Диссертация (Генерация гипермагнитной спиральности и бариогенезис в ранней Вселенной), страница 4

Тем не менее, такойповерхностный интеграл может быть важен на границах разных фаз вовремя ЭФП, TEW . В работе [58] авторы изучали, как поток гипермагнитнойспиральности проникает через границу раздела симметричной инарушенной фаз, и как плотность гипермагнитной спиральности hY = BY Y23становится плотностью спиральности максвелловского магнитного поляh = BA в момент ЭФП.Заметим, что эволюционное уравнение (1.3) очень похоже на уравнение (7)в [60], выведенное в рамках СМ для времен после ЭФП, T TEW .

Авторыиспользовали фермиевское точечно-подобное (близкодействующее)взаимодействие нейтрино с плазмой посредством тяжелых W, Z-бозонов,вместо дальнодействующего взаимодействия через безмассовоегиперзарядовое поле Yµ много раньше ЭФП при температурах TEW ,T TEW . Таким образом, различие уравнений заключается в значенияхкоэффициентов η, ηY and α, αY в [60, 61] и в [20, 19].Удобно перейти от физических переменных к конформным через√конформное время η = M0 /T , M0 = MP l /1.66 g ∗ , где MP l = 1.2 × 1019 GeVмасса Планка, g ∗ = 106.75 - эффективное число релятивистских степенейсвободы.В метрике Фридмана-Робертсона-Уокера ds2 = a2 (η)(dη 2 − dx̃2 )используется обозначение a = T −1 , причем a0 = 1 в настоящий момент Tnow ,dη = dt/a(t); кроме того, мы вводим следующие обозначения:k̃ = ka = const конформный импульс (определяемый красным смещениемиз физического импульса, k ∼ T = Tnow (1 + z)); ξa (η) = aµa = µa /T безразмерная асимметрия фермионов, меняющаяся во времени; B̃Y = a2 BY ,Ỹ = aY конформные безразмерные аналоги гипермагнитного поля ипотенциала, соответственно.Теперь перепишем (1.3) в конформных координатах x̃ = x/a для компонент24RRФурье плотность спиральности 2 , h̃Y (η) ≡ (Ỹ · B̃Y )d3 x/V = dk̃ h̃Y (k̃, η), иRплотность гипермагнитной энергии ρ̃BY (η) = B̃Y2 (η)/2 = dk̃ ρ̃BY (k̃, η)определяемых через их спектры:k̃ 2 a3Ỹ(k̃, η) · B̃∗Y (k̃, η),22π Vk̃ 2 a3ρ̃BY (k̃, η) = 2 B̃(k̃, η) · B̃∗Y (k̃, η) .4π Vh̃Y (k̃, η) =RЭто позволяет вычислить интегралы2dh̃Y (k̃, η)2k̃ h̃Y (k̃, η)=−+dησc0(1.4)d3 x(...)/V в (1.3) и получить02α [ξeR (η) + ξeL (η)/2]k̃πσc3!h̃Y (k̃, η),(1.5)0где α = g 2 /4π определяется через константу связи g 0 = e/cosW в СМ,σc = σcond a = σcond /T ≈ 100 - безразмерная проводимость плазмы;ξeR (η) = µeR (T )/T и ξeL (η) = µeL (T )/T - асимметрии правых и левыхэлектронов соответственно.

Заметим, что в (1.5) мы подставляем плотностьгипермагнитной энергии ρ̃BY (t) = B̃Y2 (t)/2 для полностью спиральногогипермагнитного поля, когда ρ̃BY (k̃, η) = k̃ h̃Y (k̃, η)/2 из (1.4). Такой выборсильно упрощает (1.5) и обеспечивает эффективный обратный каскад длятурбулентных максвелловских полей, возникающих после ЭФП изгиперзарядовых полей, рассматриваемых здесь.В качестве примера одного из таких полей (которое мы не будем здесь2Заметим, что экспоненты eikx = eik̃x̃ совпадают в преобразовании Фурье для обычных и конформныхпеременных.3В обычных размерных переменных hY (η) и hY (k̃, η) измеряются в G2 cm или M 4 L = M 3 = L−3 чтодает объем V в (1.4)с учетом соотношения h̃Y (k̃, η) = a3 hY (k̃, η).25подробно рассматривать) можно привести удовлетворяющую калибровке∇ · Y = 0, Y0 = 0 волну Черн-Саймонса Y = Y (t)(sin k0 z, cosk0 z, 0) длякоторой гипермагнитное поле BY = ∇ × Y = k0 Y имеет нетривиальнуютопологию с максимальной спиральностью.

