Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â.ËîìîíîñîâàÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÇàãðÿäñêèé Îëåã Àëåêñàíäðîâè÷Ãåîìåòðèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì äëÿìíîãîîáðàçèé è ïîòåíöèàëîâ Áåðòðàíà01.01.04 - ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:àêàäåìèê ÐÀÍ À. Ò. Ôîìåíêîäîöåíò Å. À. ÊóäðÿâöåâàÌîñêâà - 2015ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå1Ïîâåðõíîñòè è ìåòðèêè Áåðòðàíà1.11.22342Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû1.1.1 Áàçîâûå îïðåäåëåíèÿ . . .1.1.2 Öèëèíäð, êîíóñ, ñôåðà . .Îáîáùåííîå ñåìåéñòâî óðàâíåíèé10................................................................................................10101720Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà292.12.22.3Îáîáùåíèå òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ .

. . . . . . . . . .Ñâîéñòâà îðáèò è ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293748Àáñòðàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà è ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà â573.13.2R3 , R32Áåðòðàíîâñêèå ïîâåðõíîñòè è íàòóðàëüíûå êîîðäèíàòû .

. . . . . . . . . .Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòåé è îðáèò â R3 , R32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5765Ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä724.14.24.3728494Ñèñòåìà Áåðòðàíà êàê ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . .Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñëîè Ëèóâèëëÿ è èõ ïåðåñòðîéêè. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòüÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ îáîáùåíèÿ çàäà÷è Áåðòðàíà. Çàäà÷è íåáåñíîé ìåõàíèêè, ñâÿçàííûå ñ äâèæåíèåì ñâåòèë ïî íåáóè â ïðîñòðàíñòâå, çàíèìàëè öåíòðàëüíîå ìåñòî â íàóêå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ âåêîâ. Ñàìûå ïðîñòûå ìîäåëè âîçíèêëè åù¼ â àíòè÷íîñòè âî âðåìåíà Àðèñòîòåëÿ è ñ òå÷åíèåìâðåìåíè âñ¼ áîëåå è áîëåå óñëîæíÿëèñü. Ðàçâèòèå íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè âëåêëî çàñîáîé êà÷åñòâåííûå ñêà÷êè â èññëåäîâàíèè çàäà÷ íåáåñíîé ìåõàíèêè, ïîçâîëÿÿ ëó÷øåïîíèìàòü ñóòü ïðîèñõîäÿùèõ ïðîöåññîâ, ïðèâîäÿùèõ ê íàáëþäàåìûì ÿâëåíèÿì.

Íî ýòîïîíèìàíèå âñåãäà ïðèíîñèëî åù¼ áîëüøå âîïðîñîâ, ñòàâèëî ñëîæíûå ïðîáëåìû ïåðåäèññëåäîâàòåëÿìè, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òðåáîâàëîñü ïðèâëåêàòü âñ¼ áîëåå íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå èíñòðóìåíòû. Íåìàëî ñëîæíîñòåé ñþäà ïðèâíîñÿò òàê íàçûâàåìûå îáðàòíûåçàäà÷è ìåõàíèêè, êîòîðûå âñåãäà áûëè òðóäíåå ïðÿìûõ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ ïî íåáó ÷àñòàÿ èõ âñòðå÷àåìîñòü åñòåñòâåííà.Îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ áûëî âîññòàíîâëåíèå çàêîíà ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó íåáåñíûìè òåëàìè ïî ôîðìå òðàåêòîðèé, êîòîðûå îïèñûâàþò ïëàíåòû ïðè ñâî¼ì äâèæåíèè. Îòêðûòèåçàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ â XVIII âåêå ïîçâîëèëî ïîíÿòü ïî÷åìó ïëàíåòû, àñòåðîèäûè êîìåòû äâèæóòñÿ ïî êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì. Íî ìîãëè áûòü è äðóãèå çàêîíû ïðèòÿæåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì.

