Диссертация (Динамическая и статическая модели генерации поверхностных гравитационных волн в океане землетрясениями), страница 4

Каджиурыможно в работе [Tanioka, Seno, 2001], посвященной моделированию катастрофическогоцунами 1896-го года у побережья Санрику. Восстановив параметры разрыва в очагеземлетрясения по известным записанным данным, авторы приходят к выводу, что дляданного события начальное возвышение нельзя приравнять к деформации дна, т.к.горизонтальный размер подвижки мал (порядка глубины). Следовательно, в данномслучае необходим учет сглаживающего эффекта.15В работе [Файн, Куликов, 2011] продемонстрирован другой подход к решениюзадачи о начальном возвышении.

Авторы формулируют эту задачу в приближенииидеальной несжимаемой жидкости в бассейне с медленно меняющейся глубиной. Ихрешение основано на использовании электростатической аналогии между очагом цунамив океане и конденсатором переменной толщины, заряд на обкладках которого распределеннеравномерно. Уподобляя таким образом потенциал скоростей течения в области очагапотенциалу электростатического поля в конденсаторе и учитывая приближение малыхуклонов дна, И.В.

Файн и Е.А. Куликов получают решение для начального возвышения ( x, y ) в виде интеграла, который рассчитывается при помощи итерационной процедуры.Используя полученное решение  ( x, y ) и взяв в качестве модельного источникаосесимметричное поднятие дна b ( x, y )  er22 2(где r - расстояние от центра источника, а2 – его характерный горизонтальный размер), авторы сравнивают потенциальнуюэнергию негидростатического откликаES 1g   2 ( x, y ) dx dy2ипотенциальнуюэнергию гидростатического отклика (равного вертикальной компоненте деформации дна)Eb 12g b ( x, y ) dx dy .

Здесь  – плотность воды, а g – ускорение силы тяжести.2Зависимость ES / Eb от H /  ( H – глубина океана) представлена на рис.1.1.2. Мы видим,что чем больше относительные размеры источника (т.е. чем меньше H /  ), тем ближедруг к другу ES и E b .Рис.1.1.2. График отношения потенциальной энергии горба на поверхности жидкости кэнергии гидростатического отклика в зависимости от H /  ([Файн, Куликов, 2011]).16В той же работе И.В. Файн и Е.А. Куликов демонстрируют разработанный имиметод расчета начального возвышения на примере землетрясения 13 января 2007 г. вблизио.Симушир (Курильские о-ва).

Изолинии смещений дна (рис. 1.2.2) океана полученыавторами с помощью последовательного использования моделей Джи [Ji, 2007] и Окады[Okada, 1985]. Видно, что источник находится на дне глубоководного желоба (глубинаочага варьируется от 5000 до 7000 м) и при этом имеет относительно небольшие размеры.Следовательно, можно предположить существенное влияние эффекта негидростатичностипри формировании смещений свободной поверхности над очагом.

На рис. 1.1.3представлены результаты расчетов, подтверждающие это предположение. Потенциальнаяэнергия полученного негидростатического начального возвышения на 38% меньшепотенциальной энергии, рассчитанной в гидростатическом приближении.Заметим, что цунами 13 января 2007 г. анализировалось также в ряде других работ([Rabinovich et al., 2008; Носов и Колесов, 2009; Nosov and Kolesov, 2011]). Во всехуказанных работах подчеркивается, что для данного события сглаживающий эффектвесьма существенен.В заключение отметим, что пренебрежение сглаживающим эффектом водного слояи прямой перенос деформаций дна на водную поверхность приводит к искусственномунасыщению спектра цунами коротковолновыми компонентами, которые не существуют вдействительности [Носов, Колесов, 2009; Nosov, Kolesov, 2011].

В численных моделях дляадекватного воспроизведения этих несуществующих коротковолновых компоненттребуется нерациональное уменьшение шагов по пространству и времени, что приводит кувеличению времени счета. Причем наиболее изощренные модели, использующие«динамически адаптивные» численные схемы с переменным («подстраивающимся»)шагом (например, [Popinet, 2012]), будут «страдать» наибольшим образом. Кроме того,резонансный отклик шельфа и мелкомасштабных бухт на коротковолновые компонентызатрудняет интерпретацию расчетных данных, а в ряде случаев способствует развитиюнеустойчивости численных схем. Еще раз подчеркнем, что все эти проблемы в численныхмоделях связаны со спектральными компонентами, которые не свойственны реальнымцунами, а искусственно привносятся в модель чрезмерно упрощенным способомпостановки начальных условий. Следовательно, учет сглаживающего эффекта не толькопозволяет избежать ошибок в расчете начального возвышения, но и способствуетповышению эффективности численных моделей.17Рис.1.1.3.

(а) – Карта деформаций дна океана, образовавшихся в результатеземлетрясения 13 января 2007 г. В серых тонах показана батиметрия океана в данномрайоне; прямая линия обозначает линию разреза поверхности смещений дна,перпендикулярную к линии сейсмотектонического разлома; (б) – карта распределениясмещений поверхности океана над очагом цунами; (г) – профили поверхности смещенийдна и поверхности океана вдоль разреза (прямая линия). Рисунок из работы ([Файн,Куликов, 2011]).1.2.