В самом деле, плотностьспиральности в такой волне hY = YBY = k0 Y 2 (t) связана с плотностьюэнергии ρBY = B2Y /2 = k02 Y 2 (t)/2 в точности соотношением 2k0 hY = ρBY .Решение уравнения (1.5) берем в виде (ср. уравнение (8) в [45]):(0)h̃Y (k̃, η) = h̃Y (k̃, η0 ) exp 0Z !0 2k̃ α ηξeL (η )00ξeR (η ) +dη − k̃(η − η0 ) .σc π η02(1.6)Спектр безразмерной плотности спиральности h̃Y (k̃, η) = a3 hY (k̃, η) можнопереписать в видеhihY (k̃, η)(0)2= h̃Y (k̃, η0 ) exp A(η)k̃ − B(η)k̃ ,h̃Y (k̃, η) ≡T3(1.7)(0)где начальный спектр h̃Y (k̃, η0 ) = hY (k̃, η0 )/T03 соответствует в нашемсценарии моменту, когда асимметрия левых частиц равна нулю в начальныймомент T0 = TRL , и мы используем обозначения из (1.6)02αA(η) =πσcZηη00 ξeL (η )00ξeR (η ) +dη ,2B(η) =2(η − η0 ).σcПренебрегая квантовыми эффектами, возникающими из-за абелевых0аномалий (т.е.

для случая α = 0) и в отсутствие диффузиигипермагнитного поля (когда динамо перестает работать в пределе26(1.8)идеальной плазмы σc → ∞) мы получим из (1.7) привычный законсохранения плотности спиральности dh̃Y /dη = 0, h̃Y = const, помня, чтоhY (η) = (η0 /η)3 hY (η0 ). Теперь мы используем (1.7) для получениясамосогласованной системы уравнений для левых и правых асимметрийξeR (η), ξeL (η).1.2.1Эволюция асимметрий лептоновДля простоты ма рассмотрим только обратный распад бозона Хиггса, т.е.будем считать, что асимметрия хиггсовских бозонов отсутствует µ0 = 0.(Случай µ0 6= 0 рассмотрен в работе [48], но только длямонохроматического спектра с максимальной спиральностью.)Система кинетических уравнений для лептонов с учетом Абелевскиханомалий для правых и левых (вместе с нейтрино) электронов, обратногораспада Хиггса и сфалеронных переходов, имеет вид:dLeRg 02= 2 (EY · BY ) + 2ΓRL {LeL − LeR } ,dt4π sdLeLg 02Γsph T=−(EY · BY ) + ΓRL {LeR − LeL } −LeLdt16π 2 s2(1.9)Здесь Lb = (nb − nb̄ )/s ≈ T 3 ξb /6s - лептонное число , b = eR , eL , νeL ,s = 2π 2 g ∗ T 3 /45 - плотность энтропии, а g ∗ = 106.75 - число релятивистскихстепеней свободы.