Âîïðîñ íàõîæäåíèÿ âñåõ òàêèõ çàêîíîâ îñòàëñÿîòêðûòûì, íà ýòî óêàçàë ñàì ñýð È. Íüþòîí â ñâîèõ íà÷àëàõ íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè[22]. Òàêèì îáðàçîì çíàÿ, ÷òî âñå ïëàíåòû äâèæóòñÿ ïî ýëëèïñàì, ìû íå ìîæåì ñ óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó òåëàìè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàêâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ F ∼ r12 . Êîíå÷íî, âûéäÿ çà ðàìêè ìàòåìàòèêè, ìîæíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóò¼ì ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü ÷åòâ¼ðòîãî çàêîíà Íüþòîíà, íî íåñìîòðÿ íà ýòîçàäà÷à î âîññòàíîâëåíèè çàêîíà òÿãîòåíèÿ ïî ôîðìå òðàåêòîðèé íîñèëà ïðèíöèïèàëüíûéôóíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð è æäàëà ñâîåãî ðåøåíèÿ.Ïåðâûå óñïåõè áûëè ñäåëàíû òîëüêî â 1870õ ãîäàõ. Æ.

Áåðòðàí ñôîðìóëèðîâàë èðåøèë â 1873 ã. ñëåäóþùóþ çàäà÷ó (èçâåñòíóþ òàêæå êàê òåîðåìà Áåðòðàíà): Íàéòèñèëó ïðèòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ äåéñòâóåò ìåæäó Ñîëíöåì è ïëàíåòàìè, çàâèñèò òîëüêî îòðàññòîÿíèÿ äî Ñîëíöà è çàñòàâëÿåò äâèãàòüñÿ ïëàíåòû ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì, åñëèòîëüêî ñêîðîñòü íå î÷åíü âåëèêà.2 ôîðìóëèðîâêå íè÷åãî íå îãîâàðèâàëîñü î âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, êîãäàïëàíåòà ïàäàåò íà Ñîëíöå ïî ïðÿìîé), áîëåå òîãî ðåøàëàñü ïëîñêàÿ çàäà÷à, à íå ïðîñòðàíñòâåííàÿ. Íî åñëè çàìåòèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà, òî ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå ñèë âñåãäà áóäåò ïëîñêèì.Äðóãîé âàðèàíò çàäà÷è âûãëÿäåë òàê: íàéòè çàêîí ñèë, äåéñòâóþùèé íà òî÷êó è çàñòàâëÿþùèé å¼ îïèñûâàòü êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ êàêîâû áû íå áûëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.Åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàêîí íå çàâèñèò îò âðåìåíè, à çàâèñèò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. òàêîì âàðèàíòå ôîðìóëèðîâêè (Áåðòðàí) òðåáîâàíèå ê îðáèòàì áîëåå ñèëüíûå, àèìåííî îíè äîëæíû áûòü íå ïðîñòî çàìêíóòûìè, à ÿâëÿòüñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè; íîçàòî óñëîâèå, íàëîæåííîå íà çàêîí ñèëû, ñëàáåå, ò.ê.

èùåòñÿ ñèëà, çàâèñÿùàÿ îò ïîëîæåíèÿ òåë â ïðîñòðàíñòâå, à íå ñòðîãî îò ðàññòîÿíèÿ. Ñðàçó ðåøèòü â òàêîé ôîðìóëèðîâêåíå óäàëîñü: äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è Äàðáó è Àëüôåí [7] óñèëèëè òðåáîâàíèå ê çàêîíóïðèòÿæåíèÿ îí äîëæåí áûòü êàê ðàç öåíòðàëüíûì. Ñî âðåìåíåì óäàëîñü ðåøèòü çàäà÷óè áåç äîïîëíèòåëüíîãî òðåáîâàíèÿ öåíòðàëüíîñòè (Äåïåéðó) [9].Ìàòåìàòèêè ïðîäîëæàëè èñêàòü ðàçëè÷íûå óñëîâèÿ, ïî êîòîðûì ìîæíî âîññòàíîâèòüçàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ.