Задача о расчете начального возвышения водной поверхности в очаге цунами врамках статической моделиВ работах [Носов, Колесов, 2009; Nosov, Kolesov, 2011] был разработан методрасчета начального возвышения в очаге цунами по данным о векторном поле остаточнойдеформации дна и батиметрии. Этот метод позволяет учесть сглаживающий эффектводного слоя в рамках приближений мгновенной деформации дна и несжимаемойжидкости. Рассмотрим этот метод подробно, так как в настоящем исследовании он нашелсвое развитие (см. главу 2).Пусть однородный слой переменной глубины H ( x, y ) заполнен идеальнойнесжимаемой жидкостью.

Начало прямоугольной системы координат 0 xyz располагаетсяна невозмущенной свободной поверхности воды. Ось 0 z направлена вертикально вверх,18оси 0 x и 0 y – горизонтально. До момента времени t  0 жидкость находится в состояниипокоя.Для нахождения волнового возмущения  ( x, y, t ) , образующегося на поверхностижидкости и поля скорости v ( x, y, z, t ) при движениях дна, которые происходят по закону ( x, y , t ) ,необходиморешитьследующуюдинамическуюзадачуотносительнопотенциала скорости  ( x, y , z , t ) [Levin, Nosov, 2016]:  0(1.2.1) 2 g, z0(1.2.2)2tz (1.2.3)  ( , n ), z   H ( x, y ) ,ntгде g – ускорение силы тяжести, n – единичный вектор нормали к поверхности дна.Уравнение Лапласа (1.2.1) представляет собой уравнение неразрывности вприближении несжимаемой жидкости.

Физический смысл граничного условия (1.2.2)заключается в постоянстве давления на свободной поверхности жидкости. Наконец,граничное условие (1.2.3) означает равенство нормальной к дну компоненты скороститечения и скорости движения дна в этом же направлении (условие непротекания).Смещение свободной поверхности и вектор скорости течения связаны с потенциаломскорости течения следующими известными формулами [Ламб, 1947, Ландау, Лившиц,1987]:1 g tv ( x, y , z , t )   ( x, y , t )  (1.2.4)z0(1.2.5)Для нахождения смещения свободной поверхности в начальный момент времени,введем новую величину – потенциал смещений. Потенциал смещений представляет собойпотенциал скоростей, проинтегрированный по времени от нуля до  , где –продолжительность деформации дна:F ( x, y , z )    ( x, y , z , t ) dt .(1.2.6)0Таким образом, появляется возможность свести динамическую задачу (1.2.1) – (1.2.3)относительно потенциала скоростей к статической задаче относительно потенциаласмещений.

Основное уравнение искомой статической задачи получается путеминтегрирования от нуля до  уравнения (1.2.1):F  0(1.2.7)19Подставляявграничноеусловиеобезразмеренные переменные t*  t /  ,насвободнойповерхности(1.2.2)z*  z / H получим следующее соотношение: 2g 2  . Пользуясь приближением мгновенных деформаций дна  t *2H z *H / g (ограницах применимости этого приближения см. раздел 1.1 настоящей работы), запишемграничное условие на поверхности океана в еще более простом видедвукратногоинтегрированияданногограничногоусловия 2 0 .

Послеt *2получаетсялинейноевыражение для потенциала скоростей   C1t * C2 . В начальный момент жидкостьпокоится, т.е.1  0, t * t * 0v ( x, y , z, t ) t * 0   t * 0  0 .p t * 0  Очевидно, что С1  0 и  t *  0  С2  0 , так как потенциал скоростей определен сточностью до константы. Итак,   0 , и проинтегрировав его еще раз, получимокончательно нулевое граничное условие для потенциала смещений на поверхностиокеана:F   dt   Const  0,(1.2.8)z00Далее рассмотрим граничное условие на дне.

До землетрясения положение днаопределяется формулой zb   H ( x, y ) . После землетрясения дно перемещается в новоеположение zb   H ( x, y )   ( x, y ) , где   ( x, y ) – остаточное смещение поверхности дна(   H ). Заметим формулу, связывающую функцию   ( x, y ) с компонентами векторадеформации  ( x, y )  ( x , y , z ) , который обычно рассчитывается при решениипрактических задач [Nosov et al., 2013]  ( x, y )   xHHy z .xy(1.2.9)После интегрирования условия (1.2.3) по времени от нуля до  получаетсяграничное условие на дне относительно потенциала смещений: F  ( 0 , n ),nz   H ( x, y ) .(1.2.10)20Искомое начальное возвышение также выражается через потенциал смещений., где w – вертикальная компонента скорости движенияОчевидно, что  0 ( x, y )   dt w0z 0жидкости.

Так как по определению потенциала скорости w , имеет место следующаяzцепочка рассуждений: 0 ( x, y )   dt w0  dtz 00zz0Fz.z0Итак, выражения (1.2.7), (1.2.8) и (1.2.10) являются статической задачей напотенциал смещений. Для удобства сведем в одном месте основное уравнение, дваграничных условия и формулу для нахождения начального возвышения через потенциалсмещений:F  0 ,F  0,(1.2.11)z  0, F  ( 0 , n ),n 0 ( x, y ) Fz(1.2.12)z   H ( x, y ) ,z0(1.2.13).(1.2.14)Получить аналитическое решение такой задачи в бассейне с произвольнымрельефом дна не представляется возможным.