Множитель 2 в первой строке отражает эквивалентностьканалов реакций eR ēL → ϕ̃(0) and eR ν̄eL → ϕ(−) ; ΓRL - скорость распадабозонов Хиггса.27Конечно, для левого дублета LTe = (νeL , eL )кинетическое уравнение длячисла нейтрино избыточно, потому что LeL = LνeL .5= C(3.2 × 10−8 ) - безразмерная вероятностьДалее, Γsph = CαWсфалеронных переходов, которые уменьшают число левых лептонов,приводя к вымыванию барионной асимметрии Вселенной. Такаявероятность задана SU (2)W константой связиαW = g 2 /4π = 1/(137 sin2 θW ) = 3.17 × 10−2 где g = e/ sin θW калибровочная константа связи в СМ, а C ' 25 оценивается из решеточныхвычислений( см. гл. 11 в [66]).В конформных переменных после интегрирования системы (1.9)по всемуRобъему d3 x(...)/V , переходя к Фурье-компонентам для гиперзарядовыхполей, получим кинетические уравнения 1.9 в виде:dξeR (η)3α=−dηπ0dξeL (η)3α=+dη4πZ0Zhidh̃Y (k̃, η)dk̃− Γ ξeR (η) − ξeL (η) ,dη(1.10)i Γdh̃Y (k̃, η) Γ(η) hsphdk̃−ξeL (η) − ξeR (η) −ξeL (η), (1.11)dη22гдеΓ(η) =242ηEW"1−ηηEW2 #,ηRL < η < ηEW(1.12)- безразмерная скорость изменения киральности Γ = 2aΓRL [47, 23] ,ηEW = M0 /TEW = 7 × 1015 момент времени ЭФП при температуреTEW = 100 GeV .

Производная в подынтегральных выражениях первых28слагаемых (1.10), (1.11), dh̃Y (k̃, η)/dη, дается уравнением(1.5) где в правойчасти мы должны подставлять h̃Y (k̃, η), взятую из уравнения (1.7).Выберем начальные условия в момент η0 = ηRL = 7 × 1013 ,соответствующий температуре TRL = 10 T eV :ξeL (η0 ) = 0,ξeR (η0 ) = 10−10 .(1.13)Мы рассмотрим также случай большой начальной асимметрии правыхлептонов, ξeR (η0 ) = 10−4 , которая является свободным параметром задачи.Решение системы (1.10) и (1.11) позволяет рассчитать эволюцию плотностиспиральности гипермагнитного поля (1.7) для двух случаев: a)монохроматического спектра плотности спиральностиh̃Y (k̃, η) = h̃Y (η)δ(k̃ − k̃0 ),и b) непрерывного спектра h̃Y (k̃, η0 ) ∼ k̃ ns , ns ≥ 3.1.3Эволюция спиральности и асимметриилептонов в монохроматическомгипермагнитном полеВ этом разделе мы изучим эволюцию лептонных асимметрий дляполностью спирального гипермагнитного поля с монохроматическимспектром плотности спиральности (1.14).29(1.14)1.3.1Режим насыщения монохроматического спектраплотности спиральностиПерепишем кинетические уравнения уравнения для асимметрий (1.10),(1.11) с учетом (1.5):0 Z0dξeL (η)3αΓk̃ 2 h̃Y (k̃, η) 3α 2ξeL=−+ 2 ρ̃BY (η) ξeR +− (ξeL − ξeR )dk̃dηπσc2π σc22ΓsphξeL (η),−20 Z0k̃ 2 h̃Y (k̃, η) 12α 2dξeR (η) 12αξeL=dk̃− 2 ρ̃BY (η) ξeR +− Γ(ξeR − ξeL ).dηπσc2π σc2(1.15)Во втором слагаемом (∼ ρ̃BY = B̃ 2 /2 = B 2 a4 /2) мы использовалисоотношение для полностью спирального поля k̃ h̃(k̃, η) = 2ρ̃BY (k̃, η) иRопределение безразмерной плотности энергии ρ̃BY (η) = dk̃ ρ̃BY (k̃, η).