Îäíî èç íèõ, à èìåííî àëãåáðàè÷íîñòü òðàåêòîðèé, íàø¼ë ʼíèãñè åãî ôîðìóëèðîâêà âûãëÿäåëà òàê [37]: Çíàÿ, ÷òî ñèëà, âûçûâàþùàÿ äâèæåíèå ïëàíåòûâîêðóã Ñîëíöà, çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ è òàêîâà, ÷òî îíà çàñòàâëÿåò ñâîþ òî÷êóïðèëîæåíèÿ îïèñûâàòü àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ, êàêîâû áû íè áûëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ(ïðè÷åì ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åííûå íåîñîáûå íåêðóãîâûå îðáèòû) íàéòè çàêîí ýòîé ñèëû.Ïîñëåäíèé âàðèàíò ñâîäèòñÿ ê ïåðâîìó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî îãðàíè÷åííàÿ êðèâàÿäîëæíà áûòü ëèáî çàìêíóòîé, ëèáî èìåòü òî÷êè ñãóùåíèÿ. Âòîðîå óñëîâèå íåâîçìîæíîâ âèäó àëãåáðàè÷íîñòè êðèâîé, ñëåäîâàòåëüíî êðèâàÿ áóäåò çàìêíóòà, à ýòî óæå óñëîâèåÁåðòðàíà.Îòâåò êî âñåì òð¼ì âàðèàíòàì çàäà÷è îêàçàëñÿ íà óäèâëåíèå îäèíàêîâ: òàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî äâà çàêîíà ïðèòÿæåíèÿ çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà F1 ∼ r12è çàêîí Ãóêà F2 (r) ∼ r.

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñèëû èñêàëèñü ïîòåíöèàëüíûå è àíàëèòè÷åñêèå. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîòåíöèàëû âûãëÿäÿò òàê V1 ∼ 1r , V2 ∼ r2 .Êàê óòâåðæäàåò ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà, â ñëó÷àå çàêîíà Íüþòîíàïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå.  ñëó÷àåçàêîíà Ãóêà àíàëîã ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà âûãëÿäèò òàê: ïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, â öåíòðå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå.

Åù¼ îäíèì îòëè÷èåì çàêîíà Ãóêà îò çàêîíàÍüþòîíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó íåãî íåò íåîãðàíè÷åííûõ îðáèò, òàêèõ êàê ïàðàáîëà èëèãèïåðáîëà.Çàìå÷àíèå 0.0.1.Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîøëè ïî ïóòè óñëîæíåíèÿ ñòðóêòóðû ïðîñòðàíñòâà. Ñïåðâà áûëè ðàññìîòðåíû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû. Ïðîñòðàíñòâî ïîëîæèòåëüíîé ïîñòîÿííîé êðèâèçíû ñôåðà, îòðèöàòåëüíîé ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî.3Ðàññìîòðèì ñôåðó ñ!êîîðäèíàòàìè (r, ϕ), ãäå r øèðîòà, ϕ äîëãîòà, è ðèìàíî10âîé ìåòðèêîé. Íà ñôåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî öåíòðàëüíûé (åñòåñòâåííî,0 sin2 ràíàëèòè÷åñêèé) ïîòåíöèàë V , ò.å.

çàâèñÿùèé òîëüêî îò r (è íå çàâèñÿùèé îò ϕ). Ïîääåéñòâèåì òàêîãî ïîòåíöèàëà ïî ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ ÷àñòèöà. ż äâèæåíèå îïèñûâàþò óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ëàãðàíæèàíà L = 21 ṙ2 + 21 sin2 r ϕ̇2 − V (r). Çàäà÷àÁåðòðàíà îáîáùàåòñÿ òàê: êàêèå ìîãóò áûòü ïîòåíöèàëû V (r) íà ñôåðå, ïîä äåéñòâèåìêîòîðûõ ÷àñòèöà îïèñûâàëà áû çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ. Çàäà÷à ñôîðìóëèðîâàíà íå ñòðîãî, ò.ê. äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåòñÿ åù¼ íåñêîëüêî óñëîâèé, â ò.÷. ðàññìàòðèâàåòñÿ íåâñÿ ñôåðà, à òîëüêî å¼ ïîëîâèíà áåç ýêâàòîðà.Îòâåò î÷åíü ïîõîæ íà ïëîñêèé ñëó÷àé.

