прямоугольникипоказывают местоположение деформаций дна. Во всех случаях начальные возвышенияимеют гладкую форму, несмотря на то, что вызваны прямоугольными деформациями.

Чембольше глубина деформации H, тем более пологим становится начальное возвышение.Начальноевозвышение,вызванноедеформацией43горизонтальногодна,являетсясимметричным относительно центра деформации. Начальное возвышение, вызванноедеформацией наклонного дна всегда асимметрично: в той области, где глубина меньше(слева), происходит более резкий спад кривой, по сравнению с глубоководной областью.При небольших глубинах деформации H разница между начальными возвышениямихорошо заметна.

При увеличении H разница становится менее существенной.Рис. 2.3.2. Сопоставление форм начальных возвышений, вызванных прямоугольнойдеформацией плоского наклонного дна (сплошная линия) и эквивалентной деформациейплоского горизонтального дна (пунктирная линия). Расчет выполнен по формулам (1.2.17)и (2.2.6) при a  1000 м , tg  0.3 для двух деформаций, расположенных на глубинахH  500 м и H  2000 м . Положение деформаций показано серыми прямоугольниками.В качестве количественного параметра, характеризующего различие начальныхвозвышений, рассчитанных для деформаций наклонного (2.2.6) и горизонтального (1.2.17)дна, выберем относительную разницу потенциальных энергий:WS  WH,WS(2.3.6)где WS и WH – потенциальные энергии начальных возвышений, рассчитанных длядеформаций наклонного и горизонтального дна, соответственно.

Обе потенциальныеэнергии вычислялись по формуле1 W  g  dr  2 (r ) ,2 0(2.3.7)44где  – плотность воды, g – ускорение силы тяжести. Для горизонтального дна переход откоординаты x к координате r осуществлялся по формуле x  r  0.5 ( R1  R2 ) cos  .Величина  исследовалась в зависимости от глубины океана в центре источника (H ), полуширины источника ( a ) и уклона дна ( tg  ). Глубина варьировалась в пределахот минимально возможной для данного уклона дна и размера источника до 10 000 м.Минимально возможная глубина H min подбиралась таким образом, чтобы источникцеликом располагается под водой: H min  a tg . Для полуширины источника быливыбраны три фиксированных значения: 500, 1000 и 2000 м, среднее из которыхприблизительно соответствует типичному шагу сетки при численном моделированиицунами (1 угл.мин).

Уклон дна также задавался тремя фиксированными значениями: 0.03,0.1 и 0.3.Рис. 2.3.3. Типичные распределения уклонов дна в областях очагов некоторых сильныхцунами начала XXI века. Даты событий и координаты регионов, по которым проводилсяанализ, указаны на рисунке.Очевидно, что максимальное расхождение между начальными возвышениями,рассчитанными для деформаций наклонного и горизонтального дна должно наблюдатьсяпри больших уклонах дна. Поэтому выбор максимального значения tg нуждается вобосновании.

На рис. 2.3.3 представлены типичные распределения уклонов дна в областяхочагов некоторых сильных цунами начала XXI века. Уклон дна рассчитывался по даннымцифрового атласа GEBCO (http://www.gebco.net/) c шагом 1 угл.мин как абсолютная45величина градиента глубины ( tg  grad H ). Обрабатывались только те точки, глубинав которых превышала 10 м.

Из рис. 2.3.3 видно, что уклоны дна, как правило, ограниченывеличиной 0.2, и только в крайне редких случаях они достигают величины 0.3.Рис. 2.3.4. Относительная разница потенциальных энергий начальных возвышений,рассчитанных для эквивалентных деформаций плоского наклонного и плоскогогоризонтального дна, как функция глубины океана в центре деформации. Расчетвыполнен для трех фиксированных значений углов наклона дна при трех различныхгоризонтальных протяженностях деформации. Кривые 1-3 соответствуют tg  0.03 ,4-6 – tg  0.1 , 7-9 – tg  0.3 ; 1, 4, 7 – a  500 м , 2, 5, 8 – a  1000 м , 3, 6, 9 – a  2000 м .На рис. 2.3.4 представлены зависимости величины  от глубины океана H в центредеформации, рассчитанные при различных значениях полуширины источника и уклонадна.

Энергия начального возвышения, рассчитанная для деформации наклонного днавсегда несколько превышает энергию, рассчитанную для деформации горизонтальногодна ( WS  WH ). Максимальное значение относительной разности потенциальных энергийсоставляет max  2% .

Это значение достигается при больших уклонах дна tg  0.3 иминимальной глубине деформации. При уменьшении уклона дна величина max быстропадает ( max  0.5% при tg  0.1 и max  0.08% при tg  0.03 ). Интересно, что прилюбых уклонах дна максимальное значение величины  достигается при минимальныхглубинах и не зависит от размера деформации дна. Полуширина деформации aнеоднозначно сказывается на величине  : в зависимости от глубины уменьшение a можетсопровождаться как ростом, так и уменьшением величины  .

Однако в связи с тем, что46max всегда меньше 2%, обсуждать немонотонный характер представленных зависимостейне имеет практического смысла.Итак, установлено, что в типичном диапазоне входных параметров различие междуначальными возвышениями, рассчитанными для плоского наклонного дна и плоскогогоризонтального дна пренебрежимо мало: относительная разница потенциальных энергийне превышает 2%.2.4. Учет асимметрии начального возвышения водной поверхности в рамкахАЧАВпредыдущемповерхности,разделевозникающеевмысопоставилирезультатеначальноепрямоугольнойвозвышениедеформацииводнойплоскогогоризонтального дна и начальное возвышение водной поверхности, возникающее врезультате прямоугольной деформации плоского наклонного дна.

Эти начальныевозвышения оказались близки друг к другу по своей потенциальной энергии(относительная разница не превышает 2%) и идентичны по объему. Как известно, энергияначального возвышения и вытесненный в области очага объем воды являютсяинтегралами движения для задачи распространения цунами. Таким образом, заменанаклонных участков дна на горизонтальные при расчете начального возвышения сиспользованием АЧА, не приводит к ошибкам в определении интегралов движения длязадачи распространения.Остановимся на проблеме учета асимметрии в рамках АЧА.

Как уже говорилось впредыдущем разделе, начальное возвышение, вызванное деформацией наклонного дна,всегда асимметрично, в то время как начальное возвышение, вызванное деформациейгоризонтального дна, всегда симметрично. В связи с этим между пиком асимметричноговозвышения и пиком симметричного возвышения существует некоторое расстояние, тембольшее, чем больше угол наклона дна. Наличие этого расстояния может привести кошибкам в определении времени прихода лидирующей волны цунами при решениизадачи распространения. Однако использование в рамках АЧА не одной, а несколькихступенек, находящихся на разной глубине, позволяет избежать этой ошибки.Рассмотрим пример. Пусть на плоском наклонном дне возникает мгновеннаяпрямоугольная деформация по нормали к дну (рис. 2.4.1).

Она вызывает начальноевозвышение на поверхности воды, которое можно рассчитать, воспользовавшись точныманалитическим решением (2.2.6). На рис. 2.4.1 это точное решение показано синейпунктирной линией. «Заменим» наклонное дно в области подвижки на три ступенькиравной горизонтальной протяженности, а подвижку по нормали к дну – на три47вертикальных подвижки для каждой из трех ступенек (рис.