Длямонохроматического поля и его спиральности (1.14), соотношениеρ̃BY (k̃, η) = k̃ h̃Y (η)δ(k̃ − k̃0 )/2 = ρ̃BY (η)δ(k̃ − k̃0 ) позволяет вычислитьинтеграл в первых слагаемых в правых частях системы (1.15), и получить"002#3α k̃0 3αξeLΓΓsphdξeL (η)= −+ 2ξeR +ρ̃BY (η) − (ξeL − ξeR ) −ξeL (η),dηπσcπ σc222"#00 2dξeR (η)12α k̃0 12αξeL=− 2ξeR +ρ̃BY (η) − Γ(ξeR − ξeL ).dηπσcπ σc2(1.16)Умножая первое уравнение на 4 и складывая со вторым, увидим, что30реализуется режим насыщения ∂η ξeR = ∂η ξeL ≈ 0 при выполнениисоотношенияξeL =ΓξeR ξeR ,Γ + 2Γsph(1.17)где Γsph Γ.Выход асимметрий на насыщение для случая монохроматическойплотности спиральностиПерепишем кинетические уравнения для обеих асимметрий ξeR (η), ξeL (η)(1.16) в виде пары уравнений для разности ∆ξe = ξeR − ξeL и конструкцииΞe = ξeR + ξeL /2:0id∆ξe (η)15α 2 ρ̃BY (η) h(satur)Ξe (η) − Ξe=−dηπ 2 σc3Γ(η) ΓsphΓsph−+∆ξe (η) +Ξe (η),2330idΞe (η)21α 2 ρ̃BY (η) h(satur)Ξe (η) − Ξe=−dη2π 2 σcΓsph3Γsph− Γ(η) −∆ξe (η) −Ξe (η),466(satur)где для одной моды (1.14) насыщение суммы асимметрий Ξe(1.18)естьконстанта, определяемая из (1.6) когда экспоненциальный рост исчезает,e0 = 1:Ξ(satur)e4π 2 k̃0=.g0231(1.19)Система(1.18) замыкается уравнением эволюции гипермагнитной энергииdρ̃BY (η) ρ̃BY (η) Ξe (η)=−1 ,(satur)dηησΞe(1.20)полученного из соотношений для полностью спирального поля иподстановки (1.5) вdρ̃BY (η) 1=dη2Zk̃dk̃δ(k̃ − k̃0 )dh̃Y (η).dηЗдесь ησ = σc /2k̃02 - диффузионное время.Легко найти решение (1.20):(0)ρ̃BY (η) = ρ̃BY1expησZηη00Ξe (η )(satur)Ξe 0− 1 dη(1.21), и это решение вполне согласуется с тем, что будет получено на основерассмотрения динамо.Рассмотрение механизма динамо для монохроматического случаяИтак, плотность энергии ρ̃BY (η) = B̃Y2 (η)/2 дается выражением (1.6) дляспиральности 0ZR00(0)h̃Y k˜0 2σk̃c0 απ ηη0 Ξe (η )dη −k̃0 (η−η0 )1ρ̃BY (η) =k̃dk̃ h̃Y (η)δ(k̃ − k̃0 ) =e22 Z η 0(0)h̃Y k˜01Ξe (η )0=dη.exp−12ησ η0 Ξ(satur)e(1.22)32Это согласуется с известным результатом для BY (t) ([47, 65, 71, 72])полученным из равенства ρ̃BY (η) = B̃Y2 (η)/2: 0k02 a2 dtB̃Y (k0 , t) =expαY (t )k0 a −σcond a at0 0Z η!k̃α000Ξe (η )dη − k̃0 (η − η0 ) ,= B̃0Y expσc π η 0 Z η0Ξe (η )10Y− 1 dη= B̃0 exp(satur)2ησ η0 ΞeB̃0YZ t 00(1.23)0где B̃(η) = a2 B(η), ηY = (σcond )−1 , k0 a = k̃0 , dη = dt /a, σcond a = σc = 100.Соотношения(0)(0)(B̃0Y )2 = k̃0 h̃Y = k̃0 Ỹ0 B̃0Y = 2ρ̃BY(1.24)соответствуют полностью спиральному полю в начальный момент η0 .Задача имеет два свободных параметра: a) затравочное гипермагнитноеполе B̃0Y при начальной температре T0 = TRL = 10 T eV и b) начальноезначение асимметрии правых частиц ξeR (η0 ) 6= 0 в выбранном сценарии[47, 48].