Ââåä¼ì âìåñòî r áîëåå óäîáíóþ êîîðäèíàòóθ = ctg r. Òîãäà íà ñôåðå ñóùåñòâóþò òîëüêî äâà ïîòåíöèàëà, ïðèâîäÿùèõ ê çàìêíóòûìòðàåêòîðèÿì: àíàëîã çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ V1 = Aθ + B è àíàëîã ïðóæèííîãîâçàèìîäåéñòâèÿ Ãóêà V2 = Aθ−2 + B , ãäå A, B íåêîòîðûå êîíñòàíòû ñ îïðåäåëåííûìèçíàêàìè. Êàê è íà ïëîñêîñòè òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ áóäóò êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè (ïåðåñå÷åíèå ñôåðû ñ êîíóñîì âòîðîãî ïîðÿäêà, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò öåíòðû), áîëåå òîãî âïåðâîì ñëó÷àå öåíòðîì ïðèòÿæåíèÿ áóäåò ôîêóñ, à âî âòîðîì öåíòð (ïîäðîáíåå ñì.

[37]).Íà ñôåðó òàêæå îáîáùàåòñÿ âòîðîé çàêîí Êåïëåðà ñ íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèåé, à òàêæå òðåòèé çàêîí Êåïëåðà [15], [37] (ñì. òàêæå óòâåðæäåíèÿ 1113 ⠟3.2.).Âñå ýòè ðåçóëüòàòû (çàäà÷à Áåðòðàíà è çàêîíû Êåïëåðà) ïåðåíîñÿòñÿñî ñôåðû S 2 íà ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî L2 , ïðè ýòîì âñå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèèíóæíî çàìåíèòü íà ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðáîëè÷åñêèå.Çàìå÷àíèå 0.0.2.Ïåðâîå ðåøåíèå áûëî äàíî Äàðáó [8] â 1877 ãîäó, îíî áûëî íåáîãàòî ïîäðîáíîñòÿìè.Äàëåå çàäà÷à íåîäíîêðàòíî ïåðåîòêðûâàëàñü.

 1902, 1903 Ëèáìàí ïîëó÷èë ðåçóëüòàòäëÿ S 2 è L2 è èññëåäîâàë ôîðìó òðàåêòîðèé[17, 18].  1979 ã. çàäà÷à áûëà ðåøåíà â S nÏ. Õèããñîì [13], à â 1980 â S 3 Ñëàâÿíîâñêèì [28].  1982 ã. ïîëó÷åíî îáîáùåíèå íà S n èLn Èêåäîé è Êàòàÿìîé [14], à â 1992-1994 ãã Êîçëîâûì è Õàðèíûì ïîëó÷åíû îáîáùåíèÿíà S 2 è L2 ñ èññëåäîâàíèåì âñåõ çàêîíîâ Êåïëåðà [37, 38].Ñëåäóþùèì óñëîæíåíèåì ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ãàóññîâîéêðèâèçíû ê ïîâåðõíîñòÿì âðàùåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S ≈ (a, b)×S 1 ,→R3 ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ mod 2π), ãäå u ∈ (a, b) è ìåòðèêîé âðàùåíèÿ!a211 (u)0G=(0.0.1)0a222 (u)Ïóñòü íà ýòîé ïîâåðõíîñòè çàäàí ïîòåíöèàë V (u), êîòîðûé çàâèñèò òîëüêî îò u. Ïîääåéñòâèåì òàêîãî ïîòåíöèàëà ïî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ÷àñòèöû ñîãëàñíîóðàâíåíèÿì Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ëàãðàíæèàíà L = 21 a211 (u)u̇2 + 12 a222 (u)ϕ̇2 − V (u).

Çàäà÷à Áåðòðàíà îáîáùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàêèì ìîæåò áûòü ïîòåíöèàë V (u), ÷òîáû4ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà áûëà çàìêíóòà (è ñóùåñòâîâàëà õîòÿ áû îäíà òàêàÿ íåêðóãîâàÿ). Ïîòåíöèàëû ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçîâ¼ì áåðòðàíîâñêèìè. çàäà÷å íåÿâíûì îáðàçîì ïðåäïîëàãàåòñÿ åù¼ ðÿä òåõíè÷åñêèõ óñëîâèé, â ò.÷. ïîëîæèòåëüíîñòü ôóíêöèé a11 (u), a22 (u), àíàëèòè÷íîñòü (â ðàáîòàõ íåêîòîðûõàâòîðîâ) âñåõ ôèãóðèðóþùèõ â óñëîâèè ôóíêöèé, îòñóòñòâèå ýêâàòîðîâ, ò